湘教版（2023）必修第二冊 第四章 立體幾何初步 單元測試（含解析）

第第頁湘教版（2023）必修第二冊第四章立體幾何初步單元測試（含解析）章末質(zhì)量檢測(四)立體幾何初步

考試時間：120分鐘滿分：150分

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)

1．下列命題正確的是()

A．所有棱長都相等的直四棱柱一定是正方體

B．長方體一定是直四棱柱，正四棱柱一定是長方體

C．有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱

D．有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺

2．已知圓柱OO1及其展開圖如圖所示，則其體積為()

A．πB．2π

C．3πD．4π

3．如圖正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積為()

A．2B．1

C．D．2

4．正四棱臺的上、下底面邊長分別為1cm，3cm，側(cè)棱長為2cm，則棱臺的側(cè)面積為()

A．4cm2B．8cm2

C．4cm2D．8cm2

5．點P是平面ABC外一點，且PA＝PB＝PC，則點P在平面ABC上的射影一定是△ABC的()

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

6．已知△ABC為等腰直角三角形，AB⊥AC，其面積為1.以AB為軸，則將△ABC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為()

A．B．πC．πD．2π

7．已知A，B，C三點均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距離為2，則球O的內(nèi)接正方體的棱長為()

A．1B．C．2D．

8.

如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是弧DF的中點，設(shè)P是弧CE上的一點，且AP⊥BE，則AG與BP所成角的大小為()

A．45°B．15°C．30°D．0°

二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．)

9．已知兩條直線m，n，兩個平面α，β.下列說法正確的是()

A．若m∥n，m⊥α，則n⊥αB．若α∥β，mα，nβ，則m∥n

C．若m∥n，m∥α，則n∥αD．若α∥β，m∥n，m⊥α，則n⊥β

10．用一個平面去截正方體，截面的形狀不可能是()

A．直角三角形B．等腰梯形

C．正五邊形D．正六邊形

11.

如圖，在棱長均相等的四棱錐PABCD中，O為底面正方形的中心，M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點，下列結(jié)論正確的有()

A．PD∥平面OMN

B．平面PCD∥平面OMN

C．直線PD與直線MN所成角的大小為90°

D．ON⊥PB

12.

如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，P是線段A1C(不含端點)上的一個動點，那么在點P的運動過程中，下列說法中正確的有()

A．存在某一位置，使得直線PE和直線BB1相交

B．存在某一位置，使得BC∥平面AEP

C．點A1與點B1到平面PBE的距離總相等

D．三棱錐C1PBE的體積不變

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．)

13．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為________cm.

14．正方體ABCDA1B1C1D1，若過A、C、B1三點的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與AC的關(guān)系是________．

15.

如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為cm，高為2cm，內(nèi)孔直徑為1cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3.

16．立方、塹堵、陽馬和鱉臑等這些名詞都出自中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》，在《九章算術(shù)·商功》中有這樣的記載：“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”．意思是說：把一塊長方體沿斜線分成相同的兩塊，這兩塊叫“塹堵”，如圖1.再把一塊“塹堵”沿斜線分成兩塊，其中以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為“陽馬”，余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為“鱉臑”，如圖2.

現(xiàn)有一四面體ABCD，已知AB＝2，BC＝2，CD＝1，BD＝，AC＝2，AD＝3，根據(jù)上述史料中“鱉臑”的由來，可得這個四面體的體積為________；該四面體的外接球的表面積為________．

四、解答題(本題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．)

17．(本小題滿分10分)一個幾何體由圓錐和圓柱組成，其尺寸如圖所示．

(1)求此幾何體的表面積；

(2)如果點P，Q在直觀圖中所示位置，P為所在母線中點，Q為母線與底面圓的交點，求在幾何體表面上，從P點到Q點的最短路徑長．

18．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是PA，PB的中點，求證：

(1)MN∥平面ABCD；

(2)CD⊥平面PAD.

19．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，點E、F分別是棱PC和PD的中點．

(1)求證：EF∥平面PAB

(2)若AP＝AD，平面PAD⊥平面ABCD，證明：平面PAD⊥平面PCD.

