云南省陸良縣第八中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

云南省陸良縣第八中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“不到長城非好漢，屈指行程二萬”，出自毛主席1935年10月所寫的一首詞《清平樂·六盤山》，反映了中華民族的一種精神氣魄，一種積極向上的奮斗精神.從數(shù)學邏輯角度分析，其中“好漢”是“到長城”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．下列直線中，傾斜角為銳角的是（）A. B.C. D.3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A.8 B.9C.27 D.364．在等差數(shù)列中，，且構成等比數(shù)列，則公差等于（）A.0 B.3C. D.0或35．已知分別是等差數(shù)列的前項和，且，則（）A. B.C. D.6．若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長等于（）A. B.C. D.7．已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.8．如圖，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則的值為（）A. B.C. D.9．直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A. B.C D.10．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.211．在正方體中，分別為的中點，為側面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖直線過點，且與直線和分別相交于，兩點.（1）求過與交點，且與直線垂直的直線方程；（2）若線段恰被點平分，求直線的方程.14．如圖是用斜二測畫法畫出水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為______.15．過圓上一點的圓的切線的一般式方程為________16．已知拋物線與直線交于D，E兩點，若（點O為坐標原點）的面積為16，則拋物線的方程為______；過焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處有極值，且其圖象經(jīng)過點.（1）求的解析式；（2）求在的最值.18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別是，，離心率，請再從下面兩個條件中選擇一個作為已知條件，完成下面的問題：①橢圓C過點；②以點為圓心，3為半徑的圓與以點為圓心，1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上（只能從①②中選擇一個作為已知）（1）求橢圓C的方程；（2）已知過點的直線l交橢圓C于M，N兩點，點N關于x軸的對稱點為，且，M，三點構成一個三角形，求證：直線過定點，并求面積的最大值.19．（12分）在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面積；（2）求的值.20．（12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且（1）求，的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知等差數(shù)列中，，前5項的和為，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和22．（10分）已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）以橢圓的短軸為直徑作圓，若點M是第一象限內圓周上一點，過點M作圓的切線交橢圓C于P，Q兩點，橢圓C的右焦點為，試判斷的周長是否為定值．若是，求出該定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】解：設為不到長城，推出非好漢，即，則，即好漢到長城，故“好漢”是“到長城”的充分條件，故選：A2、A【解析】先由直線方程找到直線的斜率，再推導出直線的傾斜角即可.【詳解】選項A：直線的斜率，則直線傾斜角為，是銳角，判斷正確；選項B：直線的斜率，則直線傾斜角為鈍角，判斷錯誤；選項C：直線的斜率，則直線傾斜角為0，不是銳角，判斷錯誤；選項D：直線沒有斜率，傾斜角為直角，不是銳角，判斷錯誤.故選：A3、B【解析】執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)，，滿足；第二次循環(huán)，，滿足；第三次循環(huán)，，不滿足，輸出，故選B.【方法點睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4)處理循環(huán)結構的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.4、D【解析】根據(jù)，且構成等比數(shù)列，利用“”求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為d，因為，且構成等比數(shù)列，所以，解得，故選：D5、D【解析】利用及等差數(shù)列的性質進行求解.【詳解】分別是等差數(shù)列的前項和，故，且，故，故選：D6、B【解析】根據(jù)雙曲線標準方程直接判斷.【詳解】方程即為，由方程表示雙曲線，可得，所以，，所以虛軸長為，故選：B.7、B【解析】直接利用兩點間的坐標公式和直線的斜率的關系求出結果【詳解】解：直線過點且斜率為，與連接兩點，的線段有公共點，由圖，可知，，當時，直線與線段有交點故選：B8、D【解析】將用基底表示，然后利用空間向量數(shù)量積的運算性質可求得結果.【詳解】因為四邊形為平行四邊形，且，則為的中點，，則.