考向26數(shù)列通項(xiàng)公式的多種妙解方式（十六大經(jīng)典題型）（原卷版）

考向26數(shù)列通項(xiàng)公式的多種妙解方式經(jīng)典題型一：觀察法經(jīng)典題型二：疊加法經(jīng)典題型三：疊乘法經(jīng)典題型四：待定系數(shù)法經(jīng)典題型五：同除以指數(shù)經(jīng)典題型六：取倒數(shù)法經(jīng)典題型七：取對(duì)數(shù)法經(jīng)典題型八：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題經(jīng)典題型九：周期數(shù)列經(jīng)典題型十：前n項(xiàng)積型經(jīng)典題型十一：“和”型求通項(xiàng)經(jīng)典題型十二：正負(fù)相間討論、奇偶討論型經(jīng)典題型十三：因式分解型求通項(xiàng)經(jīng)典題型十四：其他幾類(lèi)特殊數(shù)列求通項(xiàng)經(jīng)典題型十五：雙數(shù)列問(wèn)題經(jīng)典題型十六：通過(guò)遞推關(guān)系求通項(xiàng)（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴（2022·全國(guó)·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【解析】（1）因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)．類(lèi)型Ⅰ觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．類(lèi)型Ⅱ公式法：若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．類(lèi)型Ⅲ累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．類(lèi)型Ⅳ累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．類(lèi)型Ⅴ構(gòu)造數(shù)列法：（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開(kāi)移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當(dāng)為一次函數(shù)類(lèi)型（即等差數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠求出，再用類(lèi)型Ⅲ（累加法）便可求出（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類(lèi)型（即等比數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：——①，，兩邊同時(shí)乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類(lèi)型Ⅴ㈠的方法解決．（3）當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅲ（累加法），求出之后得．類(lèi)型Ⅵ對(duì)數(shù)變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對(duì)數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．類(lèi)型Ⅶ倒數(shù)變換法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求．類(lèi)型Ⅷ形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，通項(xiàng)公式為，則注意：根據(jù)求時(shí)，不要忽視對(duì)的驗(yàn)證．（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則經(jīng)典題型一：觀察法1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列的前4項(xiàng)為：，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））如圖所示是一個(gè)類(lèi)似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為（

）A．2n B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“一朵雪花”是2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式貫穿始終的一個(gè)設(shè)計(jì)理念，每片“雪花”均以中國(guó)結(jié)為基礎(chǔ)造型構(gòu)造而成，每一朵雪花都閃耀著奧運(yùn)精神，理論上，一片雪花的周長(zhǎng)可以無(wú)限長(zhǎng)，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1901年研究的一種分形曲線，如圖是“雪花曲線”的一種形成過(guò)程：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分劃向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程.若第一個(gè)正三角形（圖①）的邊長(zhǎng)為1，則第5個(gè)圖形的周長(zhǎng)為_(kāi)__________.經(jīng)典題型二：疊加法4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，.若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列中，中，（n∈N*）中，則________，________.經(jīng)典題型三：疊乘法7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，（n∈N*），且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求通項(xiàng)公式=___________9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列滿足：，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________.經(jīng)典題型四：待定系數(shù)法10．（多選題）（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．11．（2022·河南安陽(yáng)·三模（文））已知數(shù)列滿足，且前8項(xiàng)和為506，則___________.12．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．13．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，．(1)求證：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．14．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，，且.(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.經(jīng)典題型五：同除以指數(shù)15．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，且，(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)從條件①，②中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并給出解答．求數(shù)列______的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．16．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則的值為(

)A． B． C． D．無(wú)法確定經(jīng)典題型六：取倒數(shù)法18．（2022·全國(guó)·高三競(jìng)賽）數(shù)列滿足，．則通項(xiàng)______．19．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列__________20．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．21．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，則滿足的n的最大取值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10經(jīng)典題型七：取對(duì)數(shù)法22．（2022·湖南·長(zhǎng)郡高三階段練習(xí)）若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第一次得到數(shù)列1，2，2；第二次得到數(shù)列1，2，2，4，2；依次構(gòu)造，第次得到的數(shù)列的所有項(xiàng)的積記為，令，則___________，___________.23．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，且，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則______．經(jīng)典題型八：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題24．（2022·江蘇南通·高三開(kāi)學(xué)考試）從條件①，②，③，中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并給出解答.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，___________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)使得.25．（2022·河南省上蔡第一高級(jí)高三階段練習(xí)（文））記各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，已.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.26．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列.經(jīng)典題型九：周期數(shù)列27．（2022·上海高二期末）數(shù)列滿足，則_________.28．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列滿足，，若對(duì)于大于2的正整數(shù)，，則__________.29．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)數(shù)列滿足且，則（

