解直角三角形

導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)28.2

解直角三角形及其應(yīng)用第二十八章銳角三角函數(shù)28.2.1

解直角三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解并掌握解直角三角形的概念；2.理解直角三角形中的五個元素之間的聯(lián)系.(重點)3.學(xué)會解直角三角形.（難點）導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入ACBcba(1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=_____；(2)銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=_____；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.

問題

如圖，在Rt△ABC中，共有六個元素（三條邊，三個角），其中∠C=90°，那么其余五個元素之間有怎樣的關(guān)系呢？c290°講授新課已知兩邊解直角三角形一在圖中的Rt△ABC中，（1）根據(jù)∠A＝75°，斜邊AB＝6，你能求出這個直角三角形的其他元素嗎？ABCα6=75°互動探究在圖中的Rt△ABC中，（2）根據(jù)AC＝2.4，斜邊AB＝6，你能求出這個直角三角形的其他元素嗎？ABCα62.4

在直角三角形中，除直角外有5個元素（即3條邊、2個銳角），只要知道其中的2個元素（至少有1個是邊），就可以求出其余的3個未知元素.

由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫作解直角三角形.典例精析例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，,解這個直角三角形.解：ABC已知一邊及一銳角解直角三角形二典例精析例2

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20,解這個直角三角形(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).ABCb20ca35°解：例3

如圖，已知AC=4，求AB和BC的長．解析：作CD⊥AB于點D，根據(jù)三角函數(shù)的定義，在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD的長，從而求解．在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°，D解：如圖，作CD⊥AB于點D，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，∴BD=CD=2.已知一銳角三角函數(shù)值解直角三角形三例4

如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，

BC=5，試求AB的長.解：ACB設(shè)∴AB的長為在解直角三角形中，已知一邊與一銳角三角函數(shù)值，一般可結(jié)合方程思想求解.練一練1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，則

AB=（）

A．4B．6C．8D．10D2.如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，EC=4，

sinB＝，則菱形的周長是（）

A．10B．20C．40D．28C圖②當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖②，BC=BD+CD=12+5=17.圖①解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，如圖①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5∴BC=BD-CD=12-5=7；∴BC的長為7或17.當(dāng)三角形的形狀不確定時，一定要注意分類討論.例5

在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求

BC的長.當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=3，

cosB=，則AC的長為（）

A．3B．3.75C．4.8D．5B1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

AB=8，則BC的長是（）D3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分線，解這個直角三角形.DABC6解：因為AD平分∠BAC4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；（1）a=30,b=20;解：根據(jù)勾股定理ABCb=20a=30c

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；

(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：5.如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.DABC解：過點A作AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=解直角三角形依據(jù)解法:只要知道五個元素中的兩個元素（至少有一個是邊），就可以求出余下的三個未知元素勾股定理兩銳角互余銳角的三角函數(shù)課堂小結(jié)見本課時練習(xí)課后作業(yè)導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)28.2

銳角三角函數(shù)第二十八章銳角三角函數(shù)第1課時解直角三角形的簡單應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.鞏固解直角三角形相關(guān)知識；2.能運用解直角三角形知識解決簡單實際問題．(重點)導(dǎo)入新課情境引入

公園里，小明和小麗開心地玩蹺蹺板，當(dāng)小麗用力將4m長的蹺蹺板的一端壓下并碰到地面,此時另一端離地面1.5m.你能求出此時蹺蹺板與地面的夾角嗎？4m1.5mABC?在直角三角形中,除直角外,由已知兩元素求其余未知元素的過程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三邊之間的關(guān)系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依據(jù)(2)兩銳角之間的關(guān)系:∠A＋∠B＝90o；(3)邊角之間的關(guān)系:tanA＝absinA＝accosA＝bc(必有一邊)ＡＣＢabc別忽略我哦！復(fù)習(xí)引入講授新課利用解直角三角形解決簡單實際問題一互動探究問題1

