暑期培訓(xùn)課件7 22上午差分方程模型

差分方程模型第四講養(yǎng)老保險

第一講差分方程第二講蛛網(wǎng)模型第三講商品銷售量預(yù)測第五講減肥計劃第六講按年齡分組的種群增長第七講差分方程平衡點的穩(wěn)定性1、差分方程簡介

規(guī)定只取非負整數(shù)，記為變量在點的取值，則稱為的一階向前差分，稱為的二階差分。由、及的差分給出的方程稱為的差分方程。其中含的最高階差分的階數(shù)稱為該差分方程的階數(shù)。差分方程也可以寫成不顯含差分的形式，例如二階差分方程可以寫成

滿足一階差分方程的序列稱為差分方程的解，若解中含有獨立的常數(shù)的個數(shù)等于差分方程的階數(shù)時，稱此解為該差分方程的通解。

稱如下形式的差分方程

為階常系數(shù)線性差分方程，其中是常數(shù)，。其對應(yīng)的齊次方程為

求非齊次常系數(shù)線性差分方程的通解的步鄹：

1.先求解對應(yīng)的特征方程

2.根據(jù)特征根的不同情況，求解齊次方程的通解若特征方程有個不同的實根，則齊次方程的通解為；若是特征方程的重實根，則齊次方程的通解為；若特征方程有單重復(fù)根，則齊次方程的通解為，其中為的模，為的幅角；

若特征方程有k重復(fù)根，則方程(2)的通解為

3.求非齊次方程的一個特解，若為齊次方程的通解，則非齊次方程的通解為。對特殊形式的特解可以使用待定系數(shù)法求非齊次方程的特解。例如，為t的k次多項式時可以證明：若b不是特征根，則方程(1)有形如的特解，也是t的k次多項式；若b是r重特征根，則方程(1)有形如的特解。進而可以用待定系數(shù)法求出，從而得到方程(1)的一個特解。例1.求解兩階差分方程

解對應(yīng)齊次方程的特征方程為，其特征根為，故齊次方程的通解為，原方程有形如的特解，帶入原方程求得，所以原方程的通解為在應(yīng)用差分方程研究問題時，需要討論解的穩(wěn)定性。對常系數(shù)非齊次線性差分方程，若不論其對應(yīng)齊次方程的通解中的任意常數(shù)如何取值，當(dāng)時，，則稱方程的解是穩(wěn)定的。2、常系數(shù)線性差分方程的

采用上述解析解法求解常系數(shù)線性非齊次差分方程比較繁瑣，下面介紹

變換，將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程去求解

設(shè)有離散序列

，則

的

變換定義為其中是復(fù)變量，上式右端的級數(shù)的收斂域是某個圓的外部的反變換記作

變換解法幾個常用離散函數(shù)的變換

(3)單邊指數(shù)函數(shù)的變換(為不等于1的正常數(shù))(1)單位沖激函數(shù)的變換(2)單位階躍函數(shù)的變換(1)線性性質(zhì)設(shè)，則

變換的性質(zhì)(2)平移性質(zhì)：設(shè)，則例2.求解齊次差分方程

解令，對差分方程取變換得對上式取反變換，便得差分方程的解為1、問題的提出

在自由競爭的社會中，很多領(lǐng)域會出現(xiàn)循環(huán)波動的現(xiàn)象。在經(jīng)濟領(lǐng)域中，可以從自由集市上某種商品的價格的變化看到如下現(xiàn)象：在某一時期，商品的上市量大于需求，引起價格下跌，生產(chǎn)者覺得該商品無利可圖，轉(zhuǎn)而經(jīng)營其他商品，一段時間之后，隨著產(chǎn)量的下降，供不應(yīng)求又會導(dǎo)致價格上升，又會有很多生產(chǎn)商進行該商品的生產(chǎn)，隨之而來的是商品過剩，價格下降。在沒有外界干預(yù)的情況下，這種現(xiàn)象會反復(fù)出現(xiàn)。如何從數(shù)學(xué)的角度來描述上述現(xiàn)象呢？2、模型假設(shè)(1)設(shè)時段商品數(shù)量為，其價格為，這里把時間離散化為時段，一個時期相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期。