）A． B． C． D．330．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C．180 D．240經(jīng)典題型十：前n項(xiàng)積型31．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且.(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.32．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則=（

）A． B． C． D．33．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知，則___________.經(jīng)典題型十一：“和”型求通項(xiàng)34．（2022·山西·太原市外國(guó)語(yǔ)高三開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列中，，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，且數(shù)列的前項(xiàng)n和為，證明：.35．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列滿足，，且其前項(xiàng)和為.若，則正整數(shù)（

）A．99 B．103 C．107 D．19836．（2022·黑龍江·哈師大附中高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，則的值為（）A．－8 B．6 C．－5 D．4經(jīng)典題型十二：正負(fù)相間討論、奇偶討論型37．（2022·河南·高二階段練習(xí)（文））數(shù)列滿足，則___________.38．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．39．（2022·廣東·高三開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)的和.40．?dāng)?shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則．41．（2022?夏津縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為508，則．經(jīng)典題型十三：因式分解型求通項(xiàng)42．（2022秋?安徽月考）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，．（Ⅰ）判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）若，設(shè)．，求數(shù)列的前項(xiàng)和．43．（2022?懷化模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，設(shè)．（1）求，；（2）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；（3）的通項(xiàng)公式，并求其前項(xiàng)和為．44．（2022秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)月考）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（Ⅱ）若記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．經(jīng)典題型十四：其他幾類(lèi)特殊數(shù)列求通項(xiàng)45．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，，求的通項(xiàng)公式.46．（2022·湖北·天門(mén)市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.47．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗松山分校模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型十五：雙數(shù)列問(wèn)題48．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若數(shù)列和滿足，，，，則（

）A． B． C． D．49．（2022·浙江·嘉興高一期中）數(shù)列滿足，則_____.50．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列和滿足，，，，則______，______．經(jīng)典題型十六：通過(guò)遞推關(guān)系求通項(xiàng)51．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）九連環(huán)是我國(guó)古代至今廣為流傳的一種益智游戲，最早記載九連環(huán)的典籍是《戰(zhàn)國(guó)策·齊策》，《紅樓夢(mèng)》第7回中有林黛玉解九連環(huán)的記載，我國(guó)古人已經(jīng)研究出取下n個(gè)圓環(huán)所需的最少步驟數(shù)，且，，，，，，…，則取下全部9個(gè)圓環(huán)步驟數(shù)最少為（

）A．127 B．256 C．341 D．51252．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”（下圖所示的是一個(gè)4層的三角跺）.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的球的總數(shù)為，則（

）A． B．C． D．53．（2022·廣東·東莞高三階段練習(xí)）有一種投擲骰子走跳棋的游戲：棋盤(pán)上標(biāo)有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，設(shè)棋子跳到第n站的概率為，若一枚棋子開(kāi)始在第1站，棋手每次投擲骰子一次，棋子向前跳動(dòng)一次．若骰子點(diǎn)數(shù)小于等于3，棋子向前跳一站；否則，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第9站（失?。┗蛘叩?0站（獲勝）時(shí)，游戲結(jié)束．則_________；該棋手獲勝的概率為_(kāi)_________．54．（2022·廣東佛山·三模）某挑戰(zhàn)游戲經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)，對(duì)每一道試題設(shè)置相應(yīng)的難度，根據(jù)需要，電腦系統(tǒng)自動(dòng)調(diào)出相應(yīng)難度的試題給挑戰(zhàn)者挑戰(zhàn)，現(xiàn)將試題難度近似當(dāng)做挑戰(zhàn)成功的概率．已知某挑戰(zhàn)者第一次挑戰(zhàn)成功的概率為，從第二次挑戰(zhàn)開(kāi)始，若前一次挑戰(zhàn)成功，則下一次挑戰(zhàn)成功的概率為；若前一次挑戰(zhàn)失敗，則下一次挑戰(zhàn)成功的概率為．記第次挑戰(zhàn)成功的概率為．則________；________．1．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高考真題（理））嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類(lèi)推，其中．則（

