2015年清華大學(xué)夏令營試題解析

2015年清華大學(xué)夏令營試題解析01一質(zhì)量為m、長為L的柔軟繩自由懸垂，下端恰與一臺(tái)秤的秤盤接觸，如圖1所示.某時(shí)刻放開柔軟繩上端，求臺(tái)秤的最大讀數(shù).解析設(shè)t時(shí)刻落到秤盤的繩長為x，此時(shí)繩速為.在時(shí)間內(nèi)，有質(zhì)量為的繩落到盤秤上，其中為繩的線密度.取向上為正方向，根據(jù)動(dòng)量定理，有（忽略微元段繩本身的重力沖量）.解得.故.所以臺(tái)秤的最大讀數(shù)為3mg，出現(xiàn)在軟繩將要全部掉到盤秤上時(shí).02單位面積帶電量為的無限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為R的圓板，如圖2所示.求圓孔軸線上任意一點(diǎn)Q（坐標(biāo)為x）的電場強(qiáng)度.解析無限大平板挖去一個(gè)圓板所產(chǎn)生的場強(qiáng)E可以等效為一個(gè)無限大平板產(chǎn)生的場強(qiáng)減去一個(gè)半徑為R的圓板產(chǎn)生的場強(qiáng).根據(jù)高斯定理，有.由積分可求得帶電圓板產(chǎn)生的場強(qiáng)為.所以合場強(qiáng)為.03如圖3所示，一對(duì)等量異號(hào)點(diǎn)電荷和的間距為，求兩電荷延長線上一點(diǎn)和中垂面上一點(diǎn)的場強(qiáng)，和到兩電荷連線中點(diǎn)O的距離都是r.解析點(diǎn)的場強(qiáng)為點(diǎn)的場強(qiáng)為對(duì)于電偶極子，之間的距離l遠(yuǎn)比場點(diǎn)到它們的距離r小得多.當(dāng)時(shí)，有，.所以在電偶極子延長線上，的大小為.在中垂面上，的大小為.04推導(dǎo)點(diǎn)電荷的電勢表達(dá)式.解析在正點(diǎn)電荷Q的電場中，把正試探電荷q沿電場線從a點(diǎn)移到b點(diǎn)，我們來計(jì)算在此過程中庫侖力所做的功.我們把a(bǔ)b分成很多足夠小的小段，其中任一小段的兩端到場源電荷的距離分別為和，則試探電荷在該段所受的平均力為.于是庫侖力在這一小段里做的功為.對(duì)各小段的功求和，就得到庫侖力對(duì)試探電荷所做的總功，即.于是a、b兩點(diǎn)的電勢差為.規(guī)定離場源電荷無窮遠(yuǎn)處（即）為電勢零點(diǎn)，則在離場源電荷處的電勢為.05如圖4所示，某質(zhì)子加速器使每個(gè)質(zhì)子獲得動(dòng)能，很細(xì)的質(zhì)子束射向一個(gè)遠(yuǎn)離加速器、半徑為r的金屬球，從球心到質(zhì)子束延長線的垂直距離為.假定質(zhì)子與金屬球相碰后將其電荷q全部交給金屬球，經(jīng)足夠長時(shí)間后，求金屬球的最高電勢值（以無窮遠(yuǎn)處的電勢為零）.解析設(shè)質(zhì)子初速度為，當(dāng)金屬球充電到電勢為U時(shí)，質(zhì)子與金屬球相切而過，此時(shí)速度設(shè)為v.由于質(zhì)子在向金屬球運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受庫侖力且力的方向沿球徑向，故質(zhì)子對(duì)球心O的角動(dòng)量守恒，有.解得.根據(jù)動(dòng)能定理，有.解得.06如圖5所示，質(zhì)量為M的足夠長金屬導(dǎo)軌abcd放在光滑的絕緣水平面上.一電阻不計(jì)、質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒PQ放置在導(dǎo)軌上，始終與導(dǎo)軌接觸良好，PQbc構(gòu)成矩形.棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，棒左側(cè)有兩個(gè)固定于水平面的立柱.導(dǎo)軌bc段長為L，開始時(shí)PQ左側(cè)導(dǎo)軌的總電阻為R，右側(cè)導(dǎo)軌單位長度的電阻為。.以ef為界，其左側(cè)勻強(qiáng)磁場方向豎直向上，右側(cè)勻強(qiáng)磁場水平向左，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B.在t=0時(shí)，一水平向左的拉力F垂直作用于導(dǎo)軌的bc邊上，使導(dǎo)軌由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a.（1）求回路中感應(yīng)電動(dòng)勢及感應(yīng)電流隨時(shí)間變化的表達(dá)式.（2）經(jīng)過多少時(shí)間拉力F達(dá)到最大值？拉力F的最大值為多少？（3）某一過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱為Q，導(dǎo)軌克服摩擦力做功為W，求導(dǎo)軌動(dòng)能的增加量.解析（1）感應(yīng)電動(dòng)勢為.感應(yīng)電流為.（2）導(dǎo)軌所受安培力為.導(dǎo)軌所受摩擦力為.根據(jù)牛頓第二定律，有.解得.由均值不等式，得.上式取等號(hào)的條件為，即.所以拉力F的最大值為.（3）設(shè)此過程中導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)距離為s，根據(jù)動(dòng)能定理，有.摩擦力做功為.解得.導(dǎo)軌動(dòng)能的增加量為.07如果質(zhì)量相同的小球a、b在沿一條直線運(yùn)動(dòng)的過程中發(fā)生彈性正碰撞，則a的碰后速度等于b的碰前速度，b的碰后速度等于a的碰前速度.如圖6所示，將光滑水平絕緣的大桌面取為坐標(biāo)面，空間有豎直向下（圖中朝里）的勻強(qiáng)磁場B.（1）平面上的小球a，質(zhì)量為m、電量為，初速度方向垂直于y軸，大小為，而后a將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R和運(yùn)動(dòng)周期T.（2）圖6中小球、質(zhì)量同為m，電量也同為q，開始時(shí)分別位于y軸上的、（>）位置，初速度方向如圖所示，大小也同為.設(shè)、間可能發(fā)生的碰撞都是彈性碰撞而且不會(huì)相互轉(zhuǎn)移電荷（下同）.已知能到達(dá)處，試求-的所有可能取值.（3）圖6中小球b的質(zhì)量也為m，電量也為q，t=0時(shí)位于x軸上距O稍遠(yuǎn)的位置，初速度大小也為.現(xiàn)在給你一個(gè)質(zhì)量為m、電量為-q、初速度大小為的小球.t=0時(shí)的初始位置和初始速度方向由你選定，但要求在時(shí)刻（），b球可達(dá)到x軸上與相距盡可能遠(yuǎn)的（>）位置，最后給出你所得的-的值.設(shè)b與兩球發(fā)生彈性正碰，而且電量也不會(huì)轉(zhuǎn)移.（注：解題時(shí)可以略去球之間的電作用力）.解析（1）洛倫茲力提供帶電小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則解得帶電小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為.（2）第一種情況如圖7所示，兩球未發(fā)生碰撞，轉(zhuǎn)過半圈后到達(dá)處，轉(zhuǎn)過半圈后到達(dá)處，則.第二種情況如圖8所示，兩球各自轉(zhuǎn)過半圈后相碰，發(fā)生彈性碰撞并交換速度，以后轉(zhuǎn)過半圈后到