2023-2024學年八年級數(shù)學上冊 專題13-2 將軍飲馬模型分析

PAGE1第十三章專題2將軍飲馬模型1將軍飲馬如下圖，點A，B在直線l的同側(cè)，在直線l上取一點P，使得PA+PB最小.作法作點A關于直線l的對稱點A'，連接A'B與直線l交于點P.簡證PA+PB=PA'+PB=A'B，P'A+P'B=P'A'+P'B，因為P'A'所以點P為所求點.2變形模型（1）如下圖，點A，B在直線l的異側(cè)，在直線l上取一點P，使得PA+PB最小.直接連接AB，交直線l于點P，此時PA+PB最小.（2）如下圖，點P是∠MON內(nèi)的一點，分別在OM，ON上做點A，B，使得?PAB的周長最小.作點P關于OM，ON的對稱點P1,P2,連接P1P2，交OM，ON于點A（3）如下圖，點P，Q是∠MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上做點A，B，使得四邊形PAQB的周長最小.作點P關于OM的對稱點P'，作點Q關于ON的對稱點Q'，連接P'Q'，交OM，ON于點A，B，此時四邊形PAQB的周長最小.【題型1】將軍飲馬模型【典題1】如圖，A，B兩個村莊獨自從河流l上安裝了兩條灌溉管道AD，BE，AD⊥l于點D，BE⊥l于點E．某水務局準備為兩村莊在河流l上重新安裝一臺大型的抽水設備灌溉農(nóng)田．通過測量，確定在河流l的點P處安裝抽水設備，則到兩個村莊鋪設的管道AP+BP的長度最短，此時測得∠PBE＝30°，DE＝150米，則AP+BP的最小值為()A．180米 B．210米 C．240米 D．300米解析延長AD到點F，使FD＝AD，連接FP，∵AD⊥l，∴點F與點A關于直線l對稱，∴FP＝AP，∴AP+BP＝FP+BP，∵AP+BP最短，∴FP+BP最短，∴F、P、B三點在同一直線上，∵BE⊥l，∴AD∥BE，∠ADP＝∠BEP＝90°，∴∠A＝∠F＝∠PBE＝30°，∴AP＝2PD，BP＝2PE，∴AP+BP＝2(PD+PE)＝2DE＝2×150＝300(米)，∴AP+BP的最小值為300米，故選：D．【典題2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D點，E、F分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為()A．152 B．5 C．3 D．解析在AB上取一點G，使AG＝AF，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴FE＝EG，∴CE+EF＝CE+EG，則最小值時CG垂直AB時，CG的長度，CG＝125故選：D．【典題3】如圖，點E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝4，射線CD⊥BC，垂足為點C，點P是射線CD上一動點，點F是線段AB上一動點，當EP+FP的值最小時，BF＝5，則AB的長為()A．10 B．8 C．7 D．9解析作E點關于CD的對稱點E'，過E'作E'F⊥AB于點F，交CD于點P，連接PE，∴PE＝PE'，∴EP+FP＝PE'+PF≥E'F，此時EP+FP的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵E'F⊥AB，∴∠FE'B＝30°，∴BE'＝2BF＝2×5＝10，∵BE＝4，CE＝CE'，∴10＝2CE+BE＝2CE+4，∴CE＝3，∴BC＝BE+CE＝4+3＝7，故選：C．【鞏固練習】1.如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上一動點，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，則△APC周長的最小值是()A．13 B．14 C．15 D．13.5答案A解析∵直線m垂直平分BC，∴B、C關于直線m對稱，設直線m交AB于D，∴當P和D重合時，AP+CP的值最小，最小值等于AB的長，∴△APC周長的最小值是AB+AC＝6+7＝13．故選：A．2.如圖，△ABC是等腰三角形，底邊BC的長為6，面積是30，腰AC的垂直平分線EF分別交AC、AB于點E、F．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值是()A．11 B．13 C．18 D．24答案B解析連接AM，當A、M、D時，此時AD⊥BC，△CDM的周長最小，∵△ABC是等腰三角形，底邊BC的長為6，面積是30，∴AD＝10，∴△CDM周長的最小值是：10+3＝13，故選：B．3.如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為()A．15° B．22.5° C．30° D．45°答案C解析過E作EM∥BC，交AD于N，∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M關于AD對稱，連接CM交AD于F，連接EF，則此時EF+CF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝12∠ACB故選：C．4.如圖，等腰△ABC的底邊BC長為6，面積是24，E為腰AB的垂直平分線MN上一動點．點D為BC的中點，則△BDE的周長的最小值為.答案11解析連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC∵MN是線段AB的垂直平分線，∴點B關于直線MN的對稱點為點A，∴AD的長為BE+ED的最小值，∴△BDE的周長最短＝(BE+ED)最小+BD=AD+1故選：D．5.如圖，過邊長為2的等邊三角形ABC的頂點C作直線l⊥BC，然后作△ABC關于直線l對稱的△A'B'C，P為線段A'C上一動點，連接AP，PB，則AP+PB答案4解析如圖，連接B'P，∵△ABC與△A'B'∴△A'∴A'B＝AB＝2，∠A'CB'＝60°，∴∠在△B'CPB'C＝AC＝2，∠B'CP＝∠ACP＝60°，∴△∴B∴AP+PB＝B由三角形的三邊關系定理、兩點之間線段最短可知，當點P與點C重合，即點B，P，B'共線時，B′P+PB取得最小值，最小值為BB'＝BC+B'C＝2+2＝4，即AP+PB的最小值為4．故選：A．6.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過點D作AC的垂線，垂足為F，與AB相交于點E，連接CE．