《高等數(shù)學(xué) 上冊》 課件 王娜 第2章 導(dǎo)數(shù)與微分

微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運動的工具(從微觀上研究函數(shù))第二章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家Ferma

在研究極值問題中提出.英國數(shù)學(xué)家Newton牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家

,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.萊布尼茲(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計了作乘法的計算機,系統(tǒng)地闡述二進制計數(shù)法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、問題的提出二、導(dǎo)數(shù)的定義三、由定義求導(dǎo)數(shù)四、導(dǎo)數(shù)的物理意義與幾何意義五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系六、小結(jié)、思考題一、問題的提出1、瞬時速度問題

設(shè)運動物體的運動方程為

s=s(t),則在t

與t0之間平均速度t0時刻的（瞬時）速度自由落體運動2、切線問題

切線——割線的極限位置上的直線4/22兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題定義1.

設(shè)函數(shù)在點存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點處可導(dǎo),在點的導(dǎo)數(shù).二、導(dǎo)數(shù)的定義單側(cè)導(dǎo)數(shù)：可導(dǎo)性是局部性質(zhì)。雙側(cè)、單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系6/22注意“導(dǎo)數(shù)為

”時不可導(dǎo)，即導(dǎo)數(shù)不存在。區(qū)間上可導(dǎo)性的定義

若f(x)

在區(qū)間I的內(nèi)部處處可導(dǎo)，并且在I所含的左（右）端點處右(左)導(dǎo)數(shù)存在，則稱f(x)

在區(qū)間I上可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)7/22三、由定義求導(dǎo)數(shù)例1解例2解例3解一般地10/22*例4解11/22*例5解12/22例6解13/22例7解14/22四、導(dǎo)數(shù)的物理意義與幾何意義2、幾何意義1、物理意義——因變量關(guān)于自變量的變化率。15/22例8解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為16/22五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理可導(dǎo)

連續(xù).證證畢17/22注意:該定理的逆定理不成立.即連續(xù)

可導(dǎo)連續(xù)但不可導(dǎo)函數(shù)舉例★

y

y=|x|

O

x0

yy=f(x)

O

x18/22例9011/π－1/π解19/22*例10解20/22內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;思考與練習(xí)1.

函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)2.

設(shè)存在,則3.

已知則4.

若時,恒有問是否在可導(dǎo)?解:由題設(shè)由夾逼準則故在可導(dǎo),且5.設(shè),問a

取何值時,在都存在,并求出解:顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).故時此時在都存在,

作業(yè)

P662、4、5、

6、7、8

第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則五、小結(jié)、作業(yè)1/21一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理注意

一般地說,乘積的導(dǎo)數(shù)=導(dǎo)數(shù)的乘積;

商的導(dǎo)數(shù)=導(dǎo)數(shù)的商.2/21證(3)：證畢3/21推論例14/21例2解例3解5/21例4解6/21二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理即

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).*證7/21

y

y=f(x)

x=f--1

(y)

Iy

y0

(x0

,y0)

y

x

O

x0

x

Ix(f--1)

′(y0)=tan

y=cot

x

=1/

tan

x=1/f′(x0)8/21即解同理可得我們知道了所有基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例59/21*例6解特別地10/21三、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式11/21四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理(復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈式法則)

即因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).12/21*證13/21推廣例7解14/21例8解注熟練地掌握了復(fù)合函數(shù)的分解及鏈式法則后，可以不寫出中間變量（符號），采用逐層求導(dǎo)的方式計算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（這樣可省去還原這一步）。15/21例9解現(xiàn)在我們可以（利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及常數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈式法則）求出所有初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。16/21例10解17/21例10另解18/21例11解例12解19/21五、小結(jié)2、反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）.3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（鏈式法則）（注意函數(shù)的復(fù)合過程）.4、基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

注意:分段函數(shù)求導(dǎo)時,分界點處的導(dǎo)數(shù)要用左右導(dǎo)數(shù)來求.1、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：5、可以求出所有初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