(2)同一時段的商品價格取決于該時段商品的數(shù)量，稱為需求函數(shù)。出于對自由經(jīng)濟的理解，商品的數(shù)量越多，其價格就越低。故可以假設(shè)需求函數(shù)為一個單調(diào)遞減函數(shù)。

(3)下一時段的商品數(shù)量由上一時段的商品價格決定，稱為供應(yīng)函數(shù)，由于價格越高可導(dǎo)致產(chǎn)量越大，所以可以假設(shè)供應(yīng)函數(shù)是一個單調(diào)遞增的函數(shù)。3、模型求解

在同一坐標系中同時做出供應(yīng)函數(shù)和需求函數(shù)的圖形，設(shè)兩條曲線相交于則為平衡點。因為此時

若某個有，則可推出即商品的數(shù)量保持在，價格保持在。不妨假設(shè)下面考慮在圖上的變化如右圖所示。當(dāng)給定后，價格由上的點決定，下一時段的數(shù)量由上的點決定，又可由上的點決定。依此類推，可得一系列的點圖上的箭頭表示求出的次序，由圖知即市場經(jīng)濟趨于穩(wěn)定。并不是所有的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)都趨于穩(wěn)定，若給定的和的圖形如右圖所示，得到的就不趨于，此時市場經(jīng)濟趨于不穩(wěn)定。圖1和圖2中的折線形如蛛網(wǎng)，故把這種模型稱為蛛網(wǎng)模型。在進行市場經(jīng)濟分析中，取決于消費者對某種商品的需求程度及其消費水平，

取決于生產(chǎn)者的生產(chǎn)、管理等能力。

當(dāng)已知需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)之后，可以根據(jù)和的性質(zhì)判斷平衡點的穩(wěn)定性。當(dāng)較小時，的穩(wěn)定性取決于和在點的斜率，即當(dāng)時，點穩(wěn)定。當(dāng)時，點不穩(wěn)定。

這一結(jié)論的直觀解釋是，需求曲線越平，供應(yīng)曲線越陡，越有利于經(jīng)濟穩(wěn)定。設(shè)在點附近取和的線性近似，于是得從上兩式中消去得

…………..以上個式子相加，有若是穩(wěn)定點，則應(yīng)有，所以點穩(wěn)定的條件是同理點不穩(wěn)定的條件是

4、模型修正

在上述模型的基礎(chǔ)上，對供應(yīng)函數(shù)進行改進。下面在決定商品的生產(chǎn)數(shù)量時，不僅考慮前一時期的價格，而且考慮了價格，取，在附近取線性近似，則有于是得將上述兩式整理得到二階線性差分方程

其特征方程為經(jīng)計算得其特征根結(jié)論：若方程的特征根均在單位圓內(nèi)，則為穩(wěn)定點。當(dāng)時，該特征方程有兩個實根，因則有，故此時不是穩(wěn)定點。當(dāng)時，特征方程有兩個共軛復(fù)根，共軛復(fù)根的模的絕對值為要使點為穩(wěn)定點只需與前面的模型的結(jié)果相比，的范圍擴大了。這是由于經(jīng)營管理者的水平提高帶來的結(jié)果。商品銷售量預(yù)測

在利用差分方程建模研究實際問題時，常常需要根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)并用最小二乘法來擬合出差分方程的系數(shù)。其系統(tǒng)穩(wěn)定性的討論要用到代數(shù)方程的求根。例3某商品前五年的銷售量見右表1?，F(xiàn)希望根據(jù)前五年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)預(yù)測第六年起該商品在各季度中的銷售量。第一

年第二年第三年第四年第五年11112131516216182024253252627303241214151517

由于該問題的數(shù)據(jù)少，用回歸分析效果不一定好。如果認為銷售量并非逐年等量增長而是按前一年或者前幾年同期銷售量的一定比例增長的，則可建立相應(yīng)的差分方程模型。以第一季度為例，以表示第t年第一季度的銷售量，建立形式如下的差分方程上述差分方程不一定能使所有統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合，較為合理的辦法是用最小二乘法求一組總體吻合較好的數(shù)據(jù)。即選取使得最小。根據(jù)這一方程可以迭代求解以后各年第一季度銷售量的預(yù)測值。第7年銷售量預(yù)測值居然小于第6年的，稍作分析，不難看出，如分別對第一季度建立差分方程，則根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)擬合出的系數(shù)可能會相差甚大，但對同一種商品，這種差異應(yīng)當(dāng)是微小的，故應(yīng)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立一個共用于各個季度的差分方程，為此，將季度編號為，令，利用全體數(shù)據(jù)來擬合求擬合得到最好的系數(shù)。即求使得最小。于是得二階差分方程為由此式可得，這個結(jié)果還是較為可信的。y0=[1112131516]';y=y0(3:5);x=[y0(2:4),y0(1:3),ones(3,1)];z=x\y求得y0=[1116251212182614132027151524301516253217]';y=y0(9:20);x=[y0(5:16),y0(1:12),ones(12,1)];z=x\y求得1、問題的提出