）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)·高考真題（理））等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件4．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．5．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．6．（2022·全國(guó)·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．7．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.經(jīng)典題型一：觀察法1．【答案】C【解析】將可以寫(xiě)成，所以的通項(xiàng)公式為；故選:C2．【答案】B【解析】依題意，每一行第一個(gè)數(shù)依次排成一列為：1，3，5，7，9，…，它們成等差數(shù)列，通項(xiàng)為，所以第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為.故選：B3．【答案】【解析】由題意知下一個(gè)圖形的邊長(zhǎng)是上一個(gè)圖形邊長(zhǎng)的，邊數(shù)是上一個(gè)圖形的4倍，則周長(zhǎng)之間的關(guān)系為，所以{}是公比為的等比數(shù)列，而首項(xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，“雪花”狀多邊形的周長(zhǎng)為.故答案為：經(jīng)典題型二：疊加法4．【解析】由題意，，得：

，運(yùn)用累加法：，，即，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，成立，所以5．【解析】因?yàn)?，所以，，…，所以累加可得．又，所以，所以．?jīng)檢驗(yàn)，，也符合上式，所以．6．【答案】

7

【解析】依題意，，，，而，則，而滿足上式，所以，.故答案為：7；經(jīng)典題型三：疊乘法7．【答案】【解析】由，得，則，，，，累乘得，所以.故答案為：.8．【答案】【解析】由，得，∵，∴，∴，∴，∴，又滿足上式，∴.故答案為：.9．【答案】【解析】由得，，則，即，又，所以.故答案為：.經(jīng)典題型四：待定系數(shù)法10．【答案】AB【解析】∵，可得，又∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故B正確；則，∴，故C錯(cuò)誤；則，故A正確；∴，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．【答案】【解析】由題意得：，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為解得：故答案為：12．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，∵，∴，兩式作差得，即，∴，又，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴，(2)∵，則．13．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，即又，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以（2）由（1）可得，所以①，所以②，①②得即，所以；14．【解析】（1）因?yàn)椋?，又，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故，即.（2）由（1）得，則，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，綜上所述，經(jīng)典題型五：同除以指數(shù)15．【解析】(1)因?yàn)榍遥援?dāng)時(shí)，，所以，即所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，因?yàn)椋瑫r(shí)，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．(2)選①：因?yàn)?，所以，則選②：因?yàn)?，所以，則（i）（ii）（i）（ii）得16．【解析】由兩邊同除以得，令，則，設(shè)，解得，，而，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，得17．【答案】A【解析】∵，，∴，解得.∵，∴，兩式相減得，，∴，∴是以＝3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，兩邊同除以，則，∴是以為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列，∴，∴，∴.故選：A.經(jīng)典題型六：取倒數(shù)法18．【答案】【解析】∵，∴．即．故答案為19．【答案】【解析】由兩邊取倒數(shù)可得，即所以數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，所以，所以；故答案為：20．【答案】D【解析】由，且，則，，，以此類(lèi)推可知，對(duì)任意的，，所以，，所以，且，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，所以，，則，其中，C對(duì)；，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，B對(duì)；由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，A對(duì)；由上可知，則，，所以，，D錯(cuò).故選：D.21．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，又，?shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．所以，所以，由，即，即，解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最大值為；故選：C經(jīng)典題型七：取對(duì)數(shù)法22．【答案】

