天體運動的幾類熱點問題（教師版）

專題六天體運動的幾類熱點問題考點一雙星與多星模型1.雙星模型(1)定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)。如圖所示。(2)特點①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即,。②兩顆星的周期、角速度相同，即，。③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為。④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即⑤雙星的運動周期。⑥雙星的總質(zhì)量。2.多星模型(1)定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。(2)常見的三星模型①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行（如圖甲所示）。②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上（如圖乙所示）。(3)常見的四星模型①四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動（如圖丙所示）。②三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動（如圖丁所示）。題型一雙星模型(多選)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km，繞二者連線上的某點每秒轉(zhuǎn)動12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、引力常量并利用牛頓力學(xué)知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星()A.質(zhì)量之積 B.質(zhì)量之和C.速率之和 D.各自的自轉(zhuǎn)角速度BC兩顆中子星運動到某位置的示意圖如圖所示每秒轉(zhuǎn)動12圈，則由可求出其角速度。中子星運動時，由萬有引力提供向心力得G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2，l＝r1＋r2，可得＝ω2l，所以m1＋m2＝，質(zhì)量之和可以估算；由線速度與角速度的關(guān)系v＝ωr得v1＝ωr1，v2＝ωr2，可得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算；質(zhì)量之積和各自的自轉(zhuǎn)角速度無法求解，故選BC。題型二三星模型(2023·湖北黃岡中學(xué)三模)(多選)如圖所示，質(zhì)量相等的三顆星組成為三星系統(tǒng)，其他星體對它們的引力作用可忽略。設(shè)每顆星體的質(zhì)量均為m，三顆星分別位于邊長為r的等邊三角形的三個頂點上，它們繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)以相同的角速度做勻速圓周運動。已知引力常量為G，下列說法正確的是()A.每顆星體受到的向心力大小為B.每顆星體運行的周期均為C.若r不變，星體質(zhì)量均變?yōu)?m，則星體的角速度變?yōu)樵瓉淼谋禗.若m不變，星體間的距離變?yōu)?r，則星體的線速度變?yōu)樵瓉淼腂C任意兩顆星體間的萬有引力，每個星體受到其他兩個星體的引力的合力為，A錯誤；由牛頓第二定律可得，其中，解得每顆星體運行的周期均，B正確；原來星體的角速度為;若r不變，星體質(zhì)量均變?yōu)?m，則星體的角速度，則星體的角速度變?yōu)樵瓉淼谋?，C正確；若m不變，星體間的距離變?yōu)?r，則星體的周期為，星體的線速度大小為，則星體的線速度變?yōu)樵瓉淼?2，D錯誤。題型三四星模型(多選)如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質(zhì)量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個頂點，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點做勻速圓周運動，忽略其他星體對它們的作用，引力常量為G。下列說法中正確的是（）A.星體做勻速圓周運動的圓心不一定是正方形的中心B.每個星體做勻速圓周運動的角速度均為C.若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的兩倍D.