蘇教版數(shù)學(xué)選修2-1講義第2章2.22.2.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程Word版含答案

2.2橢圓2.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．(難點(diǎn))2.掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))3.能用標(biāo)準(zhǔn)方程判定曲線是否是橢圓.1.通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2.借助定義法求方程，提升直觀想象素養(yǎng).橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖象焦點(diǎn)坐標(biāo)(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c21．已知橢圓的焦點(diǎn)為(－1,0)和(1,0)，點(diǎn)P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1 D.eq\f(y2,4)＋x2＝1A[由題意知c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.]2．橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(0，－8)，F(xiàn)2(0,8)，且橢圓上一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和為20，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(y2,400)＋eq\f(x2,336)＝1C.eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,36)＝1 D.eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,12)＝1C[由題意知c＝8,2a＝20，∴a∴b2＝a2－c2＝36，故橢圓的方程為eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,36)＝1.]3．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是C上任意一點(diǎn)，則△PF1F2的周長為()A．9 B．13C．15 D．18D[由題意得△PF1F2的周長為|PF1|＋|PF2|＋|F1F24．橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上一點(diǎn)P到它的一個焦點(diǎn)的距離等于2，那么點(diǎn)P到另一個焦點(diǎn)的距離等于________．2[由橢圓的方程可知a2＝4，所以a＝2.由橢圓的定義可得點(diǎn)P到另一個焦點(diǎn)的距離等于2a－2＝4－2＝2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5,0)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個點(diǎn)(0,2)和(1,0)；(3)經(jīng)過點(diǎn)A(eq\r(3)，－2)和點(diǎn)B(－2eq\r(3)，1)．[解](1)由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)由于橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1.(3)法一：①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)2,a2)＋\f(－22,b2)＝1，,\f(－2\r(3)2,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝15，,b2＝5.))故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－22,a2)＋\f(\r(3)2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(－2\r(3)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝15，))因?yàn)閍＞b＞0，所以無解．所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.法二：設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＋4n＝1，,12m＋n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5).))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.1．利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)先確定焦點(diǎn)位置；(2)設(shè)出方程；(3)尋求a，b，c的等量關(guān)系；(4)求a，b的值，代入所設(shè)方程．2．當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時，可設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因?yàn)樗ń裹c(diǎn)在x軸上(m＜n)或焦點(diǎn)在y軸上(m＞n)兩類情況，所以可以避免分類討論，從而簡化了運(yùn)算．1．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)A(0，2)和Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(3)))，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解]設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4n＝1，,\f(1,4)m＋3n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,4)，))∴所求橢圓方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題【例2】(1)橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則∠F1PF2的大小為________．(2)已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1中，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，且∠PF1F2＝120°，則△PF1F2的面積為________．[思路探究](1)eq\x(求|PF2|)→eq\x(求cos∠F1PF2)→eq\x(求∠F1PF2的大小)(2)eq\x(\a\al(橢圓定義和,余弦定理))→eq\x(\a\al(建立關(guān)于|PF1|，,|PF2|的方程))→eq\x(\a\al(聯(lián)立求解,|PF1|))→eq\x(\a\al(求三角形,的面積))(1)120°(2)eq\f(3\r(3),5)[(1)由eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1，知a＝3，b＝eq\r(2)，∴c＝eq\r(7).∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，∴cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝－eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝120°.(2)由eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，可知a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝1，從而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.②由①②聯(lián)立可得|PF1|＝eq\f(6,5).所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),5).]1．橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)M2．橢圓中的焦點(diǎn)三角形橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩個焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2，稱為焦點(diǎn)三角形．在處理橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題時，可結(jié)合橢圓的定義|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有關(guān)定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解．2．(1)已知P是橢圓eq\f(y2,5)＋eq\f(x2,4)＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝30°，則△F1PF2的面積是_________．8－4eq\r(3)[由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，知a＝eq\r(5)，b＝2，∴c＝eq\r(a2－b2)＝1，∴|F1F2|＝2.又由橢圓的定義，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(5).在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos30°，即4＝20－(2＋eq\r(3))|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－eq\r(3))．∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×16(2－eq\r(3))×eq\f(1,2)＝8－4eq\r(3).](2)設(shè)P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，若∠PF1F2＝90°，則△F1PF2的面積是________．eq\f(3,2)[由橢圓方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，知a＝2，c＝1，由橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.