2015年第十三屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽上海初賽五年級(jí)詳解

第十三屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”上海初賽小學(xué)五年級(jí) 第十三屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”上海初賽小學(xué)五年級(jí) 王洪福老師第第PAGE19頁(yè)第十三屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”青少年展示交流活動(dòng)趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽上海初賽小學(xué)五年級(jí)試卷201511110:30——12:00150一、填空題（840）1

60.450.280.403037 。解析：60.450.280.4030370.4031500.280.403370.403420.403370.40342372.015【第2題】7個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，每個(gè)數(shù)都是合數(shù)，這7個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的和最小是 。解析：100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。發(fā)現(xiàn)89到97之間剛好有7個(gè)連續(xù)的合數(shù)：90、91、92、93、94、95、96。所以790919293949596937651?！镜?題】有一筐蘋果，第一次取出全部的一半多2個(gè)，第二次取出余下的一半少3個(gè)，筐中還剩24個(gè)，筐中原有蘋果 個(gè)。解析：（方法一）第一次取后還剩下243242（個(gè)），原來(lái)有422288（個(gè)）（方法二）xx21324x8822 22 【第4題】牧場(chǎng)里，牧草每天均勻生長(zhǎng)，牧場(chǎng)可供10只羊吃20天，或可供14只羊吃12天，那么牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)的草夠2只羊吃 天。解析：11020141220124（份）2422（天）【第5題】如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為24cm的等邊三角形被分成了面積相等的五塊，AB cm。解析：3ACCDSACFSCDF31AC4AD又因?yàn)锳B:BCS :S

1:1AB1AC3AD3249cmABE

2 8 8二、填空題（1050分）第6題甲兩相距0米對(duì)站兩石頭剪勝向走3米負(fù)向退2米，平局兩人各向前走1米，玩了15局后，甲距出發(fā)點(diǎn)17米，乙距出發(fā)點(diǎn)2米，甲勝了 次?？键c(diǎn)：邏輯推理、雞兔同籠解析：（方法一）有勝有負(fù)的局，兩人距離縮短1米；平局兩人距離縮短2米。15局后兩人之間的距離縮短會(huì)在1530如果兩人最后都是后退，兩人之間的距離不會(huì)縮短只會(huì)變大，與上面分析矛盾。如果兩人最后是“一人前進(jìn)，另一人后退”。兩人距離會(huì)縮短17215米。但如果兩人距離縮短1515假設(shè)甲15局都是勝者，他會(huì)前進(jìn)45米，每把一次“勝者”換成一次“負(fù)者”，他會(huì)少前進(jìn)5米．45減去多517。這種情況不成立。（4）如果兩人最后是都向前進(jìn)，兩人的距離縮短17219米。假設(shè)15局都是“勝負(fù)局”，兩人之間距離縮短15米，每把一局“勝負(fù)局”換成平局，兩人之間距離多縮短1米。由“雞兔同籠”可求得，“勝負(fù)局”11444米。假設(shè)甲其余11局都是勝者，他一共前進(jìn)33437米。每把一局勝局改為負(fù)局，54375417米。744（方法二）xyz局（xyz為自然數(shù)）。由題意得xyz15

xyz15

xyz15

xyz153x

2yz17

或3x

2yz17

或2y3xz17

或2y3xz173y2xz2

2x3yz2

3y2xz2

2x3yz2x47 x10355 55x7 55 55

x23解之得y4

或y28

或y122

或y26z4

z34 z0

z30 744【第7題】80名學(xué)生面向老師站成一行，按老師口令從左至右順序報(bào)數(shù)：1、2、3……，報(bào)完后，老師讓所24864名?？键c(diǎn)：容斥原理、約數(shù)倍數(shù)解析：最開始學(xué)生面向老師，要求背向老師的學(xué)生，即求轉(zhuǎn)過(guò)奇數(shù)次的學(xué)生人數(shù)。804080208010805802801人。2

