利用逐次逼近方法求解開普勒方程及其推廣

利用逐次逼近方法求解開普勒方程開普勒方程X=qsinx+a(0<g<1，a是常數(shù))．是用來確定行星在其軌道上的位置的．任取一個數(shù)x。，作如下逐次迭代數(shù)列X1=qsinx0+a，X2=qsinx1+a…，xn+1=qsinxn+a，…證明這個數(shù)列的極限存在，且此極限恰好是開普勒方程的唯一解．解：我們熟知，數(shù)列{xn}有極限的充分必要條件是：對于任意給定的>0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)m>n>N時，有|xm-xn|<這就是著名的關(guān)于判斷數(shù)列極限存在性的柯西收斂準(zhǔn)則．下面我們對于迭代數(shù)列|xn|應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則，證明數(shù)列有極限．由x2-x1=q(sinx1一sinx0)=2gSincos，注意到|sinx|≤lxl及Icosxl≤1，有|x2一x1l≤qlxl—x0|=礬其中A=lx。一x。J是常數(shù)．同理，|x3一x2|≤q|x2一x1|≤q2

依次進行下去，可得|xn+1一xn|≤qn【?(n=1，2，…)因此，當(dāng)優(yōu)>卯時，

由于0<q<1，有

這樣，對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使當(dāng)’m>n>N時，|xm-xn|<

根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列{xn}的極限存在．以下證明此極限是開普勒方程的解，最后證明解的唯一性．若設(shè)，則在等式xn+l=qsinxn+a中令n∞，由sinx的連續(xù)性得

即確實是開普勒方程的解．不難證明，這個是開普勒方程的唯一解．事實上，若假設(shè)’是開普勒方程的另一個解，即’=qsin’+a則

但0<g<1，故上式當(dāng)且僅當(dāng)=’時才成立．．這就說明用此題中描述的逐次逼近法求解開普勒方程是合理的．思考題：?一般地，對于方程給定一個初值x。，代人右端可算得一個x1=(x。)，再將x1代入右端，又可得到x2=(x1)，…，如此繼續(xù)下去，會得到一個數(shù)列{xk}，其中Xk+1=(xk)???k=0，1，2，…{Xk}稱為迭代數(shù)列，(x)稱為迭代函數(shù)．試證明：若(x)滿足條件1。當(dāng)x∈[a，b]時，?(x)∈[a，b]；2。存在正數(shù)L<1，使對任意．x∈[a，b]，|/(x)|≤L<1則x=(x)在[a，b]上有唯一的根，且對任意的初值x?！蔥a，b]，迭代數(shù)列Xk+1=(xk)(k=0，1，2，…)收斂于．我們可以依據(jù)上述結(jié)論求方程的根．例如，求方程x3一x2—1=0在X=1．5附近的近似根(準(zhǔn)確到1013)．令f(x)=x3一x2一1，由f(1.5)=0．125，f(1.4)=一0.216，再根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在[1.4，1.5]內(nèi)有f(x)=0的一個根．將原方程化為x=，則迭代函數(shù)為(x)=．對x∈[1.4，1.5]，|/(x)||2x/3(x2+1)2/3|<1．取初值x。=1.5，則迭代數(shù)列，(k=0，1，2，…)必收斂．所得數(shù)列如下Xo=1.5，x1=1.481248，x2=1.4727057X3=1.468817