如圖,當(dāng)棋棋乘坐登山纜車的吊箱經(jīng)過點A到達(dá)點B時,它走過了200m.在這段路程中纜車行駛的路線與水平面的夾角為30°,你知道纜車垂直上升的距離是多少嗎?ABABD30°200mBD=ABsin30°=100mABC問題2當(dāng)棋棋要乘纜車?yán)^續(xù)從點B到達(dá)比點B高200m的點C,如果這段路程纜車的行駛路線與水平面的夾角為60°,纜車行進速度為1m/s,棋棋需要多長時間才能到達(dá)目的地？ABDCE60°200m棋棋需要231s才能到達(dá)目的地典例精析例12012年6月18日，“神州”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標(biāo)飛行器成功實現(xiàn)交會對接.“神州”九號與“天宮”一號的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運行.如圖，當(dāng)組合體運行到離地球表面P點的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點在什么位置？最遠(yuǎn)點與P點的距離是多少（地球半徑約為6400km,結(jié)果取整數(shù)）？OFPQFQ是☉O的切線，∠FQO為直角.最遠(yuǎn)點求的長，要先求∠POQ的度數(shù)OFPQ解：設(shè)∠POQ=，∵FQ是☉O的切線，∴△FOQ是直角三角形.的長為歸納總結(jié)利用解直角三角形解決實際問題的一般過程：1.將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；2.根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題3.得到數(shù)學(xué)問題的答案；4.得到實際問題的答案.例2

如圖，秋千鏈子的長度為3m，靜止時的秋千踏板（大小忽略不計）距地面0.5m．秋千向兩邊擺動時，若最大擺角（擺角指秋千鏈子與鉛垂線的夾角）約為60°，則秋千踏板與地面的最大距離為多少？0.5m3m60°0.5m3mABCDE60°分析：根據(jù)題意，可知秋千踏板與地面的最大距離為CE的長度.已知：DE=0.5m,AD=AB=3m,∠DAB=60°，△ACB為直角三角形.解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m,3mABDE60°C∴AC=ABcos∠CAB=1.5m,∴CD=AD-AC=1.5m,∴CE=AD+DE=2.0m.即秋千踏板與地面的最大距離為2.0m.練一練1.星期天，小華去圖書超市購書，因他所買書類在二樓，故他乘電梯上樓，已知電梯AB段的長度8m，傾斜角為300，則二樓的高度（相對于底樓）是__________m.ABC30042.我校準(zhǔn)備在田徑場旁建①②兩幢學(xué)生公寓，已知每幢公寓的高為15米，太陽光線AC的入射角∠ACD=550，為使②公寓的從第一層起照到陽光，現(xiàn)請你設(shè)計一下，兩幢公寓間距BC至少是()米.A.15sin55°B.15cos55°C.15tan55°D.15cot55°C1.一次臺風(fēng)將一棵大樹刮斷，經(jīng)測量，大樹刮斷一端的著地點A到樹根部C的距離為4米，倒下部分AB與地平面AC的夾角為45°，則這棵大樹高是

米.當(dāng)堂練習(xí)ACB2.如圖，為固定電線桿AC，在離地面高度為6m的A處引拉線AB，使拉線AB與地面上的BC的夾角為48°，則拉線AB的長度約為（）（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A．6.7mB．7.2mC．8.1mD．9.0mC3.數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)們要測量被池塘相隔的兩棵樹A、B的距離，他們設(shè)計了如圖所示的測量方案：從樹A沿著垂直于AB的方向走到E，再從E沿著垂直于AE的方向走到F，C為AE上一點，其中3位同學(xué)分別測得三組數(shù)據(jù)：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根據(jù)所測數(shù)據(jù)求得A、B兩樹距離的有（）A．0組B.1組C．2組.3組D4.某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓,該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市,超市以上是居民住房.在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓.當(dāng)冬季正午的陽光與水平線的夾角為30°時.問：超市以上的居民住房采光是否有影響,為什么？30°太陽光ABDC新樓住宅樓EF30°FEA30°15m

小華去實驗樓做實驗,兩幢實驗樓的高度AB=CD=20m,兩樓間的距離BC=15m，已知太陽光與水平線的夾角為30°，求南樓的影子在北樓上有多高？北ABDC20m15mEF南解：過點E作EF∥BC，∴∠AFE=90°，F(xiàn)E=BC=15m.即南樓的影子在北樓上的高度為