4

16

32

（64,32,16,8,4,226，5，4，3，2，161521145233105522010101次的學(xué)生有402020人。所以轉(zhuǎn)過(guò)奇數(shù)次的學(xué)生有152026人?！镜?題】右圖是一個(gè)棋盤，開始時(shí)，警察在位置A，小偷在位置B，雙方交替走棋，警察先走，每次必須沿著線走一步，那么，警察至少需要走步才能保證抓住小偷。考點(diǎn)：邏輯推理、最短路徑解析：ACBE；CDEF；DAFCFE；小偷無(wú)論往哪個(gè)方向走,警察走第四步都可以抓住小偷。4【第9題】九個(gè)美女，有些是總是待人誠(chéng)懇說(shuō)真話的天使，其余的是總是花言巧語(yǔ)說(shuō)假話的魔鬼，第一個(gè)美女我中有1個(gè)第個(gè)女“我中有2個(gè)第個(gè)女說(shuō)我中有3個(gè)魔；四美女“我中有4個(gè)使；五美女說(shuō)“我中有5個(gè)鬼；六美女“我們恰有6個(gè)使第個(gè)女我中有7個(gè)第個(gè)女我中有8個(gè)第九美說(shuō)們恰有9魔這美中有 天。解析：“我們中恰有1357中恰有9個(gè)魔鬼”這5句話中最多有1246851212假設(shè)恰有1個(gè)天使，則意味著有8個(gè)魔鬼。此時(shí)我們可以判斷出9個(gè)美女說(shuō)的話都為假話，矛盾。假設(shè)恰有2個(gè)天使，則意味著有7個(gè)魔鬼。此時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)第二個(gè)美女和第七個(gè)美女說(shuō)的是真話，其他人說(shuō)的是假話，成立。2【第10題】如圖，33的表哥中有16個(gè)小黑點(diǎn)，一個(gè)微型機(jī)器人從A點(diǎn)出發(fā)，沿格線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)其他每個(gè)黑點(diǎn)恰好一次，再回到A點(diǎn)，共有 種不同的走法。解析：從A點(diǎn)出發(fā)有2個(gè)方向，向下或者向右，而圖又是一個(gè)正方形，根據(jù)對(duì)稱性可知，向下的走法和向右的走法一樣多。因此我們可以只看一個(gè)方向即可，下面就找一下第一步向下的走法。6612三、填空題（1260分）【第11題】8個(gè)互不相同的非零自然數(shù)從小到大排成一排，前3個(gè)數(shù)的平均數(shù)為9，8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為19，后3個(gè)數(shù)的平均數(shù)為29，那么第二大的數(shù)與第二小的數(shù)的差最大是 。解析：設(shè)這8a，b，c，d，e，f，g，h，且有0abcdefghabc27fgh87de198278738g和bgb越小越好。要使得b越小，則需要c越大。而cd，d1因?yàn)閐e381820，所以c最大為1。ab27c1046a4，所以b6。要使得gf越小。而ef，e2因?yàn)閐e381820，所以f最小為2。gh87f663234h34g32。gb32626?！镜?21~17這17個(gè)數(shù)中標(biāo)記數(shù)，規(guī)定：不能標(biāo)記已標(biāo)記的數(shù)；不能標(biāo)記已標(biāo)記數(shù)的12倍；不能標(biāo)記已標(biāo)記數(shù)的2該標(biāo)記 考點(diǎn)：策略問(wèn)題解析：

；誰(shuí)沒(méi)有數(shù)可標(biāo)記誰(shuí)就輸。現(xiàn)在甲先標(biāo)記了8，乙要保證自己必勝，乙接著應(yīng)1根據(jù)“不能標(biāo)記已標(biāo)記數(shù)的2倍；不能標(biāo)記已標(biāo)記數(shù)的2

