有限元發(fā)展歷史

有限元方法歷史簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)有限元方法（FEM）是用來求偏微分方程式（PDE）的近似解，也求積分方程式，例如熱傳輸方程式。求解方法是基于完全取消微分方程式（穩(wěn)態(tài)問題），或把偏微分方程式（PDE）譯成等效的常微分方程式，然后采用像有限差等標(biāo)準(zhǔn)的技術(shù)求解。在解偏微分方程式時(shí)，主要的挑戰(zhàn)是創(chuàng)建近似研究的方程式，但數(shù)字穩(wěn)定，這意味著在輸入數(shù)據(jù)和中間計(jì)算都不會(huì)聚集錯(cuò)誤，并造成無意義的輸出結(jié)果。有許多這么做的方法，它們都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。對(duì)于求解復(fù)雜域（像汽車和油管道）偏微分方程式，或當(dāng)希望在全部范圍精確變化時(shí)，有限元方法是好的選擇。例如，在模擬地球氣候模式時(shí)，在土地和完全開放的海域之上有著準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)是非常重要的，采用有限元方法，這個(gè)要求是可以做得到的。1

歷史有限元方法起源于需要解決市政工程和航空工程方面復(fù)雜的彈性結(jié)構(gòu)分析問題。它的開發(fā)可以追溯到A.Hrennikoff（1941）和R.Courant（1942）的工作。雖然這些先驅(qū)者使用這些方法，并且引人注目的不同，但他們都共享一個(gè)基本的特性：把連續(xù)域的網(wǎng)格離散化進(jìn)入一組離散的子域里。Hrennikoff的工作是采用格子使域離散，而與之類似，為了求解起源于汽缸扭轉(zhuǎn)的問題的二階橢圓的偏微分方程式（PDEs），\o"RichardCourant"RichardCourant的方法是把域劃分成有限的三角形子域。對(duì)于由\o"JohnStrutt,3rdBaronRayleigh"Rayleigh，\o"WalterRitz"Ritz和\o"BorisGrigoryevichGalerkin"Galerkin開發(fā)的偏微分方程式（PDEs），\o"RichardCourant"RichardCourant的貢獻(xiàn)是改進(jìn)，繪制了大量的早期結(jié)果。針對(duì)機(jī)身和結(jié)構(gòu)分析的有限元方法的開發(fā)最早開始于1950年代中期，并且用于市政工程的有限元方法許多是1960年代在伯克利開始啟動(dòng)（見伯克利早期有限元研究）。在1973年\o"GilbertStrang"Strang和Fix出版的《有限元方法的分析》里，提供的方法采用了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并且已經(jīng)在廣泛變化的工程學(xué)科，即電磁和流體力學(xué)里，針對(duì)物理系統(tǒng)的數(shù)字建模，歸納成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的分枝。在結(jié)構(gòu)力學(xué)里，有限元方法的開發(fā)常常是基于能量理論，即虛功原理或最小總潛能原理，對(duì)于結(jié)構(gòu)工程師來說，早就強(qiáng)烈要求提供綜合的，直覺的和物理的依據(jù)。2

技術(shù)討論我們將從可以推斷的普通方法里取二個(gè)簡(jiǎn)單問題來舉例說明有限元方法。我們假設(shè)讀者是熟悉微積分學(xué)和線性代數(shù)。我們將采用一維空間

式中f是假設(shè)的，而u是x的未知函數(shù)，并且u〞是與x有關(guān)的u的二階導(dǎo)數(shù)。二維空間取樣問題是狄利克雷問題式中Ω是在（x，y）平面內(nèi)連接開區(qū)域，那些邊界是“和諧的”（即平滑流形或多邊形），并且uxx和uyy，分別表示與x和y有關(guān)的二階導(dǎo)數(shù)。通過計(jì)算不定積分，可以“直接”求解問題P1。然而，只有當(dāng)只有一個(gè)維度空間時(shí)，才使用這個(gè)方法求解邊界值問題，并且不推廣到更高空間的問題，或像u+u”=f問題。出于這個(gè)原因，我們將針對(duì)P1開發(fā)有限元方法，并且略微敘述它對(duì)P2的廣義性。我們的解釋將發(fā)生在二個(gè)步驟里，反映出二個(gè)本質(zhì)的步驟，第一步必須采用有限元方法（FEM）求助于求解邊界值問題（BVP）。在第一步，在它的弱或變分形式上重新描述初始的邊界值問題（BVP）。通常這一步幾乎不需要作計(jì)算，只是在紙上手工進(jìn)行轉(zhuǎn)換。第二步是離散化，在有限的維度空間里，把弱形式離散化。在這個(gè)第二步之后，對(duì)于大的，但是有限空間的線性問題，我們有具體的公式，那些解將近似解答初始的邊界值問題（BVP）。然后就在計(jì)算機(jī)里執(zhí)行這個(gè)有限的空間問題。3

