2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題1．的值為(

)A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由誘導(dǎo)公式可得答案.【詳解】.故選：A2．已知，則(

)A． B． C． D．1【正確答案】B【分析】根據(jù)二倍角的正切公式計算即可.【詳解】因為，所以，故選：B.3．已知向量且，則A． B． C． D．【正確答案】B【詳解】分析：首先由向量平行確定向量的坐標，再求向量的模長.詳解：因為，所以，即；所以；所以.點睛：1、本題考查向量共線、向量的坐標運算等知識，意在考查學(xué)生的分析、計算能力.解決本題的關(guān)鍵在于熟練掌握向量平行的坐標表示；熟記向量坐標的加減運算與向量模長的坐標運算.4．下列函數(shù)中最小正周期為的是（

）①；②；③；④A．①② B．②④ C．①③④ D．①②④【正確答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系、三角恒等變換化簡函數(shù)，從而可判斷各三角函數(shù)的最小正周期，即可得答案.【詳解】解：①，則的最小正周期為，故①符合；②，則的最小正周期為，故②不符合；③，則的最小正周期為，故③符合；④，則的最小正周期為，故④符合.故選：C.5．如圖所示，在正方形中，為的中點，為的中點，則（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】由平面向量的線性運算逐步轉(zhuǎn)化即可得解.【詳解】=.故選：D．6．在中，角的對邊分別為，若，則一定是(

)A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形【正確答案】D【分析】根據(jù)正弦定理化邊為角，結(jié)合邊的關(guān)系進行判斷.【詳解】因為，所以由正弦定理可得，因為，所以，即，所以.故選：D.7．已知角的終邊上有一點，則的值為(

)A．3 B． C．1 D．【正確答案】B【分析】首先求出的值，然后將所求的式子利用誘導(dǎo)公式進行化簡，然后可得答案.【詳解】依題意得，則，故選：B.8．已知實數(shù)“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由條件推結(jié)論可判斷充分性，由結(jié)論推條件可判斷必要性.【詳解】當(dāng)時，，且，充分性成立；當(dāng)時，未必有，例如時，此時，但不滿足.所以實數(shù)“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.9．石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風(fēng)格現(xiàn)代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑約為86米，總高約100米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為18分鐘，配有42個球形全透視360度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙，甲、乙兩名同學(xué)通過即時交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進入各自座艙的時間相差6分鐘，這兩名同學(xué)在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為(

)A．79米 B．157米 C．113米 D．189米【正確答案】B【分析】先求摩天輪的角速度，從而得到兩人相差的角度，再建立人距離地面的高度關(guān)于轉(zhuǎn)動角之間的函數(shù)關(guān)系，從而得到所在的高度之和的函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求出最值.【詳解】因為摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為18分鐘，所以摩天輪的角速度為，又因為甲乙兩人進入各自座艙的時間相差6分鐘，所以兩人相差的角度為，設(shè)第二個人進倉后轉(zhuǎn)動角時對應(yīng)的高度為，因為摩天輪直徑約為86米，總高約100米，所以摩天輪底部距離地面高度為14米，摩天輪半徑約為43米，所以，因為甲乙兩人相差的角度為，所以甲乙兩人所在的高度之和為：，所以，所以，化簡可得，又根據(jù)題意可知，所以，所以當(dāng)時，即時，取得最大值.故選：B.10．已知對于任意角，均有公式，設(shè)的內(nèi)角滿足，面積滿足，角的對邊分別為.給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④.其中正確結(jié)論的序號是(