小華想:若設(shè)計時要求北樓的采光,不受南樓的影響,請問樓間距BC長至少應(yīng)為多少米?AB20m?m北DC南BC至少為課堂小結(jié)利用解直角三角形解決實際問題的一般過程：1.將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；2.根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題3.得到數(shù)學(xué)問題的答案；4.得到實際問題的答案.見本課時練習(xí)課后作業(yè)導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)28.2

銳角三角函數(shù)第二十八章銳角三角函數(shù)第2課時利用仰俯角解直角三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)1.鞏固解直角三角形有關(guān)知識；（重點）2.能運用解直角三角形知識解決仰角和俯角的問題.(難點)導(dǎo)入新課情境引入

某探險者某天到達(dá)如圖所示的點A處時，他準(zhǔn)備估算出離他的目的地——海拔為3500m的山峰頂點B處的水平距離.他能想出一個可行的辦法嗎？通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，相信你也行.．．AB．．利用解直角三角形解決實際問題的一般過程：1.將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；2.根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題3.得到數(shù)學(xué)問題的答案；4.得到實際問題的答案.

解直角三角形的應(yīng)用問題的思路是怎樣的？復(fù)習(xí)引入講授新課解與仰俯角有關(guān)的問題一

如圖，在進行測量時，從下向上看，視線與水平線上方的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線下方的夾角叫做俯角.

例1

熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果精確到0.1m）.ABCDαβ仰角水平線俯角典例精析分析：我們知道，在視線與水平線所成的角中視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角，因此，在圖中，a=30°,β=60°.Rt△ABD中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知識求出BD的長度；類似地可以求出CD的長度，進而求出BC的長度，即求出這棟樓的高度.ABCDαβ仰角水平線俯角解：如圖，a=30°,β=60°，AD＝120．答：這棟樓高約為277.1m.ABCDαβ例2建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為54°，觀察底部B的仰角為45°，求旗桿的高度（精確到0.1m）.ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=40m在Rt△ACD中∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：旗桿的高度為15.2m.例3如圖，小明想測量塔AB的高度.他在D處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50m至C處.測得仰角為60°，小明的身高1.5m.那么該塔有多高?(結(jié)果精確到1m)，你能幫小明算出該塔有多高嗎?D′AB′BDC′C解：如圖，由題意可知，∠AD′B′=30°,∠AC′B′=60°，D′C′=50m.∴∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m，設(shè)AB′=xm.D′AB′BDC′C如圖所示，在離上海東方明珠塔1000m的A處，用儀器測得塔頂?shù)难鼋恰螧AC為25°(在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫作仰角，在水平線下方的叫作俯角)，儀器距地面高為1.7m.求上海東方明珠塔的高BD.（結(jié)果精確到1m.）練一練如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m，因此答：上海東方明珠塔的高度BD為468m.從而BC=1000×tan25°≈466.3（m）因此，上海東方明珠塔的高度

BD=466.3+1.7=468（m）

當(dāng)堂練習(xí)1.如圖1，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測海平面上一艘小船B，并測得它的俯角為45°，則船與觀測者之間的水平距離BC=_________米.2.如圖2，兩建筑物AB和CD的水平距離為30米，從A點測得D點的俯角為30°，測得C點的俯角為60°，則建筑物CD的高為_____米.100圖1圖2BCBC3.如圖，從地面上的C，D兩點測得樹頂A仰角分別是45°和30°，已知CD=200米，點C在BD上，則樹高AB等于

（根號保留）．解：依題意可知，在Rt?ADC中所以樹高為19.2+1.72≈20.9(米)4.為測量松樹AB的高度，一個人站在距松樹15米的E處，測得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求樹高(精確到0.1米）.ADBEC2.目前世界上最高的電視塔是廣州新電視塔．如圖所示，新電視塔高AB為610米，遠(yuǎn)處有一棟大樓，某人在樓底C處測得塔頂B的仰角為45°，在樓頂D處測得塔頂B的仰角為39°．（tan39°≈0.81）（1）求大樓與電視塔之間的距離AC；（2）求大樓的高度CD（精確到1米）解：（1）由題意，AC＝AB＝610（米）；（2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝故BE＝DEtan39°．因為CD＝AE，所以CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）.3.為促進我市經(jīng)濟的快速發(fā)展，加快道路建設(shè)，某高速公路建設(shè)工程中需修隧道AB，如圖，在山外一點C測得BC距離為200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的長（參考數(shù)據(jù)：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精確到個位）．解：過點C作CD⊥AB于D，∵BC=200m，∠CBA=30°，∴在Rt△BCD中，CD=BC=100m，