20．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，AD∥BC，∠ABC＝90°，2AB＝CD＝2AD＝2，E為PC的中點．

(1)證明：DE∥平面APB；

(2)若BP＝2，求三棱錐EDBP的體積．

21．(本小題滿分12分)如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直底面，∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝2，D為C1B的中點，點P為AB的中點．

(1)求證：PD∥平面AA1C1C；

(2)求證：BC⊥PD；

(3)求點B到平面PCD的距離．

22．(本小題滿分12分)如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝1，BC＝2，E、F分別為腰AD、BC的中點．將四邊形CDEF沿EF折起，使平面EFC′D′⊥平面ABFE，如圖2，H，M分別為線段EF、AB的中點．

(1)求證：MH⊥平面EFC′D′；

(2)請在圖2所給的點中找出兩個點，使得這兩點所在直線與平面D′HM垂直，并給出證明；

(3)若N為線段C′D′中點，在直線BF上是否存在點Q，使得NQ∥平面D′HM？如果存在，求出線段NQ的長度，如果不存在，請說明理由．

章末質(zhì)量檢測(四)立體幾何初步

1．解析：所有棱長都相等的直四棱柱的底面是菱形，不一定是正方形，故A不正確；長方體的側(cè)棱垂直于底面，所以長方體一定是直四棱柱，根據(jù)正四棱柱的定義可知正四棱柱一定是長方體，故B正確；如圖：由兩個斜四棱柱組成的幾何體滿足題意，這個幾何體就不是棱柱，故C不正確；

如圖：由兩個棱臺組合而成的幾何體滿足題意，這個幾何體就不是棱臺，故D不正確．

答案：B

2．解析：設(shè)底面半徑為r，高為h，根據(jù)展開圖得，則，所以圓柱的體積為πr2h＝π×12×4＝4π.

答案：D

3．解析：由題意知正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，

所以O(shè)B＝，對應(yīng)原圖形平行四邊形的高為2，

所以原圖形的面積為1×2＝2.

答案：A

4．解析：正四棱臺的上、下底面邊長分別為1cm，3cm，側(cè)棱長為2cm，

所以棱臺的斜高為：＝.

所以棱臺的側(cè)面積是：4××＝8.

答案：D

5．解析：如圖所示，過點P作PO⊥平面ABC，

可得OA＝，OB＝，OC＝

因為PA＝PB＝PC，可得OA＝OB＝OC，

所以O(shè)為△ABC的外心．

答案：A

6．解析：因為△ABC為等腰直角三角形，AB⊥AC，其面積為1，

所以AB·AC＝1，且AB＝AC，解得AB＝AC＝，

以AB為軸，則將△ABC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為圓錐，此圓錐的底面半徑為AC＝，高為AB＝，

所以圓錐的體積為π×()2×＝π.

答案：C

7．解析：由題意得，△ABC的外接圓半徑為×＝，

設(shè)該球的半徑為r，可得r2＝22＋，所以r＝，

設(shè)該球內(nèi)接正方體的棱長為a，所以3a2＝，所以a＝.

答案：D

8．解析：因為AP⊥BE，AB⊥BE，AP∩AB＝A，故BE⊥平面ABP，故BE⊥BP，

取弧EC的中點H，連接BH，GH，易得AG∥BH，且∠EBH＝60°，故AG與BP所成角即∠PBH＝90°－60°＝30°

答案：C

9．解析：由于兩條平行線中的一條垂直于已知平面，則另一條也垂直于該平面，故A選項正確；若α∥β，mα，nβ，則m∥n或異面，故B選項錯誤；若m∥n，m∥α，則n∥α或nα，故C選項錯誤；若α∥β，m∥n，m⊥α，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理易知n⊥β，故D選項正確．

答案：AD

10．解析：截面為六邊形時，可能出現(xiàn)正六邊形，當(dāng)截面為五邊形時，假若截面是正五邊形，則截面中的截線必然分別在5個面內(nèi)，由于正方體有6個面，分成兩兩平行的三對，故必然有一對平行面中有兩條截線，而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知這兩條截線互相平行，但正五邊形的邊中是不可能有平行的邊的，故截面的形狀不可能是正五邊形；

截面為四邊形時，可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現(xiàn)直角梯形；

當(dāng)截面為三角形時，可能出現(xiàn)正三角形，但不可能出現(xiàn)直角三角形．

答案：AC

11．解析：選項A，連接BD，顯然O為BD的中點，又因為N為PB的中點，所以PD∥ON，由線面平行的判定定理可得，PD∥平面OMN；選項B，由M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點，得MN∥AB，又因為底面為正方形，所以MN∥CD，由線面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN，又由選項A得PD∥平面OMN，由面面平行的判定定理可得，平面PCD∥平面OMN；選項C，因為MN∥CD，所以∠PDC為直線PD與直線MN所成的角，又因為所有棱長都相等，所以∠PDC＝60°，故直線PD與直線MN所成角的大小為60°；選項D，因底面為正方形，所以AB2＋AD2＝BD2，又知所有棱長都相等，所以PB2＋PD2＝BD2，故PB⊥PD，又因為PD∥ON，所以O(shè)N⊥PB，故ABD均正確．

答案：ABD

12.