20/21作業(yè)習(xí)題2-23-(2)48-(8)12-(6)(8)思考題

求曲線上與軸平行的切線方程.21/21第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義二、高階導(dǎo)數(shù)的求法三、小結(jié)、作業(yè)1/12一、高階導(dǎo)數(shù)的定義定義稱y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)

f

(x)在x0

的導(dǎo)數(shù)(f

)

(x0)為

y=f(x)在x0

的二階導(dǎo)數(shù)，可記做稱y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

(f

(x))

為y=f(x)的

二階導(dǎo)函數(shù):D={x|f

(x)存在}，x

f

(x)，可記做2/12如此定義

y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)和n階導(dǎo)函數(shù)，

二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).注若f(x)在x0點n

階可導(dǎo)，則必在某個U(x0)上n-1階可導(dǎo)。3/12二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例1解求n階導(dǎo)數(shù)就是連續(xù)地求n次一階導(dǎo)數(shù)。4/12例2解5/12例3解若

不是自然數(shù)

求n階導(dǎo)數(shù)時，求出若干階后不要急于合并，分析結(jié)果的規(guī)律性，寫出n階導(dǎo)數(shù)(數(shù)學(xué)歸納法證明).注:6/12例4解同理可得7/12*例5解8/12高階導(dǎo)數(shù)的運算法則:——萊布尼茲公式9/12例6解10/12*例7解11/12三、小結(jié)1、高階導(dǎo)數(shù)的定義;2、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則

——特別是萊布尼茲公式;3、n階導(dǎo)數(shù)的求法。12/12作業(yè)習(xí)題2-31-(12)3-(2)8-(4)9-(3)第四節(jié)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)*相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、對數(shù)求導(dǎo)法三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、*相關(guān)變化率五、小結(jié)、作業(yè)1/18一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的顯化問題：隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則:

視y=y(x),應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法直接對方程F(x,y)=0兩邊求導(dǎo)，然后解出y

即得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2/18例1解解得3/18例2解于是，所求切線方程為注本例中的方程形為F(x,y)=G(x,y),其確定的y=y(x)的求導(dǎo)方法仍然是...。4/18例3解5/18二、對數(shù)求導(dǎo)法——利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。對數(shù)求導(dǎo)法：

先對

y=f(x)（>0）兩邊取對數(shù)(或加絕對值后兩邊取對數(shù)),

然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:6/18例4解等式兩邊取對數(shù),得7/18例5解等式兩邊取絕對值再取對數(shù)，得8/18三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)t問題:消參數(shù)困難或無法消去參數(shù)時如何求導(dǎo)?9/1810/18例6解得所求切線方程為11/18例7解12/1813/18例8解14/18*四、相關(guān)變化率

當(dāng)已知兩個變量的關(guān)系后，可從其中一個變化率求出另一個變化率。15/18例9解仰角增加率16/18h米五、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則:視

y=y(x)，

利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo);對數(shù)求導(dǎo)法:對函數(shù)兩邊取對數(shù),然后按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo)法:y對x的導(dǎo)數(shù)=y對參數(shù)的導(dǎo)數(shù)/x對參數(shù)的導(dǎo)數(shù);*相關(guān)變化率:兩個相互關(guān)聯(lián)的變化率;

解法:

通過建立兩個變量之間的關(guān)系,就將它們的變化率聯(lián)系起來，從一個變化率得到另一個變化率.17/18作業(yè)習(xí)題2-43-(4)4-(1)(4)7-(1)思考題18/18第五節(jié)函數(shù)的微分一、問題的提出二、微分的定義三、可微的條件四、微分的幾何意義五、微分的求法六、微分形式的不變性七、*微分在近似計算中的應(yīng)用八、小結(jié)、作業(yè)1/21一、問題的提出——近似計算問題實例：正方形金屬薄片受熱后面積的改變量。2/21再如,既容易計算又是較好的近似值問題：是否所有函數(shù)的改變量都有這樣的線性函數(shù)(改變量的線性主要部分)？如果有，它是什么？如何求？3/21二、微分的定義定義4/21三、可微的條件定理證(1)必要性(2)充分性證畢5/21例1解6/21四、微分的幾何意義MNT）C:y=f(x)在M(x0,f(x0))的切線T：y