數(shù)學(xué)備考之“融通歸一法”

初三復(fù)習(xí)之“融通歸一法”

2013年3月“融通歸一法”名詞解釋“聯(lián)想融通法”“多題歸一法”合稱怎么來的？一道數(shù)學(xué)中考題帶給我的思考一道數(shù)學(xué)中考題帶給我的思考

（河北2003，26題，12分之解決問題）如圖五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成圖的ABCMNE形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（圖1-6-4中折線CDE）還保留著，張大爺想過E點(diǎn)修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時(shí)的一樣多。請你用有關(guān)的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計(jì)出修路方案。（不計(jì)分界小路與直路的占地面積）為什么覺得得高分？一道數(shù)學(xué)中考題帶給我的思考

一道數(shù)學(xué)中考題帶給我的思考

一道數(shù)學(xué)中考題帶給我的思考（河北2003，26題，12分之解決問題）如圖五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成圖的ABCMNE形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（圖1-6-4中折線CDE）還保留著，張大爺想過E點(diǎn)修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時(shí)的一樣多。請你用有關(guān)的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計(jì)出修路方案。（不計(jì)分界小路與直路的占地面積）一道數(shù)學(xué)中考題帶給我的思考怎樣進(jìn)行復(fù)習(xí)才能實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通，舉一反三呢？+？按理說應(yīng)該80%以上得滿分吧？說明復(fù)習(xí)效果低期待復(fù)習(xí)產(chǎn)生什么效果呢？通過復(fù)習(xí)鞏固學(xué)習(xí)過的知識；通過復(fù)習(xí)使知識形成網(wǎng)絡(luò)；通過復(fù)習(xí)使能力得到提升；通過復(fù)習(xí)掌握一定的解題策略。我們期待通過復(fù)習(xí)到達(dá)的效果簡而言之是：掌握知識、形成網(wǎng)絡(luò)、提升能力、擁有策略。事實(shí)與期待不一差生還是掌握不住最基本的知識；中下生對基礎(chǔ)知識掌握得還是不牢；中等生對稍加變化的題就不會(huì)；上等生題一活就不行；好學(xué)生沒解難題策略，常需要很長時(shí)間找思路。復(fù)習(xí)后的現(xiàn)實(shí)感覺：越接近中考越覺得問題多，總覺得哪兒都是漏洞，哪兒都該抓?？逝?實(shí)現(xiàn):找到一條有效復(fù)習(xí)法融會(huì)貫通，舉一反三！什么是融會(huì)貫通？什么表現(xiàn)算舉一反三呢？現(xiàn)有資料的限制首先自己先實(shí)現(xiàn)：融會(huì)貫通，舉一反三！牽強(qiáng)附會(huì)，揉在一起！例1：公式記憶牽強(qiáng)附會(huì)，揉在一起！例2：代數(shù)相生牽強(qiáng)附會(huì)，揉在一起！例3：定理合一請判定兩邊分別平行的兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系。其次想法讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)：聯(lián)想融通法：成網(wǎng)絡(luò)多題歸一法：能反三融通歸一法融會(huì)貫通，舉一反三！聯(lián)想融通法例1—平行1平行的聯(lián)想之一：由平行想到的⑴不相交,⑵無公點(diǎn),⑶同一平面,⑷平行公理,⑸平行三條件，⑹三條性質(zhì)，⑺同旁內(nèi)角的平分線互垂直，⑻垂直于同一直線的兩直線平行，⑼平行四邊形,⑽矩形,⑾菱形,⑿正方形,⒀梯形⒁平移,⒂平行線間距離處處相等，⒃平行出相似，⒄中位線，⒅利用平行線進(jìn)行等積轉(zhuǎn)換，⒆遇角平分線構(gòu)成等腰三角形⒇圓中平行弦，：聯(lián)想融通法例1—平行2平行的聯(lián)想之二：平行的判定法⑴兩直線同一平面不相交,⑵同一平面內(nèi)兩直線無公點(diǎn)⑶平行三條件⑷垂直于同一直線的兩直線平行⑸同旁內(nèi)角的平分線互垂直⑹通過判定為特殊四邊形⑺全等得角⑻相似得平行，聯(lián)想融通法例1--平行3平行的聯(lián)想之二：平行的判定法⑼