(1)說明：AE＝CE＝BE；(2)若DA⊥AB，BC＝6，P是直線DE上的一點，則當P在何處時，PB+PC最小，并求出此時PB+PC的值．答案(1)略(2)12解析(1)∵△ADC是等邊三角形，DF⊥AC，∴DF垂直平分線段AC，∴AE＝EC，∴∠ACE＝∠CAE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠CAE+∠B＝90°，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝EB，∴AE＝CE＝BE．(2)連接PA，PB，PC．∵DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠CAB＝30°，∴∠B＝60°，∴BC＝AE＝EB＝CE＝6．∴AB＝12，∵DE垂直平分AC，∴PC＝AP，∴PB+PC＝PB+PA，∴當PB+PC最小時，也就是PB+PA最小，即P，B，A共線時最小，∴當點P與點E共點時，PB+PC的值最小，最小值為12．【題型2】將軍飲馬的變形模型【典題1】如圖，∠AOB＝60°，點P為∠AOB內(nèi)一點，點M、N分別在OA、OB上，當△PMN周長最小時，∠MPN的度數(shù)是()A．120° B．60° C．30° D．90°解析分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1、P2交OA于M，交OB于N，∴OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得MP＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周長的最小值＝P1P2，由軸對稱的性質(zhì)可得∠P1OP2＝2∠AOB，∴等腰△OP1P2中，∠O∴∠=180故選：B．【典題2】如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分別是BC，DC上的點，當△AMN的周長最小時，∠MAN的度數(shù)為()A．72° B．36° C．108° D．38°解析作A關于BC和CD的對稱點A'，A''，連接A'A''，交BC于M，交CD于N，則A'A∵∠DAB＝108°，∴∠HAA′＝72°，∴∠∵∠MA∴∠=2×72∴∠MAN＝36°，故選：B．【鞏固練習】1.已知∠MON＝40°，P為∠MON內(nèi)一定點，OM上有一點A，ON上有一點B，當△PAB的周長取最小值時，∠APB的度數(shù)是()A．40° B．100° C．140° D．50°答案B解析分別作點P關于OM、ON的對稱點P'、P''，連接OP',OP''、P'P''，P'P''交OM、ON由軸對稱性質(zhì)可得，OP∴∠∴∠又∵∠∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故選：B．2.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB=5，D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的動點，則DE+EF+FD的最小值是()A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6答案C解析如圖作D關于直線AC的對稱點M，作D關于直線BC的對稱點N，連接CM，CN，CD，DN，DM，EN，F(xiàn)M．∵∠MCA＝∠DCA，∠BCD＝∠BCN，∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠DCN+∠DCM＝180°，∴M、C、N共線，∵DF+DE+EF＝FM+EF+EN，∵FM+EF+EN≥MN，∴當F、E、M、N共線時，且CD⊥AB時，DE+EF+FD的值最小，最小值＝2CD，∵CD⊥AB，∴1∴CD=3×4∴DE+EF+FD的最小值為4.8．故選：C．3.如圖，△ABD是邊長為6的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是邊AD，AB上的動點，若∠ADC＝∠ABC＝90°，則△CEF周長的最小值為．答案12解析如圖所示，作點C關于AD的對稱點G，作點C關于AB的對稱點H，連接GE，AC，HF，DG，BH，則DG＝DC，BC＝BH，∵AD⊥CD，AB⊥BC，∴AD垂直平分CG，AB垂直平分HC，∴CE＝GE，CF＝HF，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠A＝60°，∴∠BCD＝120°，∵AD＝AB，AC＝AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACB(HL)，∴CD＝CB，∴CG＝CH，∴∠G＝∠H＝30°，∴∠DCE＝∠BCF＝30°，∴∠CEF＝∠CFE＝60°＝∠ECF，∴△CEF是等邊三角形，∴AE＝CE＝2DE＝4，∴△CEF周長＝CE+CF+EF＝4+4+4＝12．故答案為：12．4.已知點P在∠MON內(nèi)．(1)如圖1，點P關于射線OM的對稱點是G，點P關于射線ON的對稱點是H，連接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，則∠GOH＝；②若PO＝5，連接GH，請說明當∠MON為多少度時，GH＝10；(2)如圖2，若∠MON＝60°，A、B分別是射線OM、ON上的任意一點，當△PAB的周長最小時，求∠APB的度數(shù)．答案(1)①100°；②10；(2)60°解析(1)①∵點P關于射線OM的對稱點是G，點P關于射線ON的對稱點是H，∴OG＝OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，故答案為：100°；②∵PO＝5，∴GO＝HO＝5，當∠MON＝90°時，∠GOH＝180°，∴點G，O，H在同一直線上，∴GH＝GO+HO＝10；(2)如圖所示：分別作點P關于OM、ON的對稱點P′、P″，連接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于點A、B，連接PA、PB，則AP＝AP'，BP＝BP''，此時△由軸對稱性質(zhì)可得，OP∴∠∴∠∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，同理可得∠BPO=∴∠APB＝30°+30°＝60°．