專題10乘法公式（解析版）

專題10乘法公式考向考向一：運用平方差公式進行計算考向二：平方差公式與幾何圖形考向三：運用完全平方公式進行計算考向四：通過完全平方公式變形考向五：求完全平方公式中字母的系數(shù)考向六：完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用一、運用平方差公式進行計算1．（2022·天津紅橋·八年級期末）下列運算正確的等式是（

）A．(5-m)(5+m)=m-25 B．(1-3m)(1+3m)=1-3mC．(-4-3n)(-4+3n)=-9n+16 D．(2ab-n)(2ab+n)=4ab-n【詳解】解：A．（5-m）（5+m）=25-m2，所以此選項是錯誤的；B．（1-3m）（1+3m）=1-9m2，所以此選項是錯誤的；C．（-4-3n）（-4+3n）=-9n2+16，此選項是正確；D．（2ab-n）（2ab+n）=4a2b2-n2，所以此選項是錯誤的；故選C．2．（2022·天津濱海新區(qū)·八年級期末）在下列多項式的乘法中，不可以用平方差公式計算的是（

）A． B．C． D．【詳解】A、B、C選項都是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，可以使用平方差公式，D選項變形后為，不能使用平方差公式；故選：D．3．（2022·山東·泰安市泰山區(qū)樹人外國語八年級期末）若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，則a2﹣b2的值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6【詳解】∵（a-b-2）2+|a+b+3|=0，∴a-b=2，a+b=-3，∴a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-3）=-6；故選D．4．（2022·重慶江津·八年級期末）已知，則的值是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【詳解】解：∵，∴====，故答選：C二、運用平方差公式進行計算1．（2022·廣西防城港·八年級期末）從邊長為a的大正方形紙板挖去一個邊長為b的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的等腰梯形（如圖甲），然后拼成一個平行四邊形（如圖乙），那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證成立的公式為（

）A． B．C． D．【詳解】解：圖甲中陰影部分的面積為：a2-b2，圖乙中陰影部分的面積為：（a+b）（a-b）∵甲乙兩圖中陰影部分的面積相等∴a2-b2=（a+b）（a-b）∴可以驗證成立的公式為（a+b）（a-b）=a2-b2故選：D．2．（2022·湖南衡陽·八年級期末）如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個長方形（不重疊無縫隙），則長方形的面積為（）A．B． C．D．【詳解】解：長方形的面積為：=6a-9(cm2).故選C.3．（2022·遼寧大連·八年級期末）從前，一位農(nóng)場主把一塊邊長為a米（a＞4）的正方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊增加4米，相鄰的另一邊減少4米，變成長方形土地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會（）A．沒有變化 B．變大了 C．變小了 D．無法確定【詳解】原來的土地面積為平方米，第二年的面積為，∵，∴面積變小了，故選：C．三、運用完全平方公式進行計算1．（2022·河北承德·八年級期末）將9.52變形正確的是（）A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52【詳解】9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，觀察可知只有C選項符合，故選C．2．（2022·福建南平·八年級期末）下列各式是完全平方式的是（）A． B． C． D．【詳解】A、，故本選項正確；B、應(yīng)為，故本選項錯誤；C、應(yīng)為，故本選項錯誤；D、應(yīng)為，故本選項錯誤．故選：A．3．（2022·湖南·長沙市南雅八年級期末）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【詳解】解：A、原式＝a2+2ab+b2，本選項錯誤；B、原式＝=-a2+2ab-b2，本選項錯誤；C、原式＝a2?2ab＋b2，本選項錯誤；D、原式＝a2＋2ab＋b2，本選項正確，故選：D．4．（2022·福建·廈門市第十一八年級期末）運用完全平方公式計算，則公式中的2ab是（

）A． B．﹣x C．x D．2x【詳解】解：對比可得-2ab=-x，則2ab=x.故選C.四、通過完全平方公式變形1．（2022·寧夏·吳忠市第二八年級期末）已知x+y＝﹣5，xy＝3，則x2+y2＝（）A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19【詳解】解：∵x+y＝﹣5，xy＝3，∴=25-2×3=19.故選C2．（2022·云南曲靖·八年級期末）已知，則（

）A．12 B．14 C．16 D．18【詳解】解：將兩邊平方得，∴a2+＝16﹣2＝14，故選：B．3．（2022·湖南師大附中博才實驗八年級期末）若，，則ab的值為（

