蘇教版數(shù)學必修四講義模塊復習課Word版含答案

一、三角函數(shù)1．任意角三角函數(shù)的定義在平面直角坐標系中，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，記作sin_α，即sin_α＝y(tǒng)；(2)x叫做α的余弦，記作cos_α，即cos_α＝x；(3)eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tan_α，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．2．同角三角函數(shù)的基本關系式(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).3．誘導公式六組誘導公式可以統(tǒng)一概括為“k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)”的誘導公式．當k為偶數(shù)時，函數(shù)名不改變；當k為奇數(shù)時，函數(shù)名改變，然后前面加一個把α視為銳角時原函數(shù)值的符號．記憶口訣為“奇變偶不變，符號看象限”．4．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且))))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，))))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(k∈Z))))值域[－1,1][－1,1]R對稱性對稱軸：x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)對稱軸：x＝kπ(k∈Z)；對稱中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)對稱中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，無對稱軸奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期性最小正周期：2π最小正周期：2π最小正周期：π單調性在eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是單調增函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是單調減函數(shù)在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是單調增函數(shù)；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上是單調減函數(shù)在開區(qū)間(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)上是單調增函數(shù)最值在x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；在x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1在x＝2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1無最值二、平面向量1．向量的運算：設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．向量運算法則(或幾何意義)坐標運算向量的線性運算加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)三角形法則平行四邊形法則減法減法法則a－b＝(x1－x2，y1－y2)數(shù)乘(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λa＝(λx1，λy1)向量的數(shù)量積運算a·b＝|a||b|cosθ(θ為a與b的夾角)規(guī)定0·a＝0，數(shù)量積的幾何意義是a的模與b在a方向上的投影的積a·b＝x1x2＋y1y22.兩個定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.②基底：把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．(2)向量共線定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.3．向量的平行與垂直a，b為非零向量，設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b有唯一實數(shù)λ使得b＝λax1y2－x2y1＝0a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝04.平面向量的三個性質(1)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).5．向量的投影向量a在b方向上的投影為|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|).6．向量的運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a.(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2三角恒等變換1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).2．二倍角公式sin2α＝2sin_αcos_α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．升冪公式1＋cos2α＝2cos2α.1－cos2α＝2sin2α.4．降冪公式cos2x＝eq\f(1＋cos2x,2)，sin2x＝eq\f(1－cos2x,2).5．和差角正切公式變形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．6．輔助角公式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中φ為輔助角，tanφ＝eq\f(b,a))(或asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)cos(x－φ)，tanφ＝eq\f(a,b))．1．終邊與始邊重合的角是零角．(×)[提示]終邊與始邊重合的角是360°的整數(shù)倍．2．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長短有關．(×)[提示]與圓的半徑長短無關．3．角α是三角形的內角，則必有sinα＞0，cosα≥0.(×)[提示]當α是鈍角時cosα＜0.4．同一個三角函數(shù)值能找到無數(shù)個角與之對應．(√)5．對任意角α，eq\f(sinα,cosα)＝tanα都成立．(×)[提示]只有cosα≠0時才成立．6．誘導公式中的角α一定是銳角．(×)[提示]只要角α使代數(shù)式有意義即可，不一定是銳角．7．在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC．(√)8．函數(shù)y＝sinx的圖象向右平移eq\f(π,2)個單位得到函數(shù)y＝cosx的圖象．(×)[提示]應為向左平移eq\f(π,2)個單位．9．函數(shù)y＝cosx的圖象關于x軸對稱．(×)[提示]關于y軸對稱，所有對稱軸可表示為x＝kπ(k∈Z)．10．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,2)))＝sineq\f(π,4)，則eq\f(π,2)是正弦函數(shù)y＝sinx的一個周期．(×)[提示]若T是一個函數(shù)的周期，對任意的x必有f(x＋T)＝f(x)成立．如sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,2)))≠sineq\f(π,3)，故eq\f(π,2)不是y＝sinx的周期．11．函數(shù)y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函數(shù)．(×)[提示]函數(shù)若具備奇偶性首先要滿足定義域關于原點對稱．12．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域內都是單調函數(shù)．(×)[提示]正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有單調區(qū)間，但在定義域內單調性不一致，不是單調函數(shù)．13．正切函數(shù)的定義域和值域都是R.(×)[提示]正切函數(shù)的值域是R，定義域為{x|x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)}．14．把函數(shù)y＝cosx圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍就得到函數(shù)y＝cos3x的圖象．(×)[提示]應得到y(tǒng)＝coseq\f(1,3)x的圖象．15．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值為A.(×)[提示]最大值應為|A|.16．向量eq\o(AB,\s\up12(→))與向量eq\o(BA,\s\up12(→))是相等向量．(×)[提示]eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(BA,\s\up12(→))大小相等，方向相反，是相反向量．17．任意兩個向量的和仍然是一個向量．(√)18．兩個相等向量之差等于0.(√)19．實數(shù)λ與向量a的積還是向量．(√)20．若ma＝mb，則a＝b.(×)[提示]m＝0時，a＝b不成立．21．任意兩個向量都可以作為基底．(×)[提示]不共線的兩個向量才可以作為基底．22．當向量的始點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標．(√)23．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，則必有x1y2＝x2y1.(√)24．兩個向量的數(shù)量積仍然是向量．(×)[提示]兩個向量的數(shù)量積是數(shù)．25．|eq\o(AB,\s\up12(→))|的計算公式與A，B兩點間的距離公式是一致的．(√)26．若△ABC為直角三角形，則有eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝0.(×)[提示]只有∠B＝90°時，eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝0成立．27．對任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．(√)28．存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．(√)29．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,4)))能用公式tan(α＋β)展開．(×)[提示]展開式中有taneq\f(π,2)，此式無意義．30．若α是第一象限角，則taneq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).(√)1．(2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up12(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up12(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up12(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up12(→)) D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up12(→))A[法一：如圖所示，eq\o(EB,\s\up12(→))＝eq\o(ED,\s\up12(→))＋eq\o(DB,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up12(→))，故選A.法二：eq\o(EB,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up12(→))，故選A.]2．(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－bA．4B．3C．2 D．0B[a·(2a－b)＝2a2－a·b故選B.]3．(2019·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,2)))－3cosx的最小值為________．[答案]－44．(2018·江蘇高考)已知α，β為銳角，tanα＝eq\f(4,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因為tanα＝eq\f(4,3)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)，所以sinα＝eq\f(4,3)cosα.因為sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(9,25)，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25).(2)因為α，β為銳角，所以α＋β∈(0，π)．又因為cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5)，所以si