廣東省深圳南頭中學(xué)2023年高三畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題模擬試題_第1頁(yè)
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廣東省深圳南頭中學(xué)2023年高三畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.為雙曲線的左焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn),(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.已知橢圓(a>b>0)與雙曲線(a>0,b>0)的焦點(diǎn)相同,則雙曲線漸近線方程為()A. B.C. D.3.一個(gè)盒子里有4個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1,2,3,4的小球,每次取出一個(gè),記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中,共取3次,則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有()A.17種 B.27種 C.37種 D.47種4.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.“”是“直線與互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,則()A.4 B.8 C.16 D.27.某幾何體的三視圖如圖所示,若圖中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則該幾何體的體積是A. B. C. D.8.下圖為一個(gè)正四面體的側(cè)面展開圖,為的中點(diǎn),則在原正四面體中,直線與直線所成角的余弦值為()A. B.C. D.9.已知集合,,則()A. B.C. D.10.如圖,在平面四邊形ABCD中,若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.11.設(shè)非零向量,,,滿足,,且與的夾角為,則“”是“”的().A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12.的展開式中的系數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7,則a2=____.14.我國(guó)古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭;令上方六尺:?jiǎn)柾し綆缀??”大致意思是:有一個(gè)四棱錐下底邊長(zhǎng)為二丈,高三丈;現(xiàn)從上面截取一段,使之成為正四棱臺(tái)狀方亭,且四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為六尺,則該正四棱臺(tái)的高為________尺,體積是_______立方尺(注:1丈=10尺).15.若函數(shù)的圖像與直線的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是,,,則實(shí)數(shù)的值為________.16.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在中,內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別是,,,,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.18.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為,且,.(1)求的值;(2)若求的面積.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求和的極坐標(biāo)方程;(2)過(guò)且傾斜角為的直線與交于點(diǎn),與交于另一點(diǎn),若,求的取值范圍.20.(12分)求函數(shù)的最大值.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若對(duì)恒成立,求的取值范圍.22.(10分)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,點(diǎn)P在棱DF上.(1)若P是DF的中點(diǎn),求異面直線BE與CP所成角的余弦值;(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,求PF的長(zhǎng)度.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

過(guò)點(diǎn)作,可得出點(diǎn)為的中點(diǎn),由可求得的值,可計(jì)算出的值,進(jìn)而可得出,結(jié)合可知點(diǎn)為的中點(diǎn),可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點(diǎn)),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過(guò)點(diǎn)作,設(shè)該雙曲線的右焦點(diǎn)為,連接.,.,,,為的中點(diǎn),,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時(shí)要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.2、A【解析】

由題意可得,即,代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同,可得:,即,∴,可得,雙曲線的漸近線方程為:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的求法,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種;先找到最大值不是4的情況,即三次取出標(biāo)號(hào)均不為4的球的情況,進(jìn)而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有種,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

將整理成的形式,得到復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的的點(diǎn),從而可選出所在象限.【詳解】解:,所以所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).易錯(cuò)點(diǎn)是誤把當(dāng)成進(jìn)行計(jì)算.5、A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時(shí),直線方程為與,可得兩直線平行;若直線與互相平行,則,解得,,則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件,故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì),充分條件,必要條件的定義和判斷方法,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計(jì)算,難度容易.7、B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體,其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形,圓錐的高為4,底面半徑為2,則其體積為,.故選B點(diǎn)睛:由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.8、C【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體,三點(diǎn)重合,記作,取中點(diǎn),連接,即為與直線所成的角,表示出三角形的三條邊長(zhǎng),用余弦定理即可求得.【詳解】將展開的正四面體折疊,可得原正四面體如下圖所示,其中三點(diǎn)重合,記作:則為中點(diǎn),取中點(diǎn),連接,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)均為,由中位線定理可得且,所以即為與直線所成的角,,由余弦定理可得,所以直線與直線所成角的余弦值為,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角,將展開圖折疊成空間幾何體,余弦定理解三角形的應(yīng)用,屬于中檔題.9、C【解析】

求出集合,計(jì)算出和,即可得出結(jié)論.【詳解】,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查交集和并集的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

