上海市靜安區(qū)2023-2024學年高一下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

上海市靜安區(qū)2023-2024學年高一下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題一、填空題：（共10小題，每題3分，滿分30分）1.若且，則是第____________象限角.【正確答案】二【分析】根據(jù)各象限三角函數(shù)的符號特征判斷即可.【詳解】解：因為且，所以是第二象限角.故二2.若扇形弧長為，面積為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)是____.【正確答案】##【分析】由扇形面積公式可求出扇形的半徑，再由弧長公式即可求出該扇形圓心角的弧度數(shù).【詳解】設(shè)扇形弧長為，半徑為，面積為，扇形圓心角為，所以，，所以，.故答案為.3.函數(shù)的最小正周期是______.【正確答案】【分析】由余弦函數(shù)的最小正周期公式即可得出答案.【詳解】函數(shù)的最小正周期是:.故答案為.4.函數(shù)的奇偶性為______.【正確答案】奇函數(shù)【分析】化簡，由函數(shù)的奇偶性結(jié)合誘導公式即可得出答案.【詳解】，因為的定義域為，，所以函數(shù)是奇函數(shù)故奇函數(shù).5.若，，則______.【正確答案】【分析】由平方和關(guān)系，兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】因為，，所以.所以.故答案為.6已知且，則______.【正確答案】【分析】由二倍角的余弦公式即可得出答案.【詳解】因為且，所以，所以，則，解得：，則.故答案為.7.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.【正確答案】【分析】令，然后解不等式即可求解．【詳解】令，解得.本題主要考查類正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解問題，屬基礎(chǔ)題．8.函數(shù)的定義域是__________.【正確答案】，【分析】利用三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)定義域.【詳解】要使函數(shù)有意義，則需，即，當時，，所以當，解得，，所以函數(shù)的定義域是，.故，.9.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式是=_________.【正確答案】【分析】首先，根據(jù)所給函數(shù)的部分圖象，得到振幅，然后，根據(jù)周期得到的值，再將圖象上的一個點代入，從而確定其解析式．【詳解】解：根據(jù)圖象，得，又，，，將點代入，得，，，，故答案本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等知識，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是熟悉所給函數(shù)的部分圖象進行分析和求解．10.對于函數(shù)，給出下列四個命題：①該函數(shù)的值域為；②當且僅當時，該函數(shù)取得最大值1；③該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；④當且僅當時，.上述命題中，假命題的序號是______.【正確答案】①②【分析】作出函數(shù)的圖象，利用圖象逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】因為，對于③，當時，，當時，，所以，函數(shù)為周期函數(shù)，作出函數(shù)的圖象（圖中實線）如下圖所示：結(jié)合圖形可知，函數(shù)的最小正周期為，③對；對于①，由圖可知，函數(shù)的值域為，①錯；對于②，由圖可知，當且僅當或時，函數(shù)取得最大值，②錯；對于④，由圖可知，當且僅當時，，④對.故①②.二、選擇題：（共3小題，每題4分，滿分12分）11.若，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用三角函數(shù)的定義判斷的符號，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式，化簡即可得出答案.【詳解】因為，則，，所以.故選：A.12.中，，則一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【正確答案】D【分析】由已知，利用正弦定理及同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系對式子進行化簡，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)再進行化簡即可判斷．【詳解】∵，由正弦定理可得，，∵，∴，∴即，∵，∴或，∴或，即三角形為等腰或直角三角形，故選D．本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及正弦定理的應(yīng)用，利用正弦定理進行代數(shù)式變形是解題的關(guān)鍵和難點．13.定義在上的函數(shù)，既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若的最小正周期是，且當時，，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】將函數(shù)值利用周期性和奇偶性變形為，然后結(jié)合函數(shù)解析式求解出結(jié)果.【詳解】因為的最小正周期是，所以，又因為是偶函數(shù)，所以，故選：B.