若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的線速度大小不變BD四顆質(zhì)量相同的星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點做勻速圓周運動，所以星體做勻速圓周運動的圓心一定是正方形的中心，故A錯誤；由G＋G＝G＝mω2·L可知，ω＝，故B正確；由G＝ma可知，若邊長L和星體質(zhì)量m均為原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的12，故C錯誤；由G＝m可知，星體做勻速圓周運動的線速度大小為v＝，所以若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的線速度大小不變，故D正確。解決雙星、多星問題，要抓住四點:(1)根據(jù)雙星或多星的運動特點及規(guī)律，確定系統(tǒng)做圓周運動的圓心以及運動的軌道半徑。(2)星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。(3)星體的角速度相等。(4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關(guān)系，正確計算萬有引力和向心力。1.如圖所示，“食雙星”是兩顆相距為d的恒星A、B，只在相互引力作用下繞連線上O點做勻速圓周運動，彼此掩食(像月亮擋住太陽)而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星。觀察者在地球上通過望遠(yuǎn)鏡觀察“食雙星”，視線與雙星軌道共面。觀測發(fā)現(xiàn)每隔時間T兩顆恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，已知引力常量為G，地球距A、B很遠(yuǎn)，可認(rèn)為地球保持靜止，則()A.恒星A、B運動的周期為TB.恒星A的質(zhì)量小于B的質(zhì)量C.恒星A、B的總質(zhì)量為D.恒星A的線速度大于B的線速度C每隔時間T兩顆恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，則兩恒星的運動周期為T′＝2T，故A錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力有G＝mArA＝mBrB，由題圖知rA<rB，則mA>mB，故B錯誤；由B選項得兩恒星總質(zhì)量為M＝mA＋mB＝，故C正確；根據(jù)v＝ωr，兩恒星角速度相等，則vA<vB，故D錯誤．2.(多選)太空中存在一些離其他恒星很遠(yuǎn)的、由三顆星體組成的三星系統(tǒng)，可忽略其他星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是直線三星系統(tǒng)——三顆星體始終在一條直線上；另一種是三角形三星系統(tǒng)——三顆星體位于等邊三角形的三個頂點上。已知某直線三星系統(tǒng)A每顆星體的質(zhì)量均為m，相鄰兩顆星體中心間的距離都為R；某三角形三星系統(tǒng)B的每顆星體的質(zhì)量恰好也均為m，且三星系統(tǒng)A外側(cè)的兩顆星體與三星系統(tǒng)B每顆星體做勻速圓周運動的周期相等。引力常量為G，則()A.三星系統(tǒng)A外側(cè)兩顆星體運動的線速度大小為v＝B.三星系統(tǒng)A外側(cè)兩顆星體運動的角速度大小為ω＝C.三星系統(tǒng)B的運動周期為T＝4πRD.三星系統(tǒng)B任意兩顆星體中心間的距離為L＝RBCD對三星系統(tǒng)A，由＋＝m，可得v＝，T＝＝4πR，ω＝＝;而三星系統(tǒng)B的運行周期與三星系統(tǒng)A外側(cè)星體的運行周期相同，故TB＝4πR，選項A錯誤，B、C正確。對三星系統(tǒng)B：由2×cos30°＝m·，可解得：L＝R，選項D正確。3.(2023·東北聯(lián)考)太空中存在一些離其他恒星很遠(yuǎn)的、由四顆星體組成的四星系統(tǒng)，可忽略其他星體對它們的引力作用?，F(xiàn)有這樣一種穩(wěn)定運行的正三角形四星系統(tǒng)，四顆星分別位于某一正三角形三個頂點和其幾何中心上。四顆星質(zhì)量均為m,正三角形邊長為L,引力常量為G。則下列說法中正確的是()A.位于頂點的三顆星運動的角速度與它們質(zhì)量的大小無關(guān)B.該四星系統(tǒng)做圓周運動的半徑為C.每個處于頂點處的星體所受向心力大小為D.該四星系統(tǒng)的運動周期為D該四星系統(tǒng)做圓周運動的半徑為,B錯誤；每個處于頂點處的星體所受向心力大小為,C錯誤；根據(jù)牛頓第二定律,解得,位于頂點的三顆星運動的角速度與它們質(zhì)量的大小有關(guān)，A錯誤；根據(jù)牛頓第二定律得,解得,D正確?？键c二天體追及與相遇問題“天體相遇”，指兩天體相距最近。若兩環(huán)繞天體的運轉(zhuǎn)軌道在同一平面內(nèi)，則兩環(huán)繞天體與中心天體在同一直線上，且位于中心天體的同側(cè)(或異側(cè))時相距最近(或最遠(yuǎn))。