變分公式化第一步是把P1和P2轉(zhuǎn)換為它們的變分公式。如果u求解P1，那么對(duì)于任何平滑函數(shù)v，我們有反過來，如果對(duì)于假設(shè)的u，⑴控制每個(gè)平滑函數(shù)v(t)，那么一步就可以顯示這個(gè)u將求解P1。（證據(jù)是非平凡的，并且采用Sobolev空間）通過在⑴的右邊采用部分積分法，我們獲得式中我們已經(jīng)做了另外的假設(shè)v(0)=v(1)=0。4.1

存在的證據(jù)概要和解的唯一性我們可以定義是有界變分的(0，1)的函數(shù)，在x=0和x=1是0。這樣的函數(shù)是“一次可微分的”，并且它產(chǎn)生出相對(duì)稱的雙線性圖Φ，然后把定義的內(nèi)積轉(zhuǎn)換成為Hibert空間（詳細(xì)的證據(jù)是非平凡的）。在另一方面，左側(cè)

也是內(nèi)積，對(duì)于問題P1，我們?nèi)￠g隔（0，1），選擇nx值0＜x1＜…＜xn＜1，并且我們定義V為

式中我們定義x0=0，和xn+1=1。依照微積分學(xué)的初步定義，觀察V里的函數(shù)是不可微的。確實(shí)，如果

，那么在任何x=xk，k=1，…，n處，通常是不定義導(dǎo)數(shù)的。然而，在x的每個(gè)其它數(shù)值里存在著導(dǎo)數(shù)，以及為了部分積分法的目的，同樣可以使用這個(gè)導(dǎo)數(shù)。對(duì)于問題P2，我們需要V是Ω的一組函數(shù)。在右邊的算式里，我們已經(jīng)在平面里（三維圖的下面）把15邊多邊形區(qū)域Ω劃分成三角形，并且這個(gè)多變形的分段線性函數(shù)（上面帶顏色的三維圖）在三角系的每個(gè)三角形都是線性的；在選定的三角系的每個(gè)三角形上，空間V由線性函數(shù)組成。在文獻(xiàn)里，經(jīng)常用V代替Vh。原因是希望把下面的三角形格柵變得好上加好，離散問題（3）的解將在某種意義上聚集到初始邊界值問題P2的解。那么就由取值很小的，h＞0的真實(shí)數(shù)值參數(shù)分成三角系。這個(gè)參數(shù)將涉及到最大，或三角系里的平均三角形的空間。正如我們定義的三角系，分段線性函數(shù)的空間V也必須改為h，因此沒有符號(hào)Vh。由于我們沒有執(zhí)行這樣的分析，我們將不使用這個(gè)符號(hào)。4.1

選擇基礎(chǔ)完成離散化，我們必須選擇V的基礎(chǔ)。在一維空間情況里，對(duì)于每個(gè)控制點(diǎn)xk，我們將選擇分段線性函數(shù)vk，在xk，V里那些數(shù)值是1，在每個(gè)，V里那些數(shù)值是O，即

對(duì)于k=1，…，n。對(duì)于二維情況，我們按照平坦區(qū)域Ω的三角系的最高點(diǎn)的xk，再次選擇一個(gè)基本函數(shù)vk。函數(shù)vk是V的唯一函數(shù)，在xk，那些數(shù)值是1，并且在每個(gè)，那些數(shù)值是0。根據(jù)作者的意思，在“有限元方法”里的“元”字，既涉及到領(lǐng)域里的三角形，也涉及到分段線性基本函數(shù)，或二者都涉及。作為例子，作者的興趣在于采取舍彎取直，可以把曲線域改為三角形，在哪個(gè)情況里，他可以把他的元作為曲線描述。在另一方面，一些作者用“分段二次方程式”，或者甚至“分段多項(xiàng)式”來取代“分段線性”。那時(shí)作者可能說，“高次元”代替“更高程度的多項(xiàng)式”。有限元方法是不受三角形限制的（或在三維空間里的四面體，或者在多維空間里的更加高次的單形體），但是可以在四邊形子域上定義（在三維空間里的六面體、棱柱、或者棱椎，如此等等）?？梢圆捎枚囗?xiàng)式，以及甚至非多項(xiàng)式形狀（即橢圓或圓）來定義更高次形狀（曲線要素）。常常把采用更高程度分段多項(xiàng)式基本函數(shù)的方法稱為光譜元方法，尤其如果多項(xiàng)式的次數(shù)增加，當(dāng)三角系空間h趨于0。更加高級(jí)的執(zhí)行（適用有限元方法）利用方法，（基于錯(cuò)誤估計(jì)理論）評(píng)估結(jié)果的質(zhì)量，并且在求解期間，根據(jù)連續(xù)問題的“精確”解，在某些限度之內(nèi)，瞄準(zhǔn)達(dá)到近似解來修改網(wǎng)孔?？梢岳酶鞣N技術(shù)來適應(yīng)網(wǎng)孔，最流行的是：移動(dòng)節(jié)點(diǎn)（r-自適應(yīng)性）精煉（和非精煉）元（h-自適應(yīng)性）改變基本函數(shù)的次序（p-自適應(yīng)性）上述組合（即hp-自適應(yīng)性）4.2