BD=BC?cos30°≈173（m），在Rt△ACD中，AD≈72（m），∴AB=AD+BD=173+72=245（m）．答：隧道AB的長為245m．課堂小結(jié)利用仰俯角解直角三角形仰角、俯角的概念運用解直角三角形解決仰角、俯角問題見本課時練習(xí)課后作業(yè)導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)28.2

銳角三角函數(shù)第二十八章銳角三角函數(shù)第3課時利用方位角、坡度解直角三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)1.正確理解方向角、坡度的概念；（重點）2.能運用解直角三角形知識解決方向角、坡度的問題.(難點)導(dǎo)入新課情境引入如圖，從山腳到山頂有兩條路AB與BD，問哪條路比較陡？右邊的路BD陡些．如何用數(shù)量來刻畫哪條路陡呢？講授新課解與方位角有關(guān)的問題一以正南或正北方向為準(zhǔn)，正南或正北方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成的小于90°的角,叫做方位角.如圖所示：30°45°BOA東西北南方位角45°45°西南O東北東西北南西北東南北偏東30°南偏西45°例1

如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80nmile的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（精確到0.01nmile）？65°34°PBCA典例精析解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時，它距離燈塔P大約130.23nmile．65°34°PBCA例2

某海濱浴場東西走向的海岸線可近似看作直線l(如圖)．救生員甲在A處的瞭望臺上觀察海面情況，發(fā)現(xiàn)其正北方向的B處有人發(fā)出求救信號．他立即沿AB方向徑直前往救援，同時通知正在海岸線上巡邏的救生員乙．乙馬上從C處入海，徑直向B處游去．甲在乙入海10秒后趕到海岸線上的D處，再向B處游去．若CD＝40米，B在C的北偏東35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，則誰先到達(dá)B處？請說明理由(參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).

分析：在Rt△CDB中，利用三角函數(shù)即可求得BC，BD的長，則可求得甲、乙所用的時間，比較二者之間的大小即可．解：由題意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.∴BD＝CD?tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．BC＝CDcos∠BCD＝40cos55°≈70.2(米)．∴t甲≈57.22＋10＝38.6(秒)，t乙≈70.22＝35.1(秒)．∴t甲>t乙．答：乙先到達(dá)B處．水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，則斜坡CD的坡面角α

，壩底寬AD和斜坡AB的長應(yīng)設(shè)計為多少？ADBCi=1:2.5236解與坡度有關(guān)的問題二αlhi=h:l1.坡角坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α.2.坡度（或坡比）坡度通常寫成1∶m的形式，如i=1∶6.

如圖所示，坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,記作i,即i=——hl3.坡度與坡角的關(guān)系坡度等于坡角的正切值坡面水平面1.斜坡的坡度是，則坡角α=______度.2.斜坡的坡角是45°

，則坡比是_______.3.斜坡長是12米,坡高6米,則坡比是_______.αlh301：1練一練例3如圖，一山坡的坡度為i=1:2.小剛從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了240m到達(dá)點C.這座山坡的坡角是多少度？小剛上升了多少米（角度精確到0.01°，長度精確到0.1m）？i=1:2典例精析在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，解：用α表示坡角的大小，由題意可得因此α≈26.57°.答：這座山坡的坡角約為26.57°，小剛上升了約107.3m．從而BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．

你還可以用其他方法求出BC嗎？因此例4水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：（1）壩底AD與斜坡AB的長度（精確到0.1m）;

（2）斜坡CD的坡角α（精確到1°）.EFADBCi=1:2.5236α分析：由坡度i會想到產(chǎn)生鉛垂高度，即分別過點B、C

作AD的垂線；

垂線BE、CF將梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，則AD=AE+EF+FD，EF=BC=6m，AE、DF可結(jié)合坡度,通過解Rt△ABE和Rt△CDF