專題13角綜合運算（知識大串講）（原卷版）

專題13角綜合運算（知識大串講）【知識點梳理】考點1角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：注意：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數(shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．考點2角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在進行有關度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當?shù)臀坏脭?shù)大于60時要向高一位進位．考點3鐘表上有關夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．考點4方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”．（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O為端點．考點5角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．考點6角的運算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．考點7角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．考點8余角（1）定義：一般地，如果兩個角的和等于90°（直角），我們就說這兩個角互為余角，稱其中的一個角是另一個角的余角．（2）余角的性質(zhì)：同角(等角)的余角相等．（3）數(shù)學語言表示：若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互余，若∠1與∠2互余，則∠1+∠2=90°.考點9補角（1）定義：一般地，如果兩個角的和等于180°（平角），我們就說這兩個角互為補角，稱其中一個角是另一個角的補角．（2）補角的性質(zhì)：同角（等角）的補角相等．（3）數(shù)學語言表示：若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互補，若∠1與∠2互補，則∠1+∠2=180°.【典例分析】【考點1度分秒換算】1．用度、分、秒表示20.21°為（）A．20°12' B．20°21' C．20°12'36″ D．20°21″2．若∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，則（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B3．把15°30′化成度的形式，則15°30′＝度．4．計算：15°37′+42°51′＝．5．計算：50°﹣15°30′＝．【考點2角的概念】6．下列四個圖中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個角的是（）A． B． C． D．7．下列結(jié)論正確的是（）A．直線比射線長 B．過兩點有且只有一條直線 C．過三點一定能作三條直線 D．一條直線就是一個平角8．用量角器測得∠MON的度數(shù)，下列操作正確的是（）A．B． C．D．【考點3鐘面角】9．在時刻8：30，時鐘上的時針和分針之間的夾角為（）A．85° B．75° C．70° D．60°10．9時45分時，時鐘的時針與分針的夾角是．11．由2點15分到2點30分，時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度是度．【考點4方位角】12．在燈塔O處觀測到輪船A位于北偏西54°的方向，同時輪船B在南偏東15°的方向，那么∠AOB的大小為（）A．69° B．111° C．141° D．159°13．一個人從A點出發(fā)向北偏東60°的方向走到B點，再從B出發(fā)向南偏西15°方向走到C點，那么∠ABC等于（）A．75° B．105° C．45° D．135°14．已知：島P位于島Q的正西方，由島P，Q分別測得船R位于南偏東30°和南偏西45°方向上，符合條件的示意圖是（）A． B． C． D．15．，電影院，公園在平面圖上的標點分別是A，B，C，電影院在的正東方向，公園在的南偏西25°方向，那么平面圖上的∠CAB等于（）A．115° B．155° C．25° D．65°16．如圖，快艇從P處向正北航行到A處時，向左轉(zhuǎn)50°航行到B處，再向右轉(zhuǎn)80°繼續(xù)航行，此時的航行方向為（）A．北偏東30° B．北偏東80° C．北偏西30° D．北偏西50°【考點5角平分線及有關運算】17．一副三角板不能畫出角的度數(shù)為（）A．15° B．75° C．165° D．175°18．如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于O，則∠AOC+∠DOB＝（）A．90° B．120° C．160° D．180°19．把兩塊三角板按如圖所示那樣拼在一起，則∠ABC等于（）A．70° B．90° C．105° D．120°20．如圖，OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．65° D．70°21．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，則∠MOD的度數(shù)是（）A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°22．如圖所示，將一張長方形紙的一角斜折過去，使頂點A落在A′處，BC為折痕，如果BD為∠A′BE的平分線，則∠CBD＝（）A．80° B．90° C．100° D．70°23．如圖所示，兩塊三角板的直角頂點O重疊在一起，且OB恰好平分∠COD，則∠AOD的度數(shù)是度．24．如圖所示，點O是直線AB上的點，OC平分∠AOD，∠BOD＝30°，則∠AOC＝度．25．將兩塊直角三角尺的直角頂點重合為如圖的位置，若∠AOD＝110°，則∠COB＝度．26．如圖，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．試求∠COE的度數(shù)．27．如圖所示，OE，OD分別平分∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝90°；（1）如果∠BOC＝40°，求∠EOD的度數(shù)；（2）如果∠EOD＝70°，求∠BOC的度數(shù)．【考點6角的大小比較】28．若∠1＝50°5'，∠2＝50.5°，則∠1與∠2的大小關系是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＞∠1 C．∠1＞∠2 D．無法確定29．如圖．∠AOB＝∠COD，則（）A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1與∠2的大小無法比較30．已知∠α＝39°18′，∠β＝39.18°，∠γ＝39.3°，下面結(jié)論正確的是（）A．∠α＜∠γ＜∠β B．∠γ＞∠α＝∠β C．∠α＝∠γ＞∠β D．∠γ＜∠α＜∠β31．如圖，用三角板比較∠A與∠B的大小，其中正確的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．沒有量角器，無法確定32．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，∠ABC∠DEF（填“＞”，“＝”或“＜”）【考點7余角的性質(zhì)】33．一個角的度數(shù)是20°，則這個角的余角是（）A．20° B．30° C．60° D．70°34．如圖，點O在直線AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下列說法錯誤的是（）A．∠1＝∠2相等 B．∠AOE與∠2互余 C．∠AOD與∠1互補 D．∠AOD與∠COD互補35．如果一個角的補角是150°，那么這個角的余角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．90° D．120°36．將一副三角板按如圖所示位置擺放，其中∠α與∠β一定互余的是（）A． B． C． D．37．如果∠α和∠β互補，且∠α＞∠β，則下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個38．已知∠α與∠β互余，且∠α＝35°18′，則∠β＝°′．【考點8補角的性質(zhì)】39．若∠α＝30°，則∠α的補角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°40．若∠α+∠β＝90°，∠β+∠γ＝90°，則∠α與∠γ的關系是（）A．互余 B．互補 C．相等 D．∠α＝90°+∠γ41．若兩個角互補，且度數(shù)之比為3：2，求較大角度數(shù)為．【考點9利用補角和余角計算求值】42．一個角的余角比它的補角的還少40°，則這個角的度數(shù)為度．43．一個角的補角加上10°后，等于這個角的余角的3倍，則這個角＝°．44．一個角的余角比它的補角的還少20°，求這個角．【考點10補角、余角和角平分線綜合運算】45．如圖，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．（1）求出∠AOB及其補角的度數(shù)；（2）請求出∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補，并說明理由．46．如圖，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．（1）判斷∠ACE與∠BCD的大小關系，并說明理由；（2）若∠DCE＝30°，求∠ACB的度數(shù)；（3）猜想：∠ACB與∠DCE有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由．47．如圖，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