2017年中考全等三角形專題(8種輔助線的作法)

...wd......wd......wd...全等三角形問題中常見的輔助線的作法【三角形輔助線做法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。1.等腰三角形“三線合一〞法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一〞的性質解題2.倍長中線：倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形3.角平分線在三種添輔助線4.垂直平分線聯(lián)結線段兩端5.用“截長法〞或“補短法〞：遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6.圖形補全法：有一個角為60度或120度的把該角添線后構成等邊三角形7.角度數(shù)為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個角為30度或60度，可以從角一邊上一點向角的另一邊作垂線，目的是構成30-60-90的特殊直角三角形，然后計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。8.計算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構造全等三角形，構造二條邊之間的相等，二個角之間的相等。遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一〞的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折〞法構造全等三角形．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉〞法構造全等三角形．遇到角平分線在三種添輔助線的方法，〔1〕可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折〞，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．〔2〕可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形?！?〕可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構造一對全等三角形。過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移〞或“翻轉折疊〞截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．一、倍長中線〔線段〕造全等例1、，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.例2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比擬BE+CF與EF的大小.例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.應用：1、以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關系及數(shù)量關系．〔1〕如圖①當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是，線段AM與DE的數(shù)量關系是；〔2〕將圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(0<<90)后，如圖②所示，〔1〕問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變并說明理由．二、截長補短1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC2、如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA，CD過點E，求證;AB＝AD+BC。3、如圖，在內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-AC＞PB-PC應用：三、平移變換例1AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點，△ABC周長記為，△EBC周長記為.求證＞.例2如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕說明BE=CF的理由；〔2〕如果AB=，AC=，求AE、BE的長.應用：1、如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答以下問題：〔1〕如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系；(第23題圖)OPAMNEB(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③五、旋轉例1正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).例2D為等腰斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。當繞點D轉動時，求證DE=DF。假設AB=2，求四邊形DECF的面積。例3如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為；應用：1、四邊形中，，，，，，繞點旋轉，它的兩邊分別交〔或它們的延長線〕于．當繞點旋轉到時〔如圖1〕，易證．當繞點旋轉到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立假設成立，請給予證明；假設不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關系請寫出你的猜測，不需證明．〔圖〔圖1〕〔圖2〕〔圖3〕2、:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側.(1)如圖,當∠APB=45°時,求AB及PD的長;(2)當∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應∠APB的大小.3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,,BD=DC.探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系．圖1圖2圖3〔=1\*ROMANI〕如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是；此時；〔=2\*ROMANII〕如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜測〔=1\*ROMANI〕問的兩個結論還成立嗎寫出你的猜測并加以證明；〔=3\*ROMANIII〕如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，假設AN=，則Q=〔用、L表示〕．參考答案與提示一、倍長中線〔線段〕造全等例1、〔“希望杯〞試題〕，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.解：延長AD至E使AE＝2AD，連BE，由三角形性質知AB-BE<2AD<AB+BE故AD的取值范圍是1<AD<4例2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比擬BE+CF與EF的大小.解：(倍長中線,等腰三角形“三線合一〞法)延長FD至G使FG＝2EF，連BG，EG,顯然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三線合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性質知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.解：延長AE至G使AG＝2AE，連BG，DG,顯然DG＝AC，∠GDC=∠ACD由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC在△ADB與△ADG中，BD＝AC=DG，AD＝AD，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE應用：1、〔09崇文二?！骋缘膬蛇匒B、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關系及數(shù)量關系．〔1〕如圖①當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是，線段AM與DE的數(shù)量關系是；〔2〕將圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(0<<90)后，如圖②所示，〔1〕問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變并說明理由．解：〔1〕，；證明：延長AM到G，使，連BG，則ABGC是平行四邊形GCHABGCHABDMNE又∵∴再證：∴，延長MN交DE于H∵∴∴〔2〕結論仍然成立．證明：如圖，延長CA至F，使，F(xiàn)A交DE于點P，并連接BF∵，∴FCPABDMFCPABDMNE∴〔SAS〕∴，∴∴又∵，∴，且∴，二、截長補短1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC解：〔截長法〕在AB上取中點F，連FD△ADB是等腰三角形，F(xiàn)是底AB中點，由三線合一知DF⊥AB，故∠AFD＝90°△ADF≌△ADC〔SAS〕∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC2、如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA，CD過點E，求證;AB＝AD+BC解：〔截長法〕在AB上取點F，使AF＝AD，連FE△ADE≌△AFE〔SAS〕∠ADE＝∠AFE，∠ADE+∠BCE＝180°∠AFE+∠BFE＝180°故∠ECB＝∠EFB△FBE≌△CBE〔AAS〕故有BF＝BC從而;AB＝AD+BC3、如圖，在△ABC內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP解：〔補短法,計算數(shù)值法〕延長AB至D，使BD＝BP，連DP在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°從而∠BDP＝40°＝∠ACP△ADP≌△ACP〔ASA〕故AD＝AC又∠QBC＝40°＝∠QCB故BQ＝QCBD＝BP從而BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：解：〔補短法〕延長BA至F，使BF＝BC，連FD△BDF≌△BDC〔SAS〕故∠DFB＝∠DCB，F(xiàn)D＝DC又AD＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-AC＞PB-PC解：〔補短法〕延長AC至F，使AF＝AB，連PD△ABP≌△AFP〔SAS〕故BP＝PF由三角形性質知PB－PC＝PF－PC<CF＝AF－AC＝AB－AC應用：分析：此題連接AC，把梯形的問題轉化成等邊三角形的問題，然后利用條件和等邊三角形的性質通過證明三角形全等解決它們的問題。解：有DEACBF連接AC，過E作并DEACBF則可證為等邊三角形即，∴又∵，∴DEACDEACB∴在與中，，∴∴∴點評：此題的解法比擬新穎，把梯形的問題轉化成等邊三角形的問題，然后利用全等三角形的性質解決。三、平移變換例1AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點，△ABC周長記為，△EBC周長記為.求證＞.解：〔鏡面反射法〕延長BA至F，使AF＝AC，連FEAD為△ABC的角平分線,MN⊥AD知∠FAE＝∠CAE故有△FAE≌△CAE〔SAS〕故EF＝CE在△BEF中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC從而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA例2如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.證明：取BC中點M,連AM并延長至N,使MN=AM,連BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延長ND交AB于P,則BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各減去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE。四、借助角平分線造全等1、如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD，DC+AE=AC證明(角平分線在三種添輔助線,計算數(shù)值法)∠B=60度,則∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均為角平分線,則∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取線段AF=AE,連接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.則⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.則∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕說明BE=CF的理由；〔2〕如果AB=，AC=，求AE、BE的長.解：(垂直平分線聯(lián)結線段兩端)連接BD，DCDG垂直平分BC，故BD＝DC由于AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有ED＝DF故RT△DBE≌RT△DFC〔HL〕故有BE＝CF。AB+AC＝2AEAE＝〔a+b〕/2BE=(a-b)/2應用：1、如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答以下問題：〔1〕如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系；(第23題圖)OPAMNEB(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③解：〔1〕FE與FD之間的數(shù)量關系為〔2〕答：〔1〕中的結論仍然成立。證法一：如圖1，在AC上截取，連結FG∵，AF為公共邊，∴∴，F(xiàn)BEACD圖12143FBEACD圖12143G∴∴∴∵及FC為公共邊∴∴∴證法二：如圖2，過點F分別作于點G，于點HFBEACD圖22143FBEACD圖22143HG∴可得，F(xiàn)是的內(nèi)心∴，又∵∴∴可證∴五、旋轉例1正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).證明：將三角形ADF繞點A順時針旋轉90度，至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例2D為等腰斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。(1)當繞點D轉動時，求證DE=DF。(2)假設AB=2，求四邊形DECF的面積。解：(計算數(shù)值法)〔1〕連接DC，D為等腰斜邊AB的中點，故有CD⊥AB，CD＝DACD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°由于CD⊥AB，有∠CDA＝90°從而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF〔ASA〕故有DE=DF〔2〕S△ABC=2,S四DECF=S△ACD=1例3如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為；解：(圖形補全法,“截長法〞或“補短法〞,計算數(shù)值法)AC的延長線與BD的延長線交于點F，在線段CF上取點E，使CE＝BM∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，