)A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【正確答案】B【分析】首先可由得到，然后利用所給公式結(jié)合和差公式、倍角公式可化得，然后結(jié)合可求得外接圓半徑的范圍，然后可判斷②③④.【詳解】因為，所以，即，因為，所以，所以，故①正確；設(shè)的外接圓半徑為，因為，所以，所以，故②正確；，故③錯誤，，故④正確，故選：B二、填空題11．已知向量，向量，則向量與向量的夾角為__________．【正確答案】/【分析】由平面向量夾角公式代入即可得出答案.【詳解】，，，設(shè)向量與向量的夾角為，，所以向量與向量的夾角為.故答案為.12．在△中，，則________，△的面積____．【正確答案】4【分析】根據(jù)余弦定理可得值，先求得結(jié)合三角形面積公式即可求得結(jié)果．【詳解】，，由可得,.故，．13．若，，則___________【正確答案】【分析】先由已知條件求出，然后利用兩角差的正弦公式計算即可得到答案．【詳解】，，，故．三、雙空題14．已知函數(shù)，那么函數(shù)的最小正周期是_____：若函數(shù)在上具有單調(diào)性，且，則________.【正確答案】（1）利用周期公式求解即可.（2）對代入化簡可求出的正切值，寫出表達式，根據(jù)范圍確定的值.【詳解】（1）（2）由可得，利用誘導(dǎo)公式化簡可得，展開得，，又，求三角函數(shù)的解析式時，由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標，則令或)，即可求出，否則需要代入點的坐標，利用一些已知點的坐標代入解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解出和，若對的符號或?qū)Φ姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.四、填空題15．已知的外心是O，其外接圓半徑為1，設(shè)，則下列論述正確的是____________.①若，，則為直角三角形；②若，則為正三角形；③若，，則為頂角為的等腰三角形；④若，，則.【正確答案】①②③【分析】對于①②，利用平面向量的知識得出O的位置，結(jié)合三角形的性質(zhì)得出判斷即可；對于③④，還需要利用向量數(shù)量積的公式求出數(shù)量積或者夾角才能正確判斷.【詳解】若，，則，所以O(shè)是AB的中點，又O是的外心，從而為直角三角形，故①正確；若，則，即，所以O(shè)是的重心，又O是的外心，從而為等邊三角形，故②正確；若，，則，即.取AB的中點D，則,從而，所以O(shè)是中線CD上一點，又因為O是的外心，即O是中垂線的交點，所以，從而是等腰三角形.由得，兩邊平方得（*）.因為且，所以（*）式化為，所以，由圓周角是圓心角的一半可得，即為頂角為的等腰三角形，故③正確；若，，則，兩邊平方得，因為，所以；從而,故④錯誤.故①②③.五、解答題16．已知函數(shù).(1)某同學(xué)利用五點法畫函數(shù)在區(qū)間上的圖象.他列出表格，并填入了部分數(shù)據(jù)，請你幫他把表格填寫完整，并在坐標系中畫出圖象；(2)已知函數(shù).①若函數(shù)的最小正周期為，求的單調(diào)遞增區(qū)間；②若函數(shù)在上無零點，求的取值范圍(直接寫出結(jié)論).x00200【正確答案】(1)答案見詳解(2)①；

