專題6導(dǎo)數(shù)與不等式的證明（教師版）

專題6導(dǎo)數(shù)與不等式的證明利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題往往利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題往往作為壓軸題出現(xiàn),充分考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng),突出理性思維,彰顯選拔功能.處理該問(wèn)題常涉及構(gòu)造函數(shù)、切線放縮等方法，其中基本策略是構(gòu)造函數(shù)、判斷單調(diào)性、求最值.本專題圍繞構(gòu)造函數(shù)的角度展開說(shuō)明，探究1借助一道中檔題闡述基本的構(gòu)造函數(shù)證明不等式的思路，探究2與探究3是對(duì)構(gòu)造輔助函數(shù)中的難點(diǎn)進(jìn)一步的闡述.探究2通過(guò)例題與變式給出了雙變量不等式問(wèn)題的常用解題思路，如利用對(duì)稱性構(gòu)造函數(shù)或通過(guò)換元化雙變量為單變量構(gòu)造函數(shù)或者利用對(duì)數(shù)的均值不等式；探究3的零點(diǎn)不可求問(wèn)題，不僅是在不等式證明中會(huì)遇見(jiàn)，在其他導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中也經(jīng)常遇見(jiàn)，通常采用整體代換等方式處理，學(xué)生可通過(guò)典例梳理思路，再通過(guò)變式題及時(shí)鞏固.——合肥一中高級(jí)教師陳銀科——合肥一中陳銀科探究1：構(gòu)造輔助函數(shù)【典例剖析】例1.(2022·河南省信陽(yáng)市月考)已知函數(shù)f(x)=12x(1)若a=1，求fx的極值；(2)討論fx(3)求證：當(dāng)x>1時(shí)，12選題意圖:選題意圖:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考的熱點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于立足函數(shù)的角度，構(gòu)造輔助函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值解決，本題第（3）問(wèn)通過(guò)作差構(gòu)造函數(shù)求最值即可得證，這是學(xué)生最容易理解和掌握的方法.思維引導(dǎo)：第（1）問(wèn)判斷不含參函數(shù)的單調(diào)性，得出極值點(diǎn)求出極值；第（2）問(wèn)分a>0和a≤0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問(wèn)作差構(gòu)造函數(shù)求最值，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=12x2-lnx，則其定義域?yàn)?0,+∞)，f'(x)=x-1x=(x+1)(x-1)x；

所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f'(x)>0；

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增；

所以f(x)的極小值為f(1)==1\*GB3①當(dāng)a≤0時(shí)，x2-a>0，所以f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；=2\*GB3②當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，解得x=a，x=-a(舍去)

所以當(dāng)x∈(0,a)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí)，f'(x)>0；

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a)．

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a)．

(3)證明：令g(x)=12x2+lnx-23x3(x>1)，則g'(x)=x+1x-2x2=-2x3+x2【變式訓(xùn)練】練11(2021·河南省質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-3，g(x)=xln?x，(1)當(dāng)x>0時(shí)，2g(x)≥f(x)，求a的取值范圍；(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>x【解析】(1)當(dāng)x>0時(shí)，2g(x)≥f(x)，

即2xlnx≥-x2+ax-3，

即a≤2xlnx+x2+3x=2lnx+x+3x，

設(shè)h(x)=2lnx+x+3x(x>0)，則h'(x)=2x+1-3x2=(x+3)(x-1)x2，

∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h'(x)<0，h(x)在(0,1)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，h'(x)>0，h(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增，

∴h(x)min=h(1)=4，則a≤4．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,4]；

(2)證明：∵g(x)=xlnx，

∴g'(x)=1+lnx，

易知函數(shù)g(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減，在(練12(2022·湖北省騰云聯(lián)盟高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=a+lnx(1)若函數(shù)f(x)的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值;(2)證明：當(dāng)m>n≥1時(shí)，nln【解析】(1)解：因?yàn)閒'x=1-lnx-ax2(x>0)，