某保險公司的一份材料指出，在每月交費200元至59歲年底，60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老保險金的約定下，男子若25歲開始投保，屆時月養(yǎng)老金2282元；假定人的壽命為75歲，試求出保險公司為了兌現(xiàn)保險責(zé)任，每月應(yīng)至少有多少投資收益率（也就是投保人的實際收益率）？

2、模型的建立與求解

設(shè)投保人在投保后第個月所交保險費及利息的累計總額為，那么得到數(shù)學(xué)模型為分段表示的差分方程其中分別為60歲前所交月保險費和60歲起所領(lǐng)取的月養(yǎng)老金的數(shù)目（月），是所交保險金獲得的利率，分別是自投保起至停交保險費和至停領(lǐng)取養(yǎng)老金的時間（月），這里，可推出差分方程的解（這里），得于是得到由于，可得如下方程減肥計劃——節(jié)食與運動

在國人物質(zhì)生活越來越好的條件下，不少自感肥胖的人紛紛奔向減肥食品的柜臺。許多醫(yī)生和專家建議通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\動來，才能在不傷害身體的條件下，達到減輕體重并維持下去的目的。下面建立一個簡單的體重變化規(guī)律的模型，并由此通過節(jié)食與運動制定合理、有效的減肥計劃。

1、模型分析

通常，當(dāng)體內(nèi)能量守恒被破壞時就會引起體重的變化，人們通過飲食吸收熱量，過多熱量轉(zhuǎn)化為脂肪，導(dǎo)致體重增加；而代謝和運動消耗熱量，會使體重減小。只要做適當(dāng)?shù)暮喕僭O(shè)就可得到體重變化的關(guān)系。通常，制定減肥計劃以周為時間單位比較方便，所以這里采用離散時間模型：差分方程模型來討論。2、模型假設(shè)

根據(jù)上述分析，參考有關(guān)生理數(shù)據(jù)，作以下簡化假設(shè)

(1)體重增加正比于吸收的熱量，平均每8000kcal增加體重1kg；

(2)正常代謝引起的體重減小正比于體重，每周每公斤體重消耗熱量一般在200kcal到320kcal之間,這相當(dāng)于重70kg的人每天消耗2000kcal到3200kcal(3)運動引起體重減小正比于體重，且與運動形式有關(guān)

(4)為了安全與健康，每周體重減少不宜超過

1.5kg，每周吸收熱量不少于10000kcal

。

基本假設(shè)

記第周末體重為，第周吸收熱量為，熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)，代謝消耗系數(shù)（因人而異），則在不考慮運動情況下體重變化的基本方程為增加運動時只需將改為由運動的時間和形式確定。減肥計劃的提出

通過制定一個具體的減肥計劃討論上述模型(1)的應(yīng)用。某人身高，體重，自述目前每周吸收熱量，體重長期不變，試為他按照以下方式制定減肥計劃，使其體重減到并維持下去。

(1)在基本上不運動的情況下安排一下兩階段計劃。第一階段：每周減肥，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到安全的下限；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標；

(2)若要加快進程，第二階段增加運動，重新安排第二階段計劃；

(3)給出達到目標后維持體重的方案。減肥計劃的制訂

首先應(yīng)確定該人的代謝消耗系數(shù)，根據(jù)他每周吸收熱量，由(1)式得相當(dāng)于每周每公斤體重消耗熱量，由假設(shè)(2)可以知道，該人屬于代謝消耗相當(dāng)弱的人。第一階段要求體重每周減少，吸收熱量減至下限，即由基本模型可得將的數(shù)值代人，并考慮下限，有得，即第一階段共10周，按照吸收熱量，可使體重每周減少，至第10周末達到。