基礎(chǔ)的小支撐這個(gè)基礎(chǔ)的選擇的主要優(yōu)點(diǎn)是內(nèi)積

并且

幾乎所有的j，k都將是0。在一維情況里，vk的支撐是間隔[xk?1，xk+1]。因此，只要|j?k|＞1，和φ(vj，vk)的被積函數(shù)同樣是0。同樣，在平面情況里，如果xj和xk，不共享三角系的邊緣，那么積分

和

二個(gè)都為04.3

問題的矩陣形式和，那么問題（3）變成。(4)

對(duì)于j=1，…，n。如果我們用u和f表示列向量(u1，…，un)t，和(f1，…，fn)t，并且如果讓L=(Lij)和M=(Mij)是那些輸入為L(zhǎng)ij=φ(vi，vj)和

的矩陣，那么我們就可以改寫（4）為。(5)

.正如我們之前已經(jīng)討論的，因?yàn)榛A(chǔ)函數(shù)vk有小支撐，所以大多數(shù)L和M的輸入都是0。所以我們必須在未知u里求解線性系統(tǒng)，哪兒大多數(shù)矩陣L的輸入都需要我們改為0。這樣的矩陣就是著名的稀疏矩陣，并且針對(duì)這樣的問題，有不同的解（比實(shí)際轉(zhuǎn)化矩陣更加非常有效）。另外，L是相對(duì)稱的，所以共軛梯度方法這樣的技術(shù)就有用武之地了。對(duì)于不太大的問題，稀少的承載單元分解和\o"Choleskydecomposition"Cholesky分解仍然工作良好。例如，對(duì)于帶有成百上千頂點(diǎn)的網(wǎng)格，\o"Matlab"Matlab的反斜杠算子（基于稀少的承載單元）就足夠了。矩陣L通常是涉及到勁度矩陣，而矩陣M稱為質(zhì)量矩陣。5

比較有限差方法對(duì)于求解偏微分方程（PDEs），是可以選擇有限差方法（FDM）的。在有限元法（FEM）和有限差分法（FDM）之間的差異是：n

有限差分法（FDM）是近似于微分方程式；有限元法是近似于它的解。n

有限元法（FEM）最吸引人的特色是它能夠相當(dāng)容易的處理復(fù)雜的幾何參數(shù)（和邊界條件）。而在它的基本格式里的有限差分法（FDM）處理矩形形狀是受限制的，并且簡(jiǎn)單的把它改造一下，在有限元法（FEM）里，幾何參數(shù)的處理是理論上簡(jiǎn)單明了的。n

有限差分法（FDM）最吸引人的特色是它能夠很容易的執(zhí)行。n

有幾種方法，一種可以把有限差方法（FDM）考慮為有限元法（FEM）的子集。一種可以選擇基本函數(shù)作為分段持續(xù)函數(shù)或迪拉克三角函數(shù)。在二種方法里，在整個(gè)域定義近似值，但是必須不是連續(xù)的。作為選擇，一種可以在離散域定義函數(shù)，結(jié)果連續(xù)的微分算子不再有意義，然而，這個(gè)方法不是有限元法（FEM）。n

有理由認(rèn)為有限元近似值的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是更加合理的，例如，在有限差方法（FDM）里，因?yàn)樵诟褡狱c(diǎn)之間的近似值的質(zhì)量是差的。n

有限元法（FEM）近似值的質(zhì)量常常是比相應(yīng)的有限差方法（FDM）高的，但是，這個(gè)是極端的問題，并且可以提供相反的個(gè)別例子。通常，有限元法（FEM）是在結(jié)