類似于在田徑場賽道上的循環(huán)長跑比賽，跑得快的每隔一段時間多跑一圈追上并超過跑得慢的。解決這類問題有兩種常用方法：1.角度關(guān)系設(shè)天體1(離中心天體近些)與天體2某時刻相距最近，如果經(jīng)過時間t，兩天體與中心連線半徑轉(zhuǎn)過的角度之差(或之和)等于2π的整數(shù)倍，則兩天體又相距最近，即ω1t－ω2t＝2nπ(n＝1，2，3，…)(同向)或ω1t＋ω2t＝2nπ(n＝1，2，3，…)(反向)；如果經(jīng)過時間t′，兩天體與中心連線半徑轉(zhuǎn)過的角度之差(或之和)等于π的奇數(shù)倍，則兩天體相距最遠(yuǎn)，即ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(同向)或ω1t′＋ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(反向)。2.圈數(shù)關(guān)系最近：－＝n(n＝1，2，3，…)(同向)，＋＝n(n＝1，2，3，…)(反向)最遠(yuǎn)：－＝(n＝1，2，3，…)(同向)，＋＝(n＝1，2，3，…)(反向)題型一同向運動星體的“追及相遇”問題當(dāng)?shù)厍蛭挥谔柡湍拘侵g且三者幾乎排成一條直線時，稱之為“木星沖日”，2020年7月14日出現(xiàn)了一次“木星沖日”。已知木星與地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運動，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍。則下列說法正確的是()A.下一次的“木星沖日”時間發(fā)生在2022年B.下一次的“木星沖日”時間發(fā)生在2021年C.木星運行的加速度比地球的大D.木星運行的周期比地球的小B設(shè)太陽質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，軌道半徑為r，周期為T，加速度為a。對行星由牛頓第二定律可得G＝mr，則T＝2π,已知地球公轉(zhuǎn)周期T1＝1年，那么木星公轉(zhuǎn)周期T2＝T1年。設(shè)經(jīng)時間t再次出現(xiàn)“木星沖日”，則有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得t年，因此下一次“木星沖日”發(fā)生在2021年，故A錯誤，B正確；對行星由牛頓第二定律可得G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π，由于木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍，因此，木星運行的加速度比地球的小，木星運行的周期比地球的大，故C、D錯誤。題型二反向運動衛(wèi)星的“追及相遇”問題(多選)如圖所示，有A、B兩顆衛(wèi)星繞地心O做圓周運動，運動方向相反。A衛(wèi)星的周期為T1，B衛(wèi)星的周期為T2，在某一時刻兩衛(wèi)星相距最近，則(引力常量為G)()A.兩衛(wèi)星下一次相距最近需經(jīng)過時間t＝B.兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為C.若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時的距離，可求出地球的密度D.若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時的距離，可求出地球表面的重力加速度AB兩衛(wèi)星運動方向相反，設(shè)經(jīng)過時間t再次相遇，則有t＋t＝2π，解得t＝，選項A正確；根據(jù)萬有引力提供向心力得＝mr，則，故A、B兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為，故B正確；若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時的距離，結(jié)合兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比可以求出兩顆衛(wèi)星的軌道半徑，根據(jù)萬有引力提供向心力＝mr，則可求出地球的質(zhì)量，但不知道地球的半徑，所以不可求出地球的密度和地球表面的重力加速度，故C、D錯誤。題型三兩星相距最近或最遠(yuǎn)次數(shù)的計算(多選)如圖，行星a、b的質(zhì)量分別為m1、m2，中心天體c的質(zhì)量為M(M遠(yuǎn)大于m1及m2)，在已知軌道半徑之比為rarb＝14，則下列說法中正確的是()A.a、b運動的周期之比為TaTb＝18B.a、b運動的周期之比為TaTb＝14C.