三、解答題：(共5小題，10+10+11+13+14，滿分58分)14.已知,求的值.【正確答案】【分析】根據(jù)誘導公式化簡可得，再根據(jù)誘導公式結(jié)合齊次式法求值，即得答案.【詳解】由得，故，故答案：15.已知為銳角，，.（1）求的值；（2）求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，然后算出的值；（2）結(jié)合，，可得，，即可求出的值.【小問1詳解】∵為銳角，，且，∴；∵為銳角，，且，∴，∴，【小問2詳解】因為為銳角，，所以，，所以，，所以，∴；16.在中，已知，，，求和.【正確答案】或，或【分析】與正弦定理可得，則或，即可求出，再由兩角和與差的余弦公式結(jié)合三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】因為，所以，所以，由正弦定理可得：，則，則，則或.若，，則，則，若，，則，則.故或，或17.如圖所示，近日我漁船編隊在島周圍海域作業(yè)，在島的南偏西20°方向有一個海面觀測站，某時刻觀測站發(fā)現(xiàn)有不明船只向我漁船編隊靠近，現(xiàn)測得與相距31海里的處有一艘海警船巡航，上級指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小時的速度向島直線航行以保護我漁船編隊，30分鐘后到達處，此時觀測站測得間的距離為21海里．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)試問海警船再向前航行多少分鐘方可到島？【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）海警船再向前航行22.5分鐘即可到達島.【分析】(Ⅰ)在中，根據(jù)余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式計算，中，由正弦定理可得長度，最后得到時間.【詳解】(Ⅰ)由已知可得，中，根據(jù)余弦定理求得，∴．(Ⅱ)由已知可得，∴．中，由正弦定理可得，∴分鐘．即海警船再向前航行22.5分鐘即可到達島．本題考查了正余弦定理的實際應(yīng)用，意在考查學生的建模能力，實際應(yīng)用能力和計算能力.18.已知.（1）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的最大值，并指出相應(yīng)的值；（3）當時，的值域；（4）作出函數(shù)的大致圖象.【正確答案】（1），（2）最大值為，，（3）（4）答案見解析【分析】（1）先利用二倍角和降冪公式，再利用輔助角公式化一角一函數(shù)，就可借助正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）直接根據(jù)三角函數(shù)的有界性，求其最值，并求對應(yīng)的值；（3）通過的范圍，求出的范圍，進而求出，可得的值域.（4）根據(jù)五點法作圖可得.【小問1詳解】，解不等式，得，的單調(diào)增區(qū)間為；【小問2詳解】當，即時，取最大值為2.【小問3詳解】，，則，，即當時，的值域為.【小問4詳解】根據(jù)五點法作一個周期函數(shù)圖象，列表0xy020-20描點連線可得圖象如圖：上海市靜安區(qū)2023-2024學年高一下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題一、填空題（每題3分）1.一個扇形的圓心角為弧度，扇形面積是1平方厘米，扇形半徑是1厘米，則圓心角是______弧度.【正確答案】2【分析】由扇形的面積公式求解即可.【詳解】已知扇形面積是1平方厘米，扇形半徑是1厘米，所以，即，即，故圓心角弧度.故答案為.2.函數(shù)的定義域是____________．【正確答案】【分析】由可得答案.【詳解】，則，.故3.設(shè)，是非零向量，則是成立的______條件.（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填空）【正確答案】充分不必要【分析】利用充分條件和必要條件的定義分析判斷【詳解】因為，所以共線且方向相同，因為表示方向上的單位向量，所以，而當時，可得共線且方向相同，但不一定是，所以是成立的充分不必要條件，故充分不必要.4.在中，，，，則的解的個數(shù)是______個.【正確答案】2【分析】利用正弦定理即可判斷三角形有兩解.【詳解】在中，，，，，由則，如圖：所以此時有兩解.故答案為:2.5.在中，，點是的中點，則___________.【正確答案】【分析】利用向量的加法和減法法則，將，分別用，表示出來，然后代入結(jié)論計算即可.【詳解】在中，點是中點，所以，，所以.故答案為.6.函數(shù)的部分圖象如圖，若，且，則__________.【正確答案】【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】，，則，又且，則，，，則，即，又，所以.故7.角是第四象限角，其終邊與單位圓的交點為，把角順時針旋轉(zhuǎn)得角，則角終邊與單位圓的交點的坐標為______.【正確答案】【分析】由三角函數(shù)的定義得到，再利用誘導公式求解.【詳解】由題意知：，則，，所以角終邊與單位圓交點的坐標為，故8.函數(shù)，其中，若，則______．【正確答案】【分析】利用誘導公式求得正確答案.【詳解】，故9.《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大的正方形，若圖中所示的角為，且小正方形與大正方形面積之比為，則__________．【正確答案】##0.75【分析】設(shè)大正方形和小正方形的邊長分別為和，根據(jù)條件，可得，平方得，再求出即可.【詳解】設(shè)大正方形和小正方形的邊長分別為和a，則，所以．所以，即，解得或（舍去），又，所以，所以.