天津市西青區(qū)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

天津市西青區(qū)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是A. B.C. D.2．概率論起源于賭博問(wèn)題．法國(guó)著名數(shù)學(xué)家布萊爾帕斯卡遇到兩個(gè)賭徒向他提出的賭金分配問(wèn)題：甲、乙兩賭徒約定先贏(yíng)滿(mǎn)局者，可獲得全部賭金法郎，當(dāng)甲贏(yíng)了局，乙贏(yíng)了局，不再賭下去時(shí)，賭金如何分配？假設(shè)每局兩人輸贏(yíng)的概率各占一半，每局輸贏(yíng)相互獨(dú)立，那么賭金分配比較合理的是（）A.甲法郎，乙法郎 B.甲法郎，乙法郎C.甲法郎，乙法郎 D.甲法郎，乙法郎3．在正方體中中，，若點(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，且點(diǎn)P到底面的距離為3，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.4．為了了解1200名學(xué)生對(duì)學(xué)校某項(xiàng)教改實(shí)驗(yàn)的意見(jiàn)，打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣本，采用系統(tǒng)抽樣方法，則分段的間隔為（）A.40 B.30C.20 D.125．《九章算術(shù)》與《幾何原本》并稱(chēng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》卷五商功篇中介紹了羨除（此處是指三面為等腰梯形，其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體）體積的求法.在如圖所示的羨除中，平面是鉛垂面，下寬，上寬，深，平面BDEC是水平面，末端寬，無(wú)深，長(zhǎng)（直線(xiàn)到的距離），則該羨除的體積為（）A. B.C. D.6．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記為，則等于（）A. B.C. D.7．有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為，(是時(shí)間，是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A. B.C. D.8．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)間的距離是3，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為（）A.1 B.2C.3 D.49．如圖，在三棱錐中，，二面角的正弦值是，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.10．設(shè)是兩個(gè)非零向量，則“”是“夾角為鈍角”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11．某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年級(jí)的人數(shù)比為，要用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為300的樣本，則應(yīng)抽取的三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為（）A.20 B.40C.60 D.8012．方程表示的曲線(xiàn)是（）A.一個(gè)橢圓和一條直線(xiàn) B.一個(gè)橢圓和一條射線(xiàn)C.一條射線(xiàn) D.一個(gè)橢圓二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式___________14．若“x2－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分條件，則m最大值為_(kāi)_______15．一條光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)射到直線(xiàn)上，被反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為_(kāi)__________.16．記為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若，，則=_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，，是的中點(diǎn).（1）若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，證明：平面；（2）線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，若存在，求的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若，求外接圓面積的最小值.19．（12分）已知函數(shù)在時(shí)有極值0.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)（1）求單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在手機(jī)、軍工、航天等多個(gè)領(lǐng)域，是能夠影響一個(gè)國(guó)家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與統(tǒng)計(jì)，某公司七年時(shí)間里在芯片技術(shù)上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)折線(xiàn)圖數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分);（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新,當(dāng)研發(fā)技術(shù)投入不少于16億元時(shí),國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元,預(yù)測(cè)當(dāng)芯片的研發(fā)投入為17億元時(shí)公司的實(shí)際收益附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為,．參考數(shù)據(jù),22．（10分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn).（1）證明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可得（3），從而得到，，的大小關(guān)系【詳解】考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，（3），即，，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題2、A【解析】利用獨(dú)立事件計(jì)算出甲、乙各自贏(yíng)得賭金的概率，由此可求得兩人各分配的金額.【詳解】甲贏(yíng)得法郎的概率為，乙贏(yíng)得法郎的概率為，因此，這法郎中分配給甲法郎，分配給乙法郎.故選：A.3、A【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，先由，且點(diǎn)P到底面的距離為3，確定點(diǎn)P的位置，然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，因?yàn)?所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，點(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P到底面的距離為3，所以，所以，因?yàn)?，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，故選：A4、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的概念，以及抽樣距的求法，可得結(jié)果.【詳解】由總數(shù)為1200，樣本容量為40，所以抽樣距為：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的概念，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】在，上分別取點(diǎn)，，使得，連接，，，把幾何體分割成一個(gè)三棱柱和一個(gè)四棱錐，然后由棱柱、棱錐體積公式計(jì)算【詳解】如圖，在，上分別取點(diǎn)，，使得，連接，，，則三棱柱是斜三棱柱，該羨除的體積三棱柱四棱錐.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查求空間幾何體的體積，解題思路是觀(guān)察幾何體的結(jié)構(gòu)特征，合理分割，將不規(guī)則幾何體體積的計(jì)算轉(zhuǎn)化為錐體、柱體體積的計(jì)算．考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力6、D【解析】求導(dǎo)后代入即可.【詳解】，.