令f'x=0，即1-lnx-a=0，則x=e1-a，

當(dāng)0<x<e1-a時(shí)，1-lnx-a>0，f'x>0；

當(dāng)x>e1-a時(shí)，1-lnx-a<0，f'x<0，

所以fx在0,e1-a內(nèi)遞增，在e1-a,+∞內(nèi)遞減，

于是當(dāng)x=e1-a時(shí)取得最大值，

由fxmax=fe1-a=1e1-a=1，得a=1．

(2)證明：當(dāng)m>n≥1時(shí)，要證nln【規(guī)律方法】1.不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決，需要構(gòu)造函數(shù)，常用的構(gòu)造函數(shù)的方法有：=1\*GB2⑴直接作差(有時(shí)作商)構(gòu)造函數(shù)；=2\*GB2⑵將待證不等式等價(jià)變形后再構(gòu)造函數(shù).其中的變形包括:數(shù)式變形、移項(xiàng)、提取因式、整體代換、分式變形、拆項(xiàng)拼湊、取對(duì)數(shù)等手段.2.研究構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、最值，從而證明不等式：=1\*GB2⑴根據(jù)不等式的特點(diǎn),構(gòu)造輔助函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后利用單調(diào)性由自變量的大小關(guān)系過(guò)渡到函數(shù)值的大小關(guān)系,從而獲得不等式的證明；=2\*GB2⑵把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并求出函數(shù)最值或者值域問(wèn)題,從而證明不等式.構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)求最值，或構(gòu)造兩個(gè)輔助函數(shù),證明一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值.

當(dāng)用上述方法構(gòu)造函數(shù)難以判斷單調(diào)性時(shí)，可考慮用放縮法證明,在證明過(guò)程中將某部分函數(shù)式用另一個(gè)函數(shù)值比較大(或者比較小)的函數(shù)替換,從而構(gòu)造新的函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性加以證明.探究2：含雙變量的不等式證明【典例剖析】例2.(2021·河南省模擬)已知函數(shù)f(x)=ln(1)討論函數(shù)fx(2)若函數(shù)fx的圖像與x軸相切，求證：對(duì)于任意互不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2選題意圖選題意圖：解決雙變量不等式的核心數(shù)學(xué)思想是化歸思想，將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量是解決雙變量問(wèn)題的常用方法，從而快速的解決問(wèn)題.思維引導(dǎo)：第（1）問(wèn)分a<0和a≥0兩種情況討論函數(shù)單調(diào)性；第（2）問(wèn)對(duì)不等式進(jìn)行變形，將x2x1看作一個(gè)整體，構(gòu)造函數(shù)求【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

f'(x)=1x+a=ax+1x．

當(dāng)a≥0時(shí)，f'(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，由f'(x)=0，得x=-1a．

若x∈0,-1a，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

若x∈-1a,+∞，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

綜上所述：當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在0,-1a上單調(diào)遞增，在-1a,+∞上單調(diào)遞減；

(2)由(1)知，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，不滿足條件；

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的極大值為f(-1a)=-ln(-a)，

由已知得-ln(-a)=0，故a=-1，

此時(shí)f(x)=lnx-x+1，

不妨設(shè)0<x1<x2【變式訓(xùn)練】練21(2022·福建省漳州市期中)已知函數(shù)f(x)=lnx+12ax(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：【解析】(1)解：f'(x)=1x+ax-2==1\*GB3①當(dāng)a=0時(shí)，f'(x)=-2x+1x，

當(dāng)x∈(0,12)時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(0,12)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(12,+∞)時(shí)，f'(x)<0，所以f(x)=2\*GB3②當(dāng)0<a<1時(shí)，Δ=4-4a>0，

令f'(x)=0，得x=1±1-aa，

當(dāng)x∈(0,1-1-aa)∪(1+1-aa,+∞)時(shí)，f'(x)>0，

所以f(x)在(0,1-1-aa)，(1+1-aa,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(=3\*GB3③當(dāng)a≥1時(shí)，Δ=4-4a≤0，此時(shí)f'(x)≥0恒成立，

即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，即只有1個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，即有2個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)．

(2)證明：由(1)可知，當(dāng)且僅當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，

且x1，x2為方程ax2-2x+1=0的兩根，

即x1+x2=2a，x1x2=1a，

所以f(x1)+f(x練22(2022·山東省濰坊市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ae-x+lnx-1(a∈R)．

(1)當(dāng)a≤e時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性：

(2)若函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(x【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，

f'(x)=-ae-x+1x=ex-axxex，

當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)0<a≤e時(shí)，令f'(x)=0，則ex-ax=0，

設(shè)g(x)=ex-ax，則g'(x)=ex-a，

易知，當(dāng)0<x<lna時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>lna時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

∴g(x)≥g(lna)=elna-alna=a(1-lna)≥0，

∴f'(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)a≤e時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增．