）A．6 B． C．12 D．【詳解】∵，∴．將代入上式，得：，解得：．故選A．4．（2022·河南洛陽·八年級期末）若，，則的值是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【詳解】(a-b)2=(a+b)2-4ab∴故答案選：C5．（2022·重慶萬州·八年級期末）已知，那么的值是（

）．A． B．4042 C．4046 D．2021【詳解】解：設(shè)，則，，，，故選：C．五、求完全平方公式中字母的系數(shù)1．（2022·陜西·西安高新區(qū)第四完全八年級期末）若是一個完全平方式，則常數(shù)k的值為A．6 B． C． D．無法確定【詳解】解：是一個完全平方式，，解得：，故選C．2．（2022·河北承德·八年級期末）要使x2+kx+是完全平方式，那么k的值是（

）A．k=±1 B．k=1 C．k=-1 D．k=【詳解】解：∵x2+kx+是完全平方式，∴，∴，故選：A．3．（2022·安徽合肥·八年級期末）若是完全平方式，則的值為（

）A．±8 B．或 C． D．【詳解】解：∵是完全平方式，∴2（m-1）=±8解得m=5或m=-3．故選：B.4．（2022·福建師范大學(xué)附屬初中部八年級期末）已知可以寫成一個完全平方式，則可為(

)A．4 B．8 C．16 D．【詳解】∵可以寫成一個完全平方式，∴x2-8x+a=(x-4)2，又（x-4）2=x2-8x+16，∴a=16，故選C．六、完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用1．（2022·河南信陽·八年級期末）圖（1）是一個長為2m，寬為2n（m＞n）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積是（

）A．2mn B．（m+n）2 C．（m-n）2 D．m2-n2【詳解】解：由題意可得，正方形的邊長為（m+n），故正方形的面積為（m+n）2．又∵原矩形的面積為4mn，∴中間空的部分的面積=（m+n）2-4mn=（m-n）2．故選C．2．（2022·新疆·庫車市第七八年級期末）如圖，從邊長為（a+1）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則該矩形的面積是（）A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm2【詳解】解：矩形的面積是（a+1）2﹣（a﹣1）2=a2+2a+1﹣（a2﹣2a+1）=4a（cm2）．故選C．3．（2022·廣東陽江·八年級期末）將一個長為，寬為的矩形紙片，用剪刀沿圖1中的虛線剪開，分成四塊形狀和大小都一樣的小矩形紙片，然后按圖2的方式拼成一個正方形，則中間小正方形的面積為（

）A． B． C． D．【詳解】解：中間空的部分的面積=大正方形的面積-4個小長方形的面積，=（a+b）2-4ab，=a2+2ab+b2-4ab，=（a-b）2故選：D．4．（2022·四川樂山·八年級期末）如圖所示，將四張全等的長方形硬紙片圍成一個正方形，根據(jù)圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以直觀地得到一個關(guān)于、的恒等式為（

）．A． B．C． D．【詳解】方法一：陰影部分的面積為：，方法二：陰影部分的面積為：，∴根據(jù)圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以直觀地得到一個關(guān)于a、b的恒等式為．故選：C．一、單選題1．（2022·四川樂山·八年級期末）已知實數(shù)，滿足，，則（）A．1 B．﹣ C．±1 D．±【詳解】解：，，，，，，故選：C．2．（2022·河北石家莊·八年級期末）4張長為a、寬為的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．若，則a、b滿足（

）A． B． C． D．【詳解】解：，，∵，∴，整理，得，∴，∴．故選D．3．（2022·重慶梁平·八年級期末）如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如（8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過2017的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（）A．255054 B．255064 C．250554 D．255024【詳解】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2017，解得：n≤252，則在不超過2017的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032=5052﹣12=255024．故選:D．4．（2022·重慶江津·八年級期末）已知，則的值是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【詳解】解：∵，∴====，故答選：C5．（2022·江蘇南通·八年級期末）已知，則的值等于（

）A．1 B．0 C． D．【詳解】解：∵，∴m2＋n2＝4n?4m?8，∴（m2＋4m＋4）＋（n2?4n＋4）＝0，∴（m＋2）2＋（n?2）2＝0，∴m＋2＝0，n?2＝0，解得：m＝?2，n＝2，∴＝＝-1．故選擇：C．6．（2022·甘肅蘭州·八年級期末）已知a、b、c是三角形的邊長，那么代數(shù)式的值是（

）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．大小不確定【詳解】解：∵a、b、c是三角形的邊長，∴，，∴，，∴，故選A．7．（2022·廣東中山·八年級期末）如圖，兩個正方形的邊長分別為a、b，若，，則陰影部分的面積是（