分析:由題意可得為等腰三角形,為等邊三角形,把數(shù)量積分拆,設(shè),數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù),用函數(shù)可求得最小值。詳解:連接BD,取AD中點(diǎn)為O,可知為等腰三角形,而,所以為等邊三角形,。設(shè)=所以當(dāng)時(shí),上式取最小值,選A.點(diǎn)睛:本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分,需要選擇合適的基底,再把其它向量都用基底表示。同時(shí)利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。11、C【解析】

利用數(shù)量積的定義可得,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:,,,解得,,,解得,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】由題意,根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式,得展開式的通項(xiàng)為,則展開式的通項(xiàng)為,由,得,所以所求的系數(shù)為.故選C.點(diǎn)睛:此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能,屬于中低檔題,也是??贾R(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中,注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù),先求出通項(xiàng)公式,再根據(jù)所求問(wèn)題,通過(guò)確定未知的次數(shù),求出,將的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算,從而問(wèn)題可得解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.【詳解】解:(2x-1)7的展開式通式為:當(dāng)時(shí),,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù),是基礎(chǔ)題.14、213892【解析】

根據(jù)題意畫出圖形,利用棱錐與棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺(tái)的高,再計(jì)算它的體積.【詳解】如圖所示:正四棱錐P-ABCD的下底邊長(zhǎng)為二丈,即AB=20尺,高三丈,即PO=30尺,截去一段后,得正四棱臺(tái)ABCD-A'B'C'D',且上底邊長(zhǎng)為A'B'=6尺,所以,解得,所以該正四棱臺(tái)的體積是,故答案為:21;3892.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了棱臺(tái)的體積計(jì)算問(wèn)題,屬于中檔題.15、4【解析】

由題可分析函數(shù)與的三個(gè)相鄰交點(diǎn)中不相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)距離為,即,進(jìn)而求解即可【詳解】由題意得函數(shù)的最小正周期,解得故答案為:4【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的應(yīng)用,考查求正弦型函數(shù)中的16、【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法求解再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】解:復(fù)數(shù)為純虛數(shù),解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)正弦定理先求得邊c,然后由余弦定理可求得邊b;(Ⅱ)結(jié)合二倍角公式及和差公式,即可求得本題答案.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?,由正弦定理可得,,又,所以,所以根?jù)余弦定理得,,解得,;(Ⅱ)因?yàn)椋?,,,則.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形,以及利用二倍角公式及和差公式求值,屬基礎(chǔ)題.18、(1)3(2)78【解析】試題分析:(1)由兩角和差公式得到,由三角形中的數(shù)值關(guān)系得到,進(jìn)而求得數(shù)值;(2)由三角形的三個(gè)角的關(guān)系得到,再由正弦定理得到b=15,故面積公式為.解析:(1)在中,由,得為銳角,所以,所以,所以.(2)在三角形中,由,所以,由,由正弦定理,得,所以的面積.19、(1);(2)【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換公式,把參數(shù)方程,直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(2)利用極坐標(biāo)方程將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?,所以的普通方程為,又,,,的極坐標(biāo)方程為,的方程即為,對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)方程為.(2)由己知設(shè),,則,,所以,又,,當(dāng),即時(shí),取得最小值;當(dāng),即時(shí),取得最大值.所以,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角坐標(biāo)方程,參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化,三角函數(shù)的值域求解等知識(shí),考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20、【解析】

試題分析:由柯西不等式得試題解析:因?yàn)?,所以.等?hào)當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)成立.所以的最大值為.考點(diǎn):柯西不等式求最值21、(1)或;(2)或.【解析】試題分析:(1)根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組,分別求解集,最后求并集(2)根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值,再解含絕對(duì)值不等式可得的取值范圍.試題解析:(1)等價(jià)于或或,解得:或.故不等式的解集為或.(2)因?yàn)椋核?,由題意得:,解得或.點(diǎn)睛:含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.22、(1).(2).【解析】

(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),計(jì)算夾角得到答案.(2)設(shè),0≤λ≤1,計(jì)算P(0,2λ,2﹣2λ),計(jì)算平面APC的法向量(1,﹣1,),平面ADF的法向量(1,0,0),根據(jù)夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】(1)∵BAF=90°,∴AF⊥AB,又∵平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴AF⊥平面ABCD,又四邊形ABCD為矩形,∴以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,∵AD=2,AB=AF=2EF=2,P是DF的中點(diǎn),∴B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),設(shè)異面直線BE與CP所成角的平面角為θ,則cosθ,∴異面直線BE與

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