14

【解析】設(shè)第次構(gòu)造后得到的數(shù)列為1，，，…，，2.則，則第次構(gòu)造后得到的數(shù)列為1，，，，，…，，，，2.則，∴，∴，又∵，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴，，.故答案為：；23．【答案】【解析】∵，∴，又∵，∴，，∴，又∴，又，且，所以，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴的前項(xiàng)和為，則.故答案為：.經(jīng)典題型八：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題24．【解析】（1）若選擇①，因?yàn)?，所以，兩式相減得，整理得,即，所以為常數(shù)列，而，所以；若選擇②，因?yàn)?，所以，兩式相減，得，因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列，所以；若選擇③，由變形得，，所以，由題意知，所以，所以為等差數(shù)列，又，所以，又時(shí)，也滿足上式，所以；（2）若選擇①或②，，所以所以，兩式相減得，則，故要使得，即，整理得，，當(dāng)時(shí)，，所以不存在，使得.若選擇③，依題意，，所以，故，兩式相減得：，則，令，則，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，又，故，綜上，使得成立的最小正整數(shù)的值為5.25．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，則.因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，整理得，解得（舍去）或.所以，所以.（2）由（1）得，所以①則②①-②得所以.26．【解析】，，則，所以，有，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.經(jīng)典題型九：周期數(shù)列27．【答案】.【解析】由題干中遞推公式，可得：，，，，，，，，，數(shù)列是以6為最小正周期的周期數(shù)列．，．故答案為.28．【答案】【解析】由題意知：，故是周期為3的周期數(shù)列，則.故答案為：.29．【答案】D【解析】由題意可得：，，，，據(jù)此可得數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，則.故選：D30．【答案】D【解析】當(dāng)，時(shí)，，；當(dāng)，時(shí)，，；當(dāng)，時(shí)，，；當(dāng)，時(shí)，，.，.故選：D經(jīng)典題型十：前n項(xiàng)積型31．【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積為，且，∴當(dāng)n=1時(shí)，，則，.當(dāng)n≥2時(shí)，，∴，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；(2)由（1）知數(shù)列，則由得，所以，所以.32．【答案】C【解析】則，代入，化簡(jiǎn)得：，則.故選:C.33．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，（），（?又因?yàn)?，?dāng)n=1時(shí)，得

，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差，所以，所以，滿足

，故，即＝，所以＝（），兩式相除得：，所以（），所以＝－＝，所以.故答案為：.經(jīng)典題型十一：“和”型求通項(xiàng)34．【解析】（1）因?yàn)椋援?dāng)，兩式相減，得，即，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式成立；當(dāng)時(shí)，上式不成立，所以（2）證明：由（1）知當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，.35．【答案】B【解析】由得，∴為等比數(shù)列，∴，∴，，∴，①為奇數(shù)時(shí)，，；②為偶數(shù)時(shí)，，，∵，只能為奇數(shù)，∴為偶數(shù)時(shí)，無(wú)解，綜上所述，.故選：B.36．【答案】C【解析】對(duì)于，當(dāng)時(shí)有，即，，兩式相減得：，由可得即從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，所以，即，則，故，由可得，故選C.經(jīng)典題型十二：正負(fù)相間討論、奇偶討論型37．【答案】【解析】∵，∴，得，∵，∴，所以的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，∴.故答案為：38．【答案】D【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，兩式相減得，所以，，故，故選：D.39．【解析】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公差為－1的等差數(shù)列，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以；（2）.40．【解析】解：因?yàn)閿?shù)列滿足，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，，，，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，，，，，，，故，，，，，，，因?yàn)榍?6項(xiàng)和為540，所以，所以，解得．故答案為：．41．【解析】解：由，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，可得，，累加可得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，可得，，，．可得．．，，即．故答案為：3．經(jīng)典題型十三：因式分解型求通項(xiàng)42．【解析】解：（Ⅰ），，又?jǐn)?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，，①當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，，．43．【解析】解：（1），，，可得，則，數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，可得；，，；（2）數(shù)列為等差數(shù)列，理由：，則數(shù)列為首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列；（3），前項(xiàng)和為．44．【解析】證明：由，變形得：，由于為正項(xiàng)數(shù)列，，利用累乘法得：從而得知：數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，從而．經(jīng)典題型十四：其他幾類(lèi)特殊數(shù)列求通項(xiàng)45．【解析】（1）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，得，即所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（2）因?yàn)?，，所以，由?）知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，于是，又因?yàn)?，所以，?46．【解析】(1)因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗允且?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以變形得所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列所以，所以(2)因?yàn)椤偎浴冖?②得：所以47．【答案】A【解析】因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，所以當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，整理得，所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以或所以，首項(xiàng)滿足此式，或首項(xiàng)滿足此式，所以或，所以CD錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以A正確，B錯(cuò)誤，故選：A經(jīng)典題型十五：雙數(shù)列問(wèn)題48．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，即，又，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，又，即，所以所以；故選：C49．【答案】.

【解