解析：假設(shè)存在，則B，B1，E，P四點共面，而點P不在平面BB1E內(nèi)，故A錯誤；因為BC∥AD，所以BC∥平面AED，所以當(dāng)P是直線A1C與平面AED的交點時就滿足要求，故B正確；因為A1B1的中點E在平面PBE內(nèi)，所以點A1與點B1到平面PBE的距離總相等，故C正確；連接B1C，交BC1于O，則O為B1C中點，所以EO∥A1C，又因為EO平面BC1E，A1C平面BC1E，所以A1C∥平面BC1E，所以點P到平面BC1E的距離為定值，從而三棱錐PBC1E的體積為定值，即三棱錐C1PBE的體積為定值，故D正確．

答案：BCD

13．解析：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線為l，則底面圓面積為πr2，周長為2πr，

則解得.

答案：2

14．解析：根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可知AC∥A1C1，

由于AC平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，所以AC∥平面A1B1C1D1，

由于AC平面ACB1，平面ACB1∩平面A1B1C1D1＝l，所以AC∥l.

答案：平行

15．解析：六棱柱的體積為：×2＝9，

圓柱的體積為：π×(0.5)2×2＝，

所以此六角螺帽毛坯的體積是：cm3.

答案：9－

16．解析：根據(jù)題意可知“鱉臑”的由來是將長方體分解一半，得到三棱柱，再把三棱柱分解出一半可得，由已知AB＝2，BC＝2，CD＝1，BD＝，AC＝2，AD＝3，還原的長方體如圖所示，

所以四面體的體積為V＝S△BCD·AB＝××2×1×2＝，

四面體的外接球就是長方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R，則2R＝AD＝3，所以R＝，所以四面體的外接球的表面積為4πR2＝4π×＝9π.

答案：9π

17．解析：(1)由題設(shè)知，此幾何體是一個圓錐加一個圓柱，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積與圓柱的一個底面積之和．

圓錐側(cè)面積S1＝×(2πa)×(a)＝πa2；圓柱側(cè)面積S2＝(2πa)×(2a)＝4πa2；圓柱底面積S3＝πa2，

∴幾何體表面積為S＝S1＋S2＋S3＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.

(2)沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側(cè)面，展開如圖．

則PQ＝＝＝a.

∴P、Q兩點間在側(cè)面上的最短路徑長為a.

18．證明：(1)∵M，N分別是PA，PB中點，

∴MN∥AB，

又∵MN平面ABCD，AB平面ABCD，

∴MN∥平面ABCD.

(2)∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵底面ABCD是矩形，

∴AD⊥CD，∵PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，

∴CD⊥平面PAD.

19．證明：(1)因為點E、F分別是棱PC和PD的中點，所以EF∥CD

在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB

又因為AB平面PAB，EF平面PAB

所以EF∥平面PAB.

(2)在矩形ABCD中，AD⊥CD，又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD

所以CD⊥平面PAD，又因為AF平面PAD

所以CD⊥AF①，因為PA＝AD且F是PD的中點，所以AF⊥PD②，由①②及PD平面PCD，CD平面PCD，PD∩CD＝D

所以AF⊥平面PCD.又因為AF平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD.

20．解析：(1)取PB中點F，連接FE，F(xiàn)A，

∵E是CP的中點，

∴EF∥CB，EF＝CB，

∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠DAB＝90°，

∵AD＝AB＝1，

∴BD＝，∠ADB＝45°，則∠DBC＝45°，

又∵CD＝，

∴∠CDB＝90°，可得CB＝＝2，

∴AD∥CB，AD＝CB，

∴EF∥AD，EF＝AD，得四邊形ADEF為平行四邊形，

∴DE∥AF，又∵DE平面ABP，AF平面ABP，

∴DE∥平面APB；

(2)取BC中點O，連接DO，

∴DO⊥CB，

∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝CB，

∴DO⊥平面PBC，則DO為三棱錐DEBP的高，

又∵BC＝BP＝2，

∴BE⊥CP，得BE＝CP＝，

∴VEDBP＝VDEBP＝DO·S△EBP＝DO×＝×1×＝.

故三棱錐EDBP的體積為.

21．解析：(1)證明：如圖所示：連接AC1，

∵D，P分別是BC1，AB的中點，

∴DP∥AC1，

又∵AC1平面AA1C1C，PD平面AA1C1C，

∴PD∥平面AA1C1C；

(2)∵AA1⊥平面ABC，且∠ACB＝90°，

∴AA1⊥BC，BC⊥AC，

又∵AA1∩AC＝A，AA1、AC平面ACC1A1，

則BC⊥平面A