(2)依題意，f'(x1)=f'(x2)=0，則ex1-ax1=0ex2-ax2=0，

兩式相除得，ex2-x1=x2x1，設(shè)x2x【規(guī)律方法】1.雙變量是指在所證的關(guān)系中含有兩個(gè)變量，兩個(gè)變量地位相同、取值獨(dú)立，雙變量不等式證明問(wèn)題的解題策略還是根據(jù)不等式的特征構(gòu)造輔助函數(shù),轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題或求最值問(wèn)題，關(guān)鍵是二元變量一元化.常用方法是先構(gòu)造齊次式,然后再整體換元獲得輔助函數(shù),再研究輔助函數(shù)的單調(diào)性或最值.2.除了上述思路以外，也可以分離變量，使不等式兩邊具有對(duì)稱性，構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性；或者設(shè)主變?cè)?，將其中一個(gè)變量看作參數(shù)，構(gòu)造含參函數(shù)證明不等式.探究3：輔助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求問(wèn)題【典例剖析】例3.(2021·吉林省松原市月考)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax，曲線y=f(x)在點(diǎn)y=bx+5．(1)求a，b的值；(2)證明：ex選題意圖：選題意圖：處理導(dǎo)數(shù)解答題經(jīng)常遇到導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)但求解繁瑣或無(wú)法求出的問(wèn)題，常見(jiàn)的解決方法是利用“設(shè)而不求”的思想，設(shè)出零點(diǎn)x0,則f'x0=0,即得到關(guān)于思維引導(dǎo)：第（1）問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)a,b的值；第（2）問(wèn)作差構(gòu)造函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)存在但不可求，設(shè)出零點(diǎn)x1表示出單調(diào)區(qū)間，利用所得的零點(diǎn)的代換式整體代換，得出gx【解析】(1)由切線方程可得f(1)=5+b，f'(1)=b．f(x)定義域?yàn)?0,+∞)，f'所以f(1)=a=5+b，f'(1)=1-a=b，解得a=3，b=-2．(2)(ex-1)x設(shè)g(x)=xex-x-ln?x-1(x>0)設(shè)h(x)=ex-1x因?yàn)閔(12)=所以存在唯一x1∈1因?yàn)間'(x)符號(hào)與ex所以當(dāng)x∈0,x1時(shí)，g'(x)<0，當(dāng)x∈故g(x)在0,x1上單調(diào)遞減，在x所以當(dāng)x=x1時(shí)，g(x)取得最小值由hx1=0得e故g(x)≥所以(e【變式訓(xùn)練】練31(2021·遼寧省沈陽(yáng)市模擬)已知函數(shù)f(x)=e(1)若x=1是f(x)的極值點(diǎn)，求t的值，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)t≤1時(shí)，證明：f(x)>2．【解析】(1)由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

因?yàn)閒'(x)=ex-2t-1x，x=1是f(x)的極值點(diǎn)，

所以f'(1)=e1-2t-1=0，所以t=12，

所以f'(x)=ex-1-1x，

因?yàn)閥=ex-1和y=-1x，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且f'(1)=0，

∴當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0；

當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)<0，

此時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)；

(2)證明：當(dāng)t≤1時(shí)，f(x)=ex-2t-lnx+2≥ex-2-lnx+2，

設(shè)g(x)=ex-2-lnx+2，則g'(x)=ex-2-1x，

因?yàn)閥=ex-2和y=-1x，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以g'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

因?yàn)間'(1)=1e-1<0，g'(2)=1-12練32(2021·安徽省合肥市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ex(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)當(dāng)x>-2時(shí)，求證：f(x)>ln【解析】(1)解：由f(x)=ex，得f(0)=1，f'(x)=ex，

所以f'(0)=1，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y-1=x-0，

即所求切線方程為x-y+1=0．

(2)證明：法一：設(shè)g(x)=f(x)-(x+1)=ex-x-1(x>-2)，則g'(x)=ex-1，

所以當(dāng)x∈(-2,0)時(shí)，g'(x)<0，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，g'(x)>0，

所以g(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以x=0是g(x)的極小值點(diǎn)，也是g(x)的最小值點(diǎn)，且g(x)min=g(0)=0，

故f(x)≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào))．

設(shè)h(x)=x+1-ln(x+2)(x>-2)，則h'(x)=1-1x+2=x+1x+2，

所以當(dāng)-2<x<-1時(shí)，h'(x)<0;當(dāng)x>-1時(shí)，h'(x)>0，

所以h(x)在(-2,-1)上為減函數(shù)，在(-1,+∞)上為增函數(shù)，

所以x=-1是h(x)的極小值點(diǎn)，也是h(x)的最小值點(diǎn)，且h(x)min=h(-1)=0，

故x+1≥ln(x+2)(當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào))．