②【分析】（1）令為可完善表格，描點可得圖象；（2）①先求出的解析式，根據(jù)周期可得，然后可得單調(diào)區(qū)間；②先求的范圍，再根據(jù)沒有零點列出限制條件，可得范圍.【詳解】（1）表格填寫如下：x0020-20圖象如下：（2）①由題意，，，即.令,解得.所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.②，時，，因為函數(shù)在上無零點，所以，解得，所以的取值范圍為(0，1).17．在中，，，，P為所在平面內(nèi)的一個動點，且.(1)求；(2)求的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)量積的運算可求得，即可得出答案；（2）以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，設(shè)P點坐標為，則可得的表達式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果．【詳解】（1），所以.（2）以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示．B點坐標為，C點坐標為，設(shè)P點坐標為．所以，，所以，所以的取值范圍是．18．已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數(shù)的解析式的兩個作為已知.條件①：函數(shù)的最小正周期為；條件②：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；條件③：函數(shù)的最大值為.(1)求的解析式及最小值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2條對稱軸，求t的取值范圍.【正確答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，選擇①②：由周期得出，由得出，進而求出的解析式及最小值；選擇①③：由周期得出，由的最大值為得出，進而求出的解析式及最小值；選擇②③：由得，又因為函數(shù)的最大值為，所以，與矛盾，不符合題意.（2）因為，所以，由題意得，求解即可．【詳解】（1）由題可知，.選擇①②：因為，所以，又因為，所以.所以.當(dāng)，即時，，所以函數(shù)的最小值為－1.選擇①③：因為，所以，又因為函數(shù)的最大值為，所以.所以，當(dāng)，即時，.所以函數(shù)的最小值為.選擇②③：因為，所以.又因為函數(shù)的最大值為，所以，與矛盾，不符合題意.（2）因為，所以，又因為在區(qū)間上上有且僅有2條對稱軸，所以，所以，所以.19．在中，角的對邊分別為，.(1)求角的大??；(2)若，為外一點，如圖，，求四邊形面積的最大值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式得到，即可得解；（2）根據(jù)題意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四邊形，進而可得最值.【詳解】（1）因為由正弦定理得，，即，因為，所以，即，因為，所以.（2）在中，，，所以，又，則為等邊三角形，，又，所以，所以當(dāng)時，四邊形的面積取最大值，最大值為.20．給定正整數(shù)，設(shè)為n維向量的集合.對于集合M中的任意元素和，定義它們的內(nèi)積為.設(shè).且集合，對于A中任意元素，，若則稱A具有性質(zhì).(1)當(dāng)時，判斷集合是否具有性質(zhì)？說明理由；(2)當(dāng)時，判斷是否存在具有性質(zhì)的集合A，若存在求出，若不存在請證明；(3)若集合A具有性質(zhì)，證明.【正確答案】(1)不具有(2)存在，，或，(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)新定義驗證即可判斷；（2）分別討論，根據(jù)新定義驗證具有性質(zhì)的集合是否存在即可得解；（3）根據(jù)集合A具有性質(zhì)，分類討論，由特殊到一般思想，利用反證法證明結(jié)論.【詳解】（1）因為，同理，又，同理.所以集合A={(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}不具有性質(zhì).（2）當(dāng)時，集合A中的元素個數(shù)為4，由題意知顯然，，否則集合A中的元素個數(shù)少于4個.①當(dāng)時A={(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，,0)，(0，0，0，,1)}，具有性質(zhì)H(1，0).③當(dāng)時，A{(1，1，0，0)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，(0，1，1，0)，(0，1，0，1)，(0，0，1，1)}若，則(1，1，0，0)和(1，0，0，1)至多一個在A中；(0，1，1，0)和(0，1，0，1)至多一個在A中；(1，0，1，0)和(0，0，1，1)至多一個在A中，故集合A中的元素個數(shù)小于4.若，則(1，1，0，0)和(0，0，1，1)至多一個在A中；(1，0，1，0)和(0，1，0，1)至多一個在A中；(1，0，0，1)和(0，1，1，0)至多一個在A中，故集合A中的元素個數(shù)小于4.④當(dāng)時A={(1,1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，0，1，1)，(0，1，1，1)}，具有性質(zhì)H(3，2).綜上，，或，.（3）記，則，若，則A={(0，0，…，0)}，矛盾.若，則A={(1，0，0，…，0)}，矛盾.故.假設(shè)存在j使得，不妨設(shè)，即.當(dāng)時，有或成立.所以，，…，中分量為1的個數(shù)至多有.當(dāng)時，不妨設(shè)，.因為，所以的各分量有p個1，不妨設(shè).由時，可知，，中至多有1個1，即，，…，的前個分量中，至多含有個1.又，則，，…，的前個分量中，含有個1，矛盾.所以.因為，所以.所以.難點點睛：要證明，化抽象為具體，各個擊破的思路求解，先分析特殊情況驗證不合題意知，利用反證法證明，假設(shè)存在j使得，不妨設(shè)，即，分析可知假設(shè)錯誤，得出正確結(jié)論，推理較難.2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題1．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正確答案】D【詳解】試題分析：，對應(yīng)點的坐標為，在第四象限內(nèi).1.復(fù)數(shù)的計算；2.復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系.2．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標表示可得出關(guān)于實數(shù)的等式，即可得解.【詳解】因為，則，解得.故選：C.3．已知為異面直線，平面，平面、，則（