第二階段要求每周吸收熱量保持下限，由基本模型可得為了得到體重減至75kg所需的周數(shù)，將(3)式遞推可得已知，要求，再將的數(shù)值代入得

為了加速進程，第二階段增加運動，經(jīng)過調(diào)查資料得到以下各運動每小時每公斤體重消耗的熱量記表中熱量消耗，每周運動時間，為利用基本模型，只需將改成取，則，即若增加運動（如每周跳舞8小時或自行車10小時），就可將第二階段的時間縮短為14周。運動跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50m/min)熱量消耗kcal7.03.04.42.57.9最簡單的維持體重的方案，是尋求每周吸收熱量保持某常數(shù)c，使不變，所以得到

若不運動，容易算出，若運動，則評注

人的體重變化是有規(guī)律可循的，減肥也應(yīng)科學(xué)化，定量化。這個模型雖然只考慮了一個非常簡單的情況，但是這對專門從事減肥活動的人來說不無參考價值。減肥活動與每個人的特殊生理條件有關(guān)，特別是代謝消耗系數(shù)，不僅因人而異，而且即使同一個人在不同環(huán)境下也會有所變化。從上面的計算中我們看出，當(dāng)由0.025增加到0.028時（變化約12%），減肥所需時間就從19周減小到14周（變化約25%），所以應(yīng)用這個模型時要對作仔細的核對。按年齡分組的種群增長1、模型建立將種群按年齡大小等間隔地分成個年齡組，比如每10歲或每5歲為1個年齡組，與年齡的離散化相對應(yīng)，時間也離散為時段，并且時段的間隔與年齡區(qū)間大小相等，即以10年或5年為1個時段。種群是通過雌性個體的繁殖而增長的，所以用雌性個體數(shù)量的變化為研究對象比較方便，下面提到的種群數(shù)量均僅指其中的雌性。

記時段第年齡組的種群數(shù)量為第年齡組的繁殖率為，即第年齡組每個雌性個體在1個時間段內(nèi)平均繁殖的數(shù)量，第年齡組的死亡率為稱為存活率，這里我們假設(shè)不隨時段變化，在穩(wěn)定的環(huán)境下這個假設(shè)是合理的，可由統(tǒng)計資料獲得。的變化規(guī)律由以下事實得到：時段第1年齡組種群數(shù)量是時段k各年齡組繁殖數(shù)量之和，即時段第年齡組的種群數(shù)量是時段k第i年齡組存活下來的數(shù)量，即記時段k按種群按年齡組的分布向量為由繁殖率和存活率構(gòu)成的矩陣于是得到當(dāng)矩陣和按年齡組的初始分布向量已知時，可以預(yù)測任意時段種群按年齡組的分布為有了，當(dāng)然不難算出時段種群的數(shù)量。2、穩(wěn)定狀況分析

下面研究時間充分長后，種群的年齡結(jié)構(gòu)及數(shù)量的變化。矩陣L中的元素滿足滿足(7)(8)矩陣稱為Leslie矩陣，容易看出的穩(wěn)定形態(tài)完全由矩陣L決定，關(guān)于矩陣我們敘述下面兩個定理。

定理1矩陣有唯一的正的特征根

，且它是單重的該定理表明矩陣L的特征方程其對應(yīng)的正特征向量為矩陣L的其他個特征根都滿足。只有一個正單根，且容易驗證

定理2若矩陣第一行有兩項順次的元素

都大于零，則(10)式中僅不等號成立，即且滿足其中是由及決定的常數(shù)。

附帶指出，對于種群增長來說該定理的條件通常是滿足的。

從上述定理可以對時間充分長后種群按年齡組的種群的分布的性態(tài)做出如下分析（為簡便起見記為）。由(13)式直接有這表明充分大時，種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，其各年齡組的數(shù)量占總量的比例，與特征向量中對應(yīng)分量占總量的比例是一樣的，即就表示了種群按年齡組分布的狀況，故稱為穩(wěn)定分布，它與初始分布無關(guān)。由(14)式又可得到或者更清楚的寫作這表明充分大時，種群的增長也趨向穩(wěn)定，其各年齡組的數(shù)量都是上一時段同一年齡組數(shù)量的倍，即種群