故答案為.10.已知函數(shù)，且，則___．【正確答案】##【分析】利用正弦函數(shù)的的對稱性可得，由此求得的值．【詳解】∵函數(shù)，，（），則由正弦函數(shù)的對稱性可得：，所以，故答案為.11.已知，下列四個結(jié)論正確的序號是______.①函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；②點是函數(shù)圖象的一個對稱中心；③函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到；④若，則的值域為.【正確答案】②④【分析】根據(jù)二倍角公式及輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】.對于①，因為，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故①錯誤；對于②，當時，，所以點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故②正確；對于③，函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，所以，故③錯誤；對于④，因為，所以，所以，即，所以的值域為，故④正確.故②④.12.在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，且，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式將已知化為，根據(jù)為銳角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用兩角和的正弦展開式和的范圍可得答案.【詳解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得，因為，所以，可得，因為，所以，所以，，由，可得，所以，，由正弦定理得.故答案為.二、選擇題（每題4分）13.已知，是兩個不平行的向量，且，，，則一定共線的三點是（）A.A、B、C B.B、C、D C.A、B、D D.A、C、D【正確答案】C【分析】一一驗證選項中的三點組成的兩個向量是否共線即可證明.【詳解】對于A，，，設(shè)，則，則無解，所以A、B、C三點不共線，故A不正確；對于B，，，設(shè)，則，則無解，所以B、C、D三點不共線，故B不正確；對于C，因為，，所以，則，所以，又點為公共點，所以三點共線.對于D，，，，，設(shè)，則，則無解，所以A、C、D三點不共線，故D不正確；故選：C.14.已知兩個單位向量和的夾角為120°，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及投影向量的定義即可求解.詳解】依題意，因為兩個單位向量和的夾角為120°，所以，所以，故向量在向量上的投影向量為．故選：D.15.在中，角，，的對邊分別為，，，已知，則的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形【正確答案】C【分析】由，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦定理化簡得到，得到或，即可求解.【詳解】由，可得，結(jié)合正弦定理可得，即，即，所以.所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.故選：C.16.已知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，然后根據(jù)條件給出的區(qū)間建立不等式關(guān)系進行求解即可.【詳解】由，得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，令，則函數(shù)其中一個的單調(diào)遞減區(qū)間為：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則滿足，得，所以的取值范圍是.故選：D.三、解答題（6分＋8分＋8分＋12分＋14分）17解決下列問題：（1）已知，求值.（2）已知，，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由誘導公式，，后利用可得答案；（2）將平方后，可得，結(jié)合，可判斷符號，平方后可得答案.【小問1詳解】由誘導公式，，又，則.【小問2詳解】因，則，即一正一負，又，則，即.又，則.18.已知，，且.（1）求與的夾角；（2）若，求實數(shù)的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值，即可得解；（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到方程，再求出k的值.【小問1詳解】因為，所以.設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故與的夾角為.【小問2詳解】因為，所以，即，即，所以，即，解得.19.某觀測站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏東方向的處有一艘漁船正向港口駛?cè)ィ旭偭?0千米后，到達處，在觀察站處測得間的距離為31千米，間的距離為21千米，問這艘漁船到達港口還需行駛多少千米？【正確答案】15千米【分析】結(jié)合余弦定理、正弦定理求得正確答案.【詳解】在中，，，，由余弦定理得，所以.在中，，，.由正弦定理得（千米）.所以這艘漁船到達港口還需行駛15千米.20.已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，．（1）求角C；（2）若點D在AB邊上，且滿足，當?shù)拿娣e最大時，求CD的長．【正確答案】（1）（2）【