）A．與都相交 B．與至少一條相交C．與都不相交 D．至多與中的一條相交【正確答案】B【分析】由題意畫出滿足條件的圖象，結(jié)合異面直線的定義，得到正確選項.【詳解】若與都不相交，則，，則，這與是異面直線矛盾；故C不正確；如圖，與中的一條相交，另一條不相交，也可以與兩條都相交，但不交于同一點，如圖綜上：與中的至少一條相交.故選：B本題考查判斷直線與直線的位置關(guān)系，意在考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題型.4．將函數(shù)的圖像向左平移個單位后，與函數(shù)的圖像重合，則函數(shù)．A． B． C． D．【正確答案】D【詳解】分析：根據(jù)圖像平移即得解析式.詳解：由題意可知，故選．點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.5．已知，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C應(yīng)用二倍角公式變形后再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次齊次式，化為的式子，然后代入計算．【詳解】．故選：C．6．在△中，角，，所對的邊分別為，，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】由正弦定理分別檢驗問題的充分性和必要性，可得答案.【詳解】解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；必要性：在△中，由及正弦定理，可得，可得,,故，必要性成立；故可得：在△中，角，，所對的邊分別為，，，則“”是“”的充分必要條件，故選C.本題主要考查充分條件、必要條件的判斷，相對不難，注意正弦定理的靈活運用.7．已知外接圓的圓心為，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由中線的向量公式得是中點，它又是三角形的外心，從而得三角形為直角三角形．【詳解】如圖，取中點，連接，則，又，所以，即與重合，所以是中點，又是外接圓的圓心，所以，即與的夾角為．故選：D．8．若A、B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，則點P(cosB－sinA，sinB－cosA)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【正確答案】B【詳解】因為,所以點P在第二象限.9．如圖，已知某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)（其中，，），那么12時溫度的近似值（精確到1℃）是（