”這個(gè)條件我們可以把1~17分為以下四類：五個(gè)元素（16，8，4，2，1）三個(gè)元素（12，6，3）兩個(gè)元素147105）一個(gè)元素17（113（19）由上表可知，甲標(biāo)記了8以后，16和4就不能再標(biāo)記了。這時(shí)，乙的可選擇對(duì)象就變?yōu)榱耍喝齻€(gè)元素（12，6，3）兩個(gè)元素147105（21）一個(gè)元素17（113（19）接下來(lái)，乙要想獲勝，應(yīng)該盡量選擇對(duì)其他數(shù)限制比較多的數(shù)，所以，若乙在三個(gè)元素（12，6，3）中選擇6兩個(gè)元素147105（21）一個(gè)元素17（113（19）此時(shí)剩下的8組數(shù)中，不管甲選擇哪個(gè)，選擇到最后一組的都是乙。6。【第13題】如圖，三條線段將正六邊形分成了四塊，已知其中三塊的面積分別是2、3、4平方厘米，那么第四塊（圖中陰影部分）的面積是 平方厘米。解析：先對(duì)正六邊形做一個(gè)分析。如左圖所示，一個(gè)正六邊形的面積可以表示為6S，很容易發(fā)現(xiàn)則三角形DEF的S，三角形CDF2S。DF、CFABCDEF的面積為6SDEFSCDF2SSFDMSFCM

:CM2:32 2 4SFDM

5SFCD52S5SS四FEDMSFEDSFDMS四FEDNSNDM4 10即S S42，解得S5 3所以S 6S20cm2S陰影2023411cm2【第14題】從1~9中選出5個(gè)數(shù)字，組成1個(gè)五位數(shù)，要求這個(gè)五位數(shù)能被選中的5個(gè)數(shù)字的任何一個(gè)數(shù)字整除，卻不能夠被未選中的4個(gè)數(shù)字的任何一個(gè)數(shù)字整除，那么，這個(gè)五位數(shù)的最小值是 。解析：11。如果這個(gè)五位數(shù)包含5，則5只能放在末位。5在末位，這個(gè)五位數(shù)是個(gè)奇數(shù)，則一定不能被2、4、6、8整除，所以這個(gè)五位數(shù)的五個(gè)數(shù)字只能是1、3、5、7、9。而1、3、5、7、9組成的五位數(shù)的數(shù)字和為25，35。如果2、3同時(shí)出現(xiàn)在這個(gè)五位數(shù)中，則這個(gè)五位數(shù)能被2、3整除，所以這個(gè)五位數(shù)也能被6以也要包含6，所以目前有了四個(gè)數(shù)字：1，2，3，6；此時(shí)四個(gè)數(shù)的數(shù)字之和是12，要保證這個(gè)數(shù)能被3整除，最后一個(gè)數(shù)字也是3的倍數(shù)，只能選9。而1、2、3、6、9的數(shù)字之和為21，不能被9整除，不成立，2、3如果這個(gè)五位數(shù)沒(méi)有2，那么這個(gè)五位數(shù)不能被2整除，那么這個(gè)數(shù)也不能有4、6、8。那五個(gè)數(shù)字只1、3、5、7、9223。既然不含3，那么這個(gè)五位數(shù)不能被3整除，那也就不含6、9。所以這個(gè)五位數(shù)不含3、6、9、5，那1、2、4、7、8題目求最小值，因此我們可以用試除法。這個(gè)五位數(shù)能被2整除，所以是個(gè)偶數(shù)。1、2、4、7、8組成的五12478，12748，12784，12874，14278，14728124784127488127847128744142784除，經(jīng)檢驗(yàn)，14728所以這個(gè)五位數(shù)的最小值是14728。15ABBAC相遇，相遇后軍軍又走了100米時(shí)掉頭去追阿平，追上阿平時(shí)距C地360米；軍軍追上阿平時(shí)立即掉頭去B，結(jié)果當(dāng)軍軍到B時(shí)A。A、B