故選：D.7、B【解析】對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義即速度求得在時(shí)的導(dǎo)數(shù)值即可.【詳解】由題知，，當(dāng)時(shí)，，即速度為7.故選：B8、B【解析】利用拋物線(xiàn)的定義求解即可【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)間的距離是3，所以，得，即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，故選：B9、A【解析】利用二面角S﹣AC﹣B的余弦值求得，由此判斷出，且兩兩垂直，由此將三棱錐補(bǔ)形成正方體，利用正方體的外接球半徑，求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以，所以是二面角的平面角，所以.在三角形中，，在三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，所以，由于，所以?xún)蓛纱怪?由此將三棱錐補(bǔ)形成正方體如下圖所示，正方體的邊長(zhǎng)為2，則體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為.設(shè)正方體外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為，故選：.10、B【解析】因?yàn)闀r(shí)，夾角為鈍角或平角；而當(dāng)夾角為鈍角時(shí)，成立，所以“”是“夾角為鈍角”的必要不充分條件．故選B考點(diǎn)：1向量的數(shù)量積；2充分必要條件11、C【解析】根據(jù)給定條件利用分層抽樣的抽樣比直接計(jì)算作答.【詳解】依題意，三年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為，從1500人中用分層隨機(jī)抽樣抽取容量為300的樣本的抽樣比為，所以應(yīng)抽取的三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為.故選：C12、A【解析】根據(jù)題意得到或，即可求解.【詳解】由方程，可得或，即或，所以方程表示的曲線(xiàn)為一個(gè)橢圓或一條直線(xiàn).故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)與關(guān)系求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，檢驗(yàn)：，所以.故答案為：14、【解析】解不等式，得到或，，根據(jù)必要不充分條件，得到是A的真子集，從而求出，得到m的最大值.【詳解】，解得：或，所以記或，；若“x2－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分條件，則是A的真子集故，所以m最大值為故答案為：-215、【解析】先求點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接,則直線(xiàn)即為所求.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，所以，又點(diǎn)，所以，直線(xiàn)的方程為：，由圖可知，直線(xiàn)即為入射光線(xiàn)，所以化簡(jiǎn)得入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程:.故答案為：.16、18【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以故答案為：18三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在點(diǎn)，且的長(zhǎng)為，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，得到，結(jié)合面面平行的判定定理證得平面平面，進(jìn)而得到平面；（2）以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸、軸，以垂直平面的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得的法向量為和向量，結(jié)合向量的夾角公式列出方程，求得的值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面平面，又由平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】解：以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸、軸，以垂直平面的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形，設(shè)，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，因?yàn)?，所以，即，解得，設(shè)，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，所以，解得，即，所以存在點(diǎn)，且的長(zhǎng)為.18、（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式將已知轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，解一元二次方程可得；（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圓半徑的最小值，然后可解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，解得或（舍去），又為銳角三角形，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為.19、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由在時(shí)有極值0,則，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值，從而得解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由可得，因?yàn)樵跁r(shí)有極值0，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足在時(shí)有極值，故舍去.所以常數(shù)a，b的值分別為.所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，令，解得，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，的遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)有極大值，當(dāng)有極小值，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則須滿(mǎn)足，解得.20、（1）單調(diào)增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求導(dǎo)由求解.（2）將時(shí)，恒成立，轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，令用導(dǎo)數(shù)法由求解即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)所以令，解得，所以單調(diào)增區(qū)間為.（2）因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以時(shí)，恒成立，令則令因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故符合要求；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故存在使得則當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，不符合要求；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故存在使得則當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，不符合要求.綜上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問(wèn)題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；；21、（1）（2）85億元【解析】(1)利用公式和數(shù)據(jù)計(jì)算即可(2)代入回歸直線(xiàn)計(jì)算即可小問(wèn)1詳解】由折線(xiàn)圖中數(shù)據(jù)知,,,因?yàn)?所以所以y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí),億元,此時(shí)公司的實(shí)際收益的預(yù)測(cè)值為億元22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1），連接，證明，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可得證；（2）說(shuō)明平面，取的中點(diǎn)F，連接，以D為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向