中位線定理⑽平移,⑾利用同底等積,⑿圓兩等弧聯(lián)想融通法例1—平行4平行的聯(lián)想三：平行的用法⑴直接用性質(zhì)求角,⑵與三角形外結(jié)合求角⑶平行遇中點(diǎn)得全等,⑷平行遇中點(diǎn)得中位線,⑸利用平行出相似得線段比,⑹平行加角平分線構(gòu)造等腰三角形,⑺圓中平行得等弧事平行弦,⑻進(jìn)行三角形等轉(zhuǎn)化,⑼用同旁內(nèi)角平分線垂直得直角,聯(lián)想融通法例2—垂直1垂直的聯(lián)想之一：由垂直想到的垂直的聯(lián)想之二：重直的判定法垂直的聯(lián)想之三：垂直的的用法垂直：聯(lián)想融通法例2—垂直2垂直的聯(lián)想之一：由垂直想到的⑴兩直線交角等于90度,⑵垂直公理,⑶垂線段最短,⑷點(diǎn)到直線的距離,⑸平行線間距離處處相等⑹垂直平行線中一條也垂直于另一條，⑺鄰補(bǔ)角的平分線相互垂直，⑻平行線所成同旁內(nèi)角平分線相互垂直，⑼垂直于同一直線的兩直線平行，⑽中垂線，⑾三線合一，⑿三角形中有兩角互余，⒀三角形三角比為m:n:k,且m+n=k，⒁多邊形的高，⒂等腰三角形兩腰上高相等，⒃面積公式，⒄勾股定理及其逆，⒅勾股數(shù),聯(lián)想融通法例2--垂直3垂直的聯(lián)想之一：由垂直想到的⒆特殊Rt△三邊比1:1:、1::2,⒇利用面積等建立方程或等式，(21)矩形,(22)直角三角斜邊上中線等于斜一半及其逆,(23)菱形對角線及面積,正方形角對角線,(24)直角梯形,(25)見對角線垂直的梯形,用平移,(26)中點(diǎn)四邊形中菱形矩形的判定,(27)過直角頂點(diǎn)的直線類題,(28)HL判全等,(29)全等一直角△證垂直,(30)角平分線性質(zhì)得全等與垂直,(31)兩高相交出相似，(32)垂直出相似,(33)射影定理,及其逆用,(34)垂徑定型,(35)直徑所對圓周角等于90度及其逆,(36)45度圓周角所對弦長等于半徑的倍,(37)相交兩直角及兩交點(diǎn)四邊共圓,(38)切線，（39）三角函數(shù)……聯(lián)想融通法2—垂直4垂直的聯(lián)想之二：垂直的判定法⑴定義:兩直線交角等于90度,⑵出現(xiàn)點(diǎn)到直線,或直線間距離字眼,⑶三角形三邊滿足勾股定理(含特殊Rt△三邊比)⑷三角形兩內(nèi)角互余⑸三角形三角比為m:n:k,且m+n=k⑹同旁內(nèi)角的平分線互垂直⑺鄰補(bǔ)角的平分線聯(lián)想融通法例2--垂直5垂直的聯(lián)想之二：垂直的判定法⑻多邊形的高，⑼等腰三角形三線合一⑽菱形(或正方形)對角線⑾判定四邊形為矩形(或正方形或直角梯形)⑿出現(xiàn)了角平分線,⒀出現(xiàn)了軸對稱⒁與一直角三角形全等或相似⒂三角形一邊上中線等于該邊長的一半⒃三角形一邊上高是被該高分成兩線段的比例中項(xiàng)（即射影定理之逆用）聯(lián)想融通法例2—垂直6垂直的聯(lián)想之二：垂直的判定法⒄出現(xiàn)直徑所對圓周角⒅出現(xiàn)切線⒆垂直于一組平行線中的一條⒇三角函數(shù)值與對應(yīng)邊比值正好相等聯(lián)想融通法例3—最值1最值：二次整式的最值問題、函數(shù)區(qū)間最值二次函數(shù)求最小值與最大值、兩點(diǎn)之間線段最短垂線段最短(高，2012河北）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊線段和最小差最大問題兩二次根號和最小含橋類最短路線問題聯(lián)想融通法例3—最值2最值：聯(lián)想融通法例3—最值3最值：聯(lián)想融通法例3---最值4最值：借助平行四邊形與線段最短解決過橋問題聯(lián)想融通法設(shè)想一下:每個(gè)單元復(fù)習(xí)完畢后都給出一兩個(gè)關(guān)鍵詞“聯(lián)想融通”一下，會(huì)是什么效果？數(shù)，式，乘法公式，分解因式，平方根，方程，解，整體代入，函數(shù)，二次函數(shù)，最值，……平行、垂直，中點(diǎn)，角平分線，三角形，四邊形，全等，相似，切線、………只要你認(rèn)為需要，就讓學(xué)生想一下聯(lián)想融通法你中有我,我中有你;前后照應(yīng)八方聯(lián)系掌握知識形成網(wǎng)絡(luò)提升能力這時(shí)：缺少的是面對難題如何去入手的能力，即擁有策略。過去常用：一題多解一題多解一題多解一題多解回憶剛才的題目：1、它給你留下了什么？2、它是什么題型？3、以后遇到什么題用這樣的方法？一題多解一題多解多題歸一法多題歸一，抓住關(guān)鍵，舉一反三。一個(gè)故事多題歸一法例1—平行線用法1F多題歸一法例1—平行線用法2當(dāng)不改變圖形面積只改變圖形形狀時(shí)，可以借助平行線。操作步驟是：（1）把要改變的圖形分割成一多邊開與一個(gè)三角形，其中變化因素含在三角形部分，（2）過三角形的頂點(diǎn)作對邊平行線，借助同底等高面積相等進(jìn)行等積轉(zhuǎn)化。多題歸一法例2—共端點(diǎn)等線段用法1多題歸一法例2—共端點(diǎn)等線段用法2當(dāng)題目中出現(xiàn)兩條具有公共端點(diǎn)的線段時(shí)，考慮把其中一條線段連同它所在三角形一起旋轉(zhuǎn)到與另一條線段重合的位置，實(shí)現(xiàn)已知與問題的溝通。多題歸一法例2—共端點(diǎn)等線段用法3反思：一個(gè)人聰明的標(biāo)志。一題多解開視野多題一解得思路多題歸一可實(shí)現(xiàn)貫通即：舉一反三如何讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)：聯(lián)想融通法：成網(wǎng)絡(luò)多題歸一法：能反三融通歸一法融會(huì)貫通，舉一反三！多題歸一法例3—見中點(diǎn)“9”變“8”之1說明：如圖1到圖2,是否象數(shù)字“9”變成了“8”。此名為我教的本屆學(xué)生所取，往屆學(xué)生有叫它為“小旗型”變“啞鈴型”的等等。它的本質(zhì)是構(gòu)造“8”型全等（或相似）C是線段A