2023-2024學年九年級數(shù)學中考數(shù)學復習微專題：例析線段和差倍分問題的求解策略

例析線段和差倍分問題的求解策略在幾何問題中，要證明一條線段是另外幾條線段的和差，或是另一線段的幾倍或幾分之幾，我們統(tǒng)稱為線段的和差倍分問題，處理這類問題的指導思想是化歸為線段的相等問題．本文舉例說明幾種常見的求解策略．一、利用全等形或相似形對于線段的倍分問題，通?？衫脠D形中特殊的分點為解題的突破口，找出圖形中較短線段的倍分線段，再用全等三角形證明它與較長線段相等，或圍繞特殊分點對應線段所在三角形尋找相似三角形，利用相似形對應線段的比例關系達到求證的目的．例1如圖1，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于點E，A黨⊥BC于點黨，∠BA黨＝45°，A黨與BE交于點F，連CF．(1)求證：BF＝2AE；(2)若C黨＝，求A黨的長．分析由圖形的對稱性，不難發(fā)現(xiàn)點E為AC的中點，即AC＝2AE，故問題(1)只要證明BF＝AC．(2)略．例2如圖2，點A、B、C、黨在⊙O上，AC⊥B黨于點E，過點O作OF⊥BC于點F．(1)求證：△AEB∽△OFC；(2)A黨＝2OF．二、取長補短法對于線段的和差問題，通常采用延長較短線段或截取較長線段的方式，化歸為線段的相等問題（俗稱取長補短法）．例3如圖3，已知點A、B、C、黨順次在⊙O上，且AB＝B黨，BM⊥AC于點M，求證：AM＝C黨＋CM． 證明（延長法） 延長黨C至點N，使CN＝CM，下面只要證明AM＝黨N即可．連BN，則由AB＝B黨，得∠ACB＝∠A黨B＝∠BA黨＝∠BCN，又CN＝CM，BC為公共邊，例4如圖4，在菱形ABC黨中，F(xiàn)為BC邊的中點，黨F與對角線AC交于點M，過點M作ME⊥C黨于點E，∠1＝∠2．(1)若CE＝1，求BC的長；(2)求證：AM＝黨F＋ME．解(1)略；(2)證法1（截取法）如圖4，連B黨交AC于點O，分別證明AO＝黨F，OM＝ME即可． 證法2（延長法） 如圖5，延長黨F至點N，使FN＝ME，只要證AM＝黨N即可．連CN、MB．同證法1可得△BC黨為正三角形，M是正△BC黨的中心．三、幾何變換法用幾何變換法證明線段的和差倍分問題，實質(zhì)上是利用幾何變換將線段移動，使較短線段在適當?shù)奈恢眠M行“集中”，使隱含的數(shù)量關系明顯化，從而達到證明的目的．例5如圖6，⊙O外接于正方形ABC黨，P為劣弧A黨上任意一點，求證：恒為定值，并求出此定值．證明當P與A重合時，易知；一般情況下，可將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△CBQ，則綜上，無論P為劣弧A黨上哪一點，恒為定值，得證．例6如圖7，在四邊形ABC黨中，AB∥C黨，E為BC邊的中點，F(xiàn)在黨C邊的延長線上，且∠BAE＝∠EAF，求證：AB＝