從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線12次D.從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線14次AD根據(jù)開普勒第三定律可得，則，A正確、B錯誤；設(shè)圖示位置夾角為θ<，b轉(zhuǎn)動一周(圓心角為2π)的時間為t＝Tb，則a、b相距最遠(yuǎn)時：Tb－Tb＝(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3，…)，可知n，n可取7個值；a、b相距最近時：Tb－Tb＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3，…)，可知m，m可取7個值，故在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線14次，D正確?！皟尚恰毕嗑嘧罱?、最遠(yuǎn)問題：用類比的方法，天體運動類似于在田徑場賽道上的循環(huán)長跑比賽。常用公式為θ=ωt。通過作圖，搞清它們轉(zhuǎn)動的角度關(guān)系，是解決這類問題的關(guān)鍵。1.（2023·湖北模擬）（多選）北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由空間段、地面段和用戶段三部分組成，可在全球范圍內(nèi)全天候、全天時為各類用戶提供高精度、高可靠定位、導(dǎo)航、授時服務(wù)。在北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中有A、B兩顆衛(wèi)星在同一平面內(nèi)沿同一方向繞地球做勻速圓周運動，某一時刻，衛(wèi)星和衛(wèi)星相距最近，距離為2r。經(jīng)過t時間，衛(wèi)星A和衛(wèi)星B第一次相距最遠(yuǎn)，距離為4r。不考慮衛(wèi)星間的萬有引力，已知地球的半徑為r，萬有引力常量為G，衛(wèi)星A的周期為，下列說法正確的是A.地球的密度為B.衛(wèi)星B的周期為C.衛(wèi)星B的環(huán)繞速度小于km/sD.地球?qū)πl(wèi)星A的萬有引力大于地球?qū)πl(wèi)星B的萬有引力AC

設(shè)A到地心距離，B到地心距離，有題意可得：，，可得：，，由此可知A是近地衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力有，，，可求地球密度，故A正確；，，故B錯誤；衛(wèi)星B的環(huán)繞速度小于第一宇宙速度，故C正確；衛(wèi)星A和衛(wèi)星B質(zhì)量未知，無法比較它們和地球的萬有引力，故D錯誤。2.我國火星探測器“祝融號”在2021年月中旬到月下旬發(fā)生短暫“失聯(lián)”，原因是發(fā)生“火星合日”現(xiàn)象。“火星合日”是指火星和地球分別位于太陽兩側(cè)且與太陽共線的天文現(xiàn)象，如圖所示。已知火星公轉(zhuǎn)周期為，地球公轉(zhuǎn)周期為，地球與火星繞行方向相同。則（）A.B.火星與地球軌道半徑之比為C.火星與地球公轉(zhuǎn)的線速度之比為D.相鄰兩次“火星合日”的時間間隔為D

根據(jù)開普勒第三定律，可知，A錯誤；由得，，B錯誤；根據(jù)，可得線速度，可知，C錯誤；相鄰兩次火星合日，即地球比火星多轉(zhuǎn)1周經(jīng)過時間為，則有，解得相鄰兩次“火星合日”的時間間隔為，D正確。故選D。考點三天體運行中的遮擋問題天體運行中的遮擋問題，涉及衛(wèi)星的周期、軌道半徑及其詳細(xì)的相對地球位置的變化規(guī)律，尤其是有些天體及衛(wèi)星間的通信遮擋問題，要求學(xué)生要能夠從所給的材料中，提煉出有用信息，構(gòu)建好物理模型，利用萬有引力定律及其相關(guān)知識求解。(多選)天問一號在繞火星運動過程中由于火星遮擋太陽光，也會出現(xiàn)類似于地球上觀察到的日全食現(xiàn)象，如圖所示。已知天問一號繞火星運動的軌道半徑為r，火星質(zhì)量為M，引力常量為G，天問一號相對于火星的張角為α（用弧度制表示），將天問一號環(huán)火星的運動看作勻速圓周運動，天問一號、火星和太陽的球心在同一平面內(nèi)，太陽光可看作平行光，則（）A.火星表面的重力加速度為B.火星的第一宇宙速度為C.天問一號每次日全食持續(xù)的時間為αD.天問一號運行的角速度為AC天問一號相對于火星的張角為α，根據(jù)幾何關(guān)系可得火星半徑為R＝rsin，質(zhì)量為m0的物體在火星表面有G＝m0g，聯(lián)立解得火星表面的重力加速度為g＝，故A正確；根據(jù)質(zhì)量為m0的物體在火星表面做勻速圓周運動時萬有引力提供向心力，有G＝m0，且R＝rsin，聯(lián)立解得火星的第一宇宙速度v＝，故B錯誤；作出天問一號上觀察到的日全食的示意圖，如圖所示，日全食持續(xù)的時間為天問一號在GE