又∵BM=CE，BD=CD，

∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

∵在△DMN和△DEN中，

DM=DE∠MDN=∠EDN=60°

DN=DN∴△DMN≌△DEN，

∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中，

DM=DE∠MDA=60°-∠MDB=60°-∠CDE=∠EDF(∠CDE=∠BDM)∠DAM=∠DFE=30°∴△DMN≌△DEN(AAS)，

∴MA=FE的周長為AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6應用：1、四邊形中，，，，，，繞點旋轉，它的兩邊分別交〔或它們的延長線〕于．當繞點旋轉到時〔如圖1〕，易證．當繞點旋轉到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立假設成立，請給予證明；假設不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關系請寫出你的猜測，不需證明．〔圖〔圖1〕〔圖2〕〔圖3〕解：〔1〕∵，，，∴〔SAS〕；∴，∵，∴，為等邊三角形∴，∴〔2〕圖2成立，圖3不成立。證明圖2，延長DC至點K，使，連接BKKABKABCDEFMN圖2∴，∵，∴∴∴∴∴∴即圖3不成立，AE、CF、EF的關系是2、〔西城09年一?！?PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側.(1)如圖,當∠APB=45°時,求AB及PD的長;(2)當∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應∠APB的大小.分析：〔1〕作輔助線，過點A作于點E，在中，，AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根據(jù)勾股定理可將AB的值求出；求PD的值有兩種解法，解法一：可將繞點A順時針旋轉得到，可得，求PD長即為求的長，在中，可將的值求出，在中，根據(jù)勾股定理可將的值求出；解法二：過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的長，進而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根據(jù)勾股定理可將PD的值求出；〔2〕將繞點A順時針旋轉，得到，PD的最大值即為的最大值，故當、P、B三點共線時，取得最大值，根據(jù)可求的最大值，此時．EPADCB解：〔1〕EPADCB∵中，，∴∵∴在中，∴P′PACBDE②解法一：如圖，因為四邊形ABCD為正方形，可將將繞點A順時針旋轉得到，，可得，P′PACBDE∴，，∴，∴；解法二：如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，設DA的延長線交PB于G．GFPACBDE在GFPACBDE在中，可得，在中，可得〔2〕如以下圖，將繞點A順時針旋轉,得到，PD的最大值，即為的最大值∵中，，，且P、D兩點落在直線AB的兩側∴當、P、B三點共線時，取得最大值〔如圖〕PP′PACBDP′PACBD此時，即的最大值為6此時3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,,BD=DC.探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系．圖1圖2圖3〔=1\*ROMANI〕如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、