【A組基礎題】1.如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分線MN交AB于點D，P是直線MN上的任意一點，則PA+PC的最小值是()A．2 B．3 C．3.5 D．4.5答案B解析如圖，MN是BC的垂直平分線，∴點C與點B關于直線MN對稱，∴線段AB與直線MN的交點即為點P，∴PA+PC＝AB．∵AB＝3，∴PA+PC的最小值是3．故選：B．2.如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分別為BD、BC上的動點，那么CM+MN的最小值是()A．2.4 B．3 C．4 D．4.8答案D解析如圖所示：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于點N，∵BD平分∠ABC，∴ME＝MN，∴CM+MN＝CM+ME＝CE．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，∴S∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8．故選：D．3.如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，點E是AC邊的中點，點P是AD上的一個動點，當PC+PE最小時，∠PCD的度數(shù)是()A．90° B．60° C．45° D．30°答案D解析如圖，連接BE，與AD交于點P，此時PE+PC最小，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE≥BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCD＝∠PBC＝30°，故選：D．4.如圖，∠AOB＝30°，點D是它內(nèi)部一點，OD＝m．點E，F(xiàn)分別是OA，OB上的兩個動點，則△DEF周長的最小值為()A．0.5m B．m C．1.5m D．2m答案B解析作D點關于AO的對稱點G，作D點關于OC的對稱點H，連接GH交AO于點E，交OC于點F，連接GO，OH，由對稱性可知，GE＝ED，DF＝FH，OG＝OD＝OH，∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，此時△DEF的周長最小，最小值為GH，∵∠GOA＝∠AOD，∠DOC＝∠COH，∴∠GOH＝2∠AOC，∵∠AOC＝30°，∴∠GOH＝60°，∴△GOH是等邊三角形，∴GH＝OD，∵DO＝m，∴△DEF周長的最小值為m，故選：B．5.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分別是邊AB，AD上的動點，當△MCN的周長最小時，∠MCN的大小是()A．50° B．70° C．90° D．100°答案D解析作C點關于AD的對稱點E，C點關于AB的對稱點F，連接EF交AD于N'點，交AB于M∴N∴CN∴此時△MCN的周長最小，∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，∴∠BCD＝140°，∵N'E＝N'C，M'F＝∴∠E＝∠N'CE，∠F＝∠M'∵∠E+∠F＝180°﹣∠ECF＝180°﹣140°＝40°，∴∠N'CE+∠M'∴∠即△MCN的周長最小時，∠MCN為100°．故選：D．6.如圖，點E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝6，射線CD⊥BC于點C，點P是射線CD上一動點，點F是線段AB上一動點，當EP+PF的值最小時，BF＝7，則AC為．答案10解析∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作點E關于直線CD的對稱點G，過G作GF⊥AB于F，交CD于P，則此時，EP+PF的值最小，∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°，∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14，∴EG＝8，∴CE＝CG＝4，∴AC＝BC＝10，故選：A．7.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD＝4，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是．答案24解析∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，如圖所示．∵S∴BQ=BC故答案為：2458.如圖，∠AOB＝15°，M是邊OA上的一個定點，且OM＝12cm，N，P分別是邊OA、OB上的動點，則PM+PN的最小值是．答案6解析作M關于OB的對稱點Q，過Q作QN⊥OA于N，交OB于P，則此時PM+PN的值最小，連接OQ，則∠QOB＝∠AOB＝15°，OQ＝OM＝8，PM＝PQ，∠QNO＝90°，∵QN=1∴PM+PN＝PQ+PN＝QN＝6，故答案為：6．9.如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC邊上的中線，點E是AB邊上一動點，點P是AD上的一個動點．(1)若∠BAD＝37°，求∠ACB的度數(shù)；(2)若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB時，求CE的長；(3)在(2)的條件下，請直接寫出BP+EP的最小值．答案(1)53°(2)245(3)解析(1)∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵AD是BC邊上的中線，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝37°，∴∠ABC＝53°，∴∠ACB＝53°．(2)∵CE⊥AB，∴1∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，∴CE=24(3)連接PC．∵AD垂直平分線段BC，∴PB＝PC．∴PB+PE＝PE+PC≥CE，∴PE+PB的最小值為245．【B組提高題】1.如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D是BC的中點，