）A．40 B． C．20 D．23【詳解】解：陰影部分面積等于∵，，∴陰影部分面積等于故答案為：C8．（2022·山東臨沂·八年級期末）下列各圖是由若干個正方形和長方形組成的，其中能表示等式(a+b)2=a2+2ab+b2的是（

）．A．B．C．D．【詳解】解：A選項中整體面積=，分部面積=，即得到的是，故A選項錯誤；B選項中整體面積=，分部面積=，即得到的是，故B選項錯誤；C選項中整體面積=，分部面積=，即得到是，故C選項錯誤；D選項中整體面積=，分部面積=，即得到的是，故D選項正確.故選：D.9．（2022·北京海淀·八年級期末）某開展“筑夢冰雪，相約冬奧”的學(xué)科活動，設(shè)計幾何圖形作品表達對冬奧會的祝福．小冬以長方形ABCD的四條邊為邊向外作四個正方形，設(shè)計出“中”字圖案，如圖所示．若四個正方形的周長之和為24，面積之和為12，則長方形ABCD的面積為（）A．1 B． C．2 D．【詳解】解：設(shè)，，由題意得，，，即，，，即長方形的面積為，故選：B．10．（2022·四川樂山·八年級期末）根據(jù)等式：，，……的規(guī)律，則可以推算得出的末位數(shù)字是（

）A． B． C． D．【詳解】解：由題目中等式的規(guī)律可得：=（2-1）×=22022-1，21的末位數(shù)字是2，22的末位數(shù)字是4，23的末位數(shù)字是8，24的末位數(shù)字是6，25的末位數(shù)字是2…，所以2n的末位數(shù)字是以2、4、8、6四個數(shù)字一循環(huán)．2022÷4=505…2，所以22022的末位數(shù)字是4，22022-1的末位數(shù)字是3．故選：B二、填空題11．（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）一個大正方形和四個全等的小正方形按圖①、②兩種方式擺放，則圖②的大正方形中未被小正方形覆蓋部分的面積是__________（用a、b的代數(shù)式表示）．【詳解】設(shè)大正方形的邊長為x1，小正方形的邊長為x2，由圖①和②列出方程組得，解得，②的大正方形中未被小正方形覆蓋部分的面積=（）2-4×（）2=ab．故答案為：ab.12．（2022·天津和平·八年級期末）（1）已知x+y＝4，xy＝3，則x2+y2的值為_____．（2）已知（x+y）2＝25，x2+y2＝17，則（x﹣y）2的值為_____．（3）已知x滿足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝12，則（x﹣2021）2的值為_____．【詳解】解：（1）∵x+y＝4，xy＝3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．故答案為：10；（2）∵（x+y）2＝25，x2+y2＝17，∴x2+y2+2xy﹣（x2+y2）＝8，∴xy＝4，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣8＝9．故答案為：9；（3）∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝12，∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝12，∴（x﹣2021）2＝5．故答案為：5．13．（2022·河北保定·八年級期末）麗麗在做一道計算題目的時候是這樣分析的：這個算式里面每個括號內(nèi)都是兩數(shù)和的形式，跟最近學(xué)的乘法公式作比較，發(fā)現(xiàn)如果添加兩數(shù)的差作為新的因式，就可以運用平方差公式進行運算，她嘗試添了因式，很快得到計算結(jié)果．①______________；請參考麗麗的方法進行運算：②的值為____________．【詳解】解：①故答案為：②======故答案為：14．（2022·山東淄博·八年級期末）已知，實數(shù)滿足，則_______．【詳解】解：∵∴故答案為：2022．15．（2022·重慶黔江·八年級期末）已知a2+＝4a﹣4，則的平方根是______________．【詳解】解：因為a2+＝4a﹣4，a2-4a+4+＝0，，a﹣2＝0，b﹣2＝0，解得a＝2，b＝2，∴，∴的平方根是．故答案為：．三、解答題16．（2022·山東濟寧·八年級期末）閱讀材料后解決問題：小明遇到下面一個問題：計算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．經(jīng)過觀察，小明發(fā)現(xiàn)如果將原式進行適當?shù)淖冃魏罂梢猿霈F(xiàn)特殊的結(jié)構(gòu)，進而可以應(yīng)用平方差公式解決問題，具體解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1請你根據(jù)小明解決問題的方法，試著解決以下的問題：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=_____．（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=_____．（3）化簡：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．【詳解】（1）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（2