故選：D9、A【解析】把求面積轉化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點，分別為，，點在圓，即上，所以，圓心到直線的距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A10、A【解析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性即可求得答案.【詳解】由題意，正態(tài)曲線的對稱軸為，則與關于對稱軸對稱，于是.故選：A.11、A【解析】建立空間直角坐標系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.【詳解】如圖，以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，，，，則，，設異面直線與所成角為（），則.故選：A12、A【解析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點的函數(shù)值排除錯誤選項即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關于坐標原點對稱，選項CD錯誤；當時，，選項B錯誤.故選：A.【點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）；（2）.【解析】本題考查直線方程的基本求法：垂直直線的求法、點關于點對稱、點在直線上的待定系數(shù)法【詳解】（1）由題可得交點，所以所求直線方程為，即；（2）設直線與直線相交于點，因為線段恰被點平分，所以直線與直線的交點的坐標為將點，的坐標分別代入，的方程，得方程組解得由點和點及兩點式，得直線的方程為，即【點睛】直線的考法主要以點的對稱和直線的平行與垂直為主．點關于點的對稱，點關于直線的對稱，直線關于直線的對稱，是重點考察內容14、【解析】根據(jù)直觀圖和平面圖的關系可求出，進而利用面積公式可得三角形的面積【詳解】由已知可得則故答案為：.15、【解析】求出過切線的半徑所在直線斜率，由垂直關系得切線斜率，然后得直線方程，現(xiàn)化為一般式【詳解】圓心為，，所以切線的斜率為，切線方程為，即故答案為：【點睛】本題考查求過圓上一點的圓的切線方程，利用切線性質求得斜率后易得直線方程16、①.②.1【解析】利用的面積列方程，化簡求得的值，從而求得拋物線方程.將的斜率分成存在和不存在兩種情況進行分類討論，結合根與系數(shù)關系求得.【詳解】依題意可知，，所以，解得.所以拋物線方程為.焦點，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，，即，此時.當直線的斜率存在且不為時，設直線的方程為，由消去并化簡得，，設，則，結合拋物線的定義可知.故答案為：；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2），【解析】（1）由與解方程組即可得解；（2）求導后得到函數(shù)的單調區(qū)間與極值后，比較端點值即可得解.【詳解】（1）求導得，處有極值，即，又圖象過點，代入可得..（2）由（1）知，令得又，.列表如下：0230+4↘極小值↗1在時，，.【點睛】本題考查了導數(shù)的簡單應用，屬于基礎題.18、（1）（2）證明見解析，【解析】（1）若選①，則由題意可得，解方程組求出，從而可求得橢圓方程，若選②，，再結合離心率和求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意設直線MN的方程為，設，，，將直線方程代入橢圓方程中，消去，再利用根與系數(shù)的關系，表示出直線的方程，令，求出，結合前面的式子化簡可得線過的定點，表示出的面積，利用基本不等式可求得其最大值【小問1詳解】若選①：由題意知，∴.所以橢圓C的方程為.若選②：設圓與圓相交于點Q.由題意知：.又因為點Q在橢圓上，所以，∴.又因為，∴，∴.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由題易知直線MN斜率存在且不為0，因為，故設直線MN方程為，設，，，∴，∴，，因為點N關于x軸對稱點為，所以，所以直線方程為，令，∴.又，∴.所以直線過定點，∴.當且僅當，即時，取等號.所以面積的最大值為.19、（1），△的面積為；（2）.【解析】（1）應用余弦定理求的大小，由三角形面積公式求△的面積；（2）由（1）及正弦定理的邊角關系可得，即可求目標式的值.【小問1詳解】在△中，由余弦定理得：，又，則.所以△的面積為.【小問2詳解】由（1）得：，由正弦定理得：，則，所以.20、（1），；（2）.【解析】（1）由，根據(jù)等比數(shù)列的性質求得、的值，即可得的通項公式，再根據(jù)列出關于首項、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列的通項公式；（2）結合（1）可得，根據(jù)錯位相減法，利用等比數(shù)列求和公式可得結果.【詳解】（1）等比數(shù)列的公比，所以，設等差數(shù)列公差為因為，，所以，即所以（2）由（1）知，，因此從而數(shù)列的前項和,,,兩式作差可得,,解得.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項、等比數(shù)列的求和公式以及錯位相減法求數(shù)列的前項和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解,在寫出“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式.21、（1），；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列求和公式可得，進而可得，再利用累加法可求，即得；（2）由題可得，然后利用分組求和法即得.【小問1詳解】設公差為d，由題設可得，解得，所以；當時，，∴，當時，（滿足上述的），所以【小問2詳解】∵當時，當時，綜上所述：22、（1）（2）周長是定值，且定值為4【解析】（1）首先求出直線與軸的交點，即