從而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，則|PF1|＝eq\f(3,2)，因此S△PF1F2＝eq\f(1,2)·|F1F2|·|PF1|＝eq\f(3,2).故所求△PF1F2的面積為eq\f(3,2).]與橢圓有關(guān)的軌跡問題[探究問題]1.如圖，P為圓B：(x＋2)2＋y2＝36上一動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)，線段AP的垂直平分線交直線BP于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程．提示：用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識將題目條件轉(zhuǎn)化為到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，然后判斷橢圓的中心是否在原點(diǎn)、對稱軸是否為坐標(biāo)軸，最后由定義確定橢圓的基本量a，b，c.所求點(diǎn)Q的軌跡方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.2.如圖，在圓x2＋y2＝4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程是什么？為什么？提示：當(dāng)題目中所求動點(diǎn)和已知動點(diǎn)存在明顯關(guān)系時，一般利用代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求解．用代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程的基本步驟為：(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)所求軌跡上動點(diǎn)坐標(biāo)為M(x，y)，已知曲線上動點(diǎn)坐標(biāo)為P(x1，y1)．(2)求關(guān)系式：用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即得關(guān)系式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝gx，y，,y1＝hx，y.))(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程得到所求動點(diǎn)軌跡的方程，并把所得方程化簡即可．所求點(diǎn)M的軌跡方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.【例3】(1)已知P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上一動點(diǎn)；O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OP中點(diǎn)Q的軌跡方程為______________．(2)一個動圓與圓Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓Q2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，試求這個動圓圓心的軌跡方程．[思路探究](1)點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn)?點(diǎn)Q與點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)系?代入法求解．(2)由圓的相切，及動圓圓心與兩個定圓圓心、半徑的關(guān)系得軌跡．x2＋eq\f(y2,2)＝1.[(1)設(shè)Q(x，y)，P(x0，y0)，由點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)知x0＝2x，y0＝2y，又eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),8)＝1.所以eq\f(2x2,4)＋eq\f(2y2,8)＝1，即x2＋eq\f(y2,2)＝1.](2)由已知，得兩定圓的圓心和半徑分別為Q1(－3,0)，R1＝1；Q2(3,0)，R2＝9.設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，如圖．由題設(shè)有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，所以|MQ1|＋|MQ2|＝10>|Q1Q2|＝6.由橢圓的定義，知點(diǎn)M在以Q1，Q2為焦點(diǎn)的橢圓上，且a＝5，c＝3.所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，故動圓圓心的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.1．與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法，本例(1)所用方法為代入法．例(2)所用方法為定義法．2．對定義法求軌跡方程的認(rèn)識如果能確定動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法．定義法在我們后續(xù)要學(xué)習(xí)的圓錐曲線的問題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法．3．代入法(相關(guān)點(diǎn)法)若所求軌跡上的動點(diǎn)P(x，y)與另一個已知曲線C：F(x，y)＝0上的動點(diǎn)Q(x1，y1)存在著某種聯(lián)系，可以把點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲線C的方程F(x，y)＝0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關(guān)點(diǎn)法)．3．(1)已知x軸上一定點(diǎn)A(1,0)，Q為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上任一點(diǎn)，求線段AQ中點(diǎn)M的軌跡方程．[解]設(shè)中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－1，,y0＝2y.))∵Q(x0，y0)在橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上，∴eq\f(x\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1.將x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得eq\f(2x－12,4)＋(2y)2＝1.故所求AQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋4y2＝1.(2)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝eq\f(3,2)，曲線E過C點(diǎn)，動點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動，且|PA|＋|PB|是定值．建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線E的方程．[解]以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．由題意可知，曲線E是以A，B為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)C的橢圓，設(shè)其方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．則2a＝|AC|＋|BC|＝eq\f(3,2)＋eq\f(5,2)＝4,2c＝|AB|＝2，所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.所以曲線E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.1．對于求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種方法：一是待定系數(shù)法，二是定義法．2．用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，若已知焦點(diǎn)的位置，可直接設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；若焦點(diǎn)位置不確定，可分兩種情況求解，也可設(shè)Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)求解，避免分類討論，達(dá)到了簡化運(yùn)算的目的．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，“標(biāo)準(zhǔn)”的條件是橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱．()(2)橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式中，雖然焦點(diǎn)位置不同，但都具備a2＝b2＋c2.()(3)方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0)是橢圓的方程．()(4)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,6)＝1的焦點(diǎn)在x軸上．()(5)設(shè)橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，則PF1＋PF2＝2.()(6)橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±2,0)．()[解析](1)(2)明顯正確；(3)eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1中，當(dāng)m＝n>0時方程表示圓，故錯誤；(4)方程y2的分母大于x2的分母，故橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，故錯誤；(5)方程eq\f(x2,4)＋y2＝1中，a＝2，所以PF1＋PF2＝4.所以錯誤；(6)因?yàn)閍2－b2＝12－8＝4，所以c＝2，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2，0)，故正確．[答案](1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√2．已知橢圓4x2＋ky2＝4