）A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃【正確答案】C【分析】利用圖象求出三角函數(shù)解析式，然后求函數(shù)值．【詳解】由題意，，，，，又，所以，所以，時，().故選：C．10．如圖，正方形的邊長為6，點、分別在邊、上，且，，如果對于常數(shù)，在正方形的四條邊上，有且只有6個不同的點使得成立，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】C由題畫出圖形,設(shè)的中點為,則，可解得，討論點P在每一條邊上時，的取值范圍，進而求解即可得選項.【詳解】如圖所示，設(shè)的中點為，則，兩式平方相減得，所以，即,所以，①當(dāng)點P在DC上時，當(dāng)P在DC的中點處時，，此時，當(dāng)P在DC的中點兩側(cè)(非端點A、D)時，，此時，②當(dāng)點P在AB上時，當(dāng)P在AB的中點處時，，此時，當(dāng)P在AB的中點兩側(cè)(非端點A、B)時，，此時，③當(dāng)點P在AD上時，當(dāng)P在點E處時，，此時，當(dāng)，此時，點P有2個滿足的點；當(dāng)，此時，點P有1個滿足的點；④當(dāng)點P在BC上時，當(dāng)P在點F處時，，此時，當(dāng)，此時，點P有2個滿足的點；當(dāng)，此時，點P有1個滿足的點；⑤當(dāng)P在點A處時，，此時，當(dāng)P在點B處時，，此時，當(dāng)P在點C處時，，此時，當(dāng)P在點D處時，，此時，綜上得：當(dāng)時，有1個滿足條件的點P；當(dāng)時，有2個滿足條件的點P；當(dāng)時，有4個滿足條件的點P；當(dāng)時，有6個滿足條件的點P；當(dāng)時，有4個滿足條件的點P；當(dāng)時，有2個滿足條件的點P；當(dāng)時，有3個滿足條件的點P；當(dāng)時，有4個滿足條件的點P；當(dāng)時，有2個滿足條件的點P；故選:C.本題考查數(shù)量積的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.二、填空題11．已知復(fù)數(shù)，則___．【正確答案】【分析】先計算復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義求結(jié)果.【詳解】由，故.故12．已知正方形的邊長為，則________．【正確答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及數(shù)量積的定義計算可得.【詳解】因為正方形的邊長為，所以，，，所以.故13．若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其表面積的值可能是________(只需寫出一個可能的值)【正確答案】或或【分析】由題意畫出一種滿足條件的圖形,求解表面積即可【詳解】由四面體各棱的長是1或2,且該四面體不是正四面體如圖,①四面體各棱中有一條為1，另五條為2，不妨取三條側(cè)棱長均為2,底面邊長BC=BD=2，CD=1.其表面積為.故其表面積為.②四面體各棱中有兩條為1，四條為2，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知邊長為1的必為對棱.如圖示，四個面全等，所以表面積為.③四面體各棱中有三條為1，三條為2，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知邊長為1的必在同一個面內(nèi).如圖示：所以表面積為.故答案為:或或14．已知函數(shù)，若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_______【正確答案】【分析】先求出函數(shù)解析式，再列不等式組求單增區(qū)間.【詳解】因為函數(shù)的最大值為1，最小值為-1，且，所以所以.要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，只需所以單調(diào)增區(qū)間為.故三、雙空題15．如圖，在棱長為的正方體中，為對角線上一點，為對角線上的兩個動點，且線段的長度為.(1)當(dāng)為對角線的中點且時，則三棱錐的體積是__________；（2）當(dāng)三棱錐的體積為時，則_________．【正確答案】【詳解】由正方體性質(zhì)可知：平面，所以，由題，當(dāng)時，設(shè)E到底面ABCD的距離為h，則，所以，因此；若三棱錐的體積為，則易知的面積為，設(shè)E到底面ABCD的距離為，則，所以，根據(jù)三角形相似有，所以.方法點睛：本題在求三棱錐的體積時，需要的面積，雖然MN是動點，但是MN的長度固定為1，且D到直線AC的距離可求，即D到MN的距離可求，所以的面積易求，另外E到地面的距離為棱錐的高，根據(jù)體積可以求，求DE長度時，主要是運用平面幾何的三角形相似，體現(xiàn)了立體幾何與平面幾何的聯(lián)系.四、解答題16．已知，，與的夾角為．(1)求；(2)當(dāng)為何值時，？【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積定義和運算律可求得，進而得到；（2）由向量垂直可得，根據(jù)向量數(shù)量積定義和運算律可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】（1），，.（2）由得：，解得.17．已知函數(shù)．(1)求最小正周期；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【正確答案】(1)(2)最大值為，最小值為-1【分析】（1）先利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)三角函數(shù)周期公式計算即可；（2）利用整體代換法結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計算即可.【詳解】（1）由題意其最小正周期（2）時，，則，即時，取得最大值，，即時，取得最小值-1.18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，．（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求△ABC的面積．【正確答案】（1）（2）（3）【詳解】試題分析：（Ⅰ）由已知得．應(yīng)用正弦定理及二倍角的正弦公式得，化簡即得.（Ⅱ）根據(jù)，得到．由即得.（Ⅲ）由，求得，，再據(jù)，，求得．進一步即得三角形面積．試題解析：（Ⅰ）因為，，所以．又由正弦定理，得，，，化簡得，．（Ⅱ）因為，所以．所以．（Ⅲ）因為，所以．所以．因為，，所以．所以△ABC的面積．1.和差倍半的三角函數(shù)；2.正弦定理的應(yīng)用；3.三角形面積.19．如圖，在正方體中，為中點，與平面交于點．(1)求證：面；(2)求證：為的中點．【正確答案】(1)證明見解析．(2)證明見解析．【分析】（1）證明，然后由線面平行的判定定理得證