第4章 伯努利方程

4.1伯努利方程第四章伯努利方程2021/5/91伯努利（瑞典），1738，《流體動力學》——“流速增加，壓強降低”4.1.1理想流體沿流線的伯努利方程1.伯努利方程的推導

歐拉運動方程＋四個假設2021/5/92（1）定常流動（2）沿流線積分（3）質量力有勢（4）不可壓縮2021/5/931）定常流場中的歐拉方程2）將上式沿流線積分可得到伯努利方程3）質量力有勢4）對于不可壓縮流體有＝常數(shù)5）質量力只有重力

2021/5/94（1）理想流體歐拉運動方程（2）定常流動（4）質量力有勢（5）不可壓縮（3）沿流線積分2021/5/952.伯努利方程的意義（1）幾何意義：用幾何圖形來表示各物理量之間的關系。表明：在流線上的總水頭為一常數(shù)。（2）物理意義表明：在流線上的單位重量流體的總能量為一常數(shù)。因此說伯努利方程是能量轉化和守恒定律在流體力學中的具體反映。2021/5/96單位重量流體的重力勢能位置水頭單位重量流體的壓強勢能壓力水頭總機械能總水頭

物理意義幾何意義單位重量流體的動能流速水頭伯努利方程（位置水頭）（壓強水頭）（速度水頭）2021/5/97平面流場（忽略重力作用）方程表明：沿流線速度和壓強的變化是相互制約的，流速高的點上壓強低，流速低的點上壓強高。思考

轎車高速行駛時，為何感覺車身變輕？2021/5/984.1.2理想流體總流的伯努利方程動能修正系數(shù)平均流速真實流速與速度分布有關，分布均勻為1；不均勻大于1。一般取1緩變流：流線間夾角很小，流線曲率很小，流線幾乎是一些平行直線的流動。特性：（1）質量力只有重力；（2）同一緩變過流斷面上，各點的靜壓水頭相等。2021/5/99理想流體總流假設A1、A2是緩變流截面，對于微小流束：通過斷面1和2的能量2021/5/910由動能修正系數(shù)定義2021/5/9114.1.3.實際流體總流的伯努利方程能量損失或水頭損失伯努利方程應用舉例h01p0p0小孔出流2021/5/9124.1.4相對運動的伯努利方程

葉輪隨體坐標系將坐標固結于旋轉的葉輪上。葉輪的角速度為u：隨葉輪旋轉的牽連速度w：相對與葉輪的速度2021/5/9134.2伯努利方程在工程中的應用

皮托管——

測量流速

沿流線B–A列伯努利方程：原理：測量時將靜壓孔和總壓孔感受到的壓強分別和差壓計的兩個入口相連，在差壓計上可以讀出總壓和靜壓之差，從而求得被測點的流速。2021/5/9144.4文丘里流量計——

測量管道中的流量

結構：收縮段＋喉部＋擴張段測量原理：測量截面1和喉部截面2處的靜壓強差，根據(jù)測得的壓強差和已知的管子截面積，應用伯努里方程和連續(xù)性方程，就可以求得流量。連續(xù)性方程：伯努利方程：聯(lián)立求解：2021/5/9154.6動量積分方程和動量矩積分方程及其應用根據(jù)動量定理：流體系統(tǒng)的動量對時間的變化率等于外界作用在該系統(tǒng)上的合力，即由于外力有質量力和表面力之分，故上式右邊的等式可寫為得控制體的動量積分方程4.6.1動量積分方程2021/5/9164.6.2動量矩積分方程

根據(jù)動量矩定理：流體系統(tǒng)對某點的動量矩對時間的變化率等于外界作用在該系統(tǒng)上的合力對同一點的力矩，即根據(jù)雷諾輸運方程式可得控制體的動量矩積分方程2021/5/917關于控制面（1）與問題有關的邊界面；（2）已知物理量較多的面；（3）流面即流線組成的面（vn=0）兩端截面垂直于流線（此時vn=v）在應用控制體的動量積分方程和動量矩積分方程時，還要注意如下幾點：（1）方程是矢量式，為計算方便，要選擇適宜的坐標系，以便于求出各項的投影值；（2）法向分量的正負號以控制面外法向為正，向內(nèi)為負；（3）方程未知數(shù)較多時，可聯(lián)立連續(xù)方程和伯努利方程求解；（4）控制面上的壓力計算最好使用相對壓強4.6.3動量積分方程和動量矩積分方程的應用2021/5/918動量方程求解步驟:(1)建立坐標系,標出控制體(2)分析控制體所受到的力，表明控制面上各種參數(shù)(3)分析動量的變化(流出減流進,速度投影有正負)，列動量方程。2021/5/9194.6.3動量積分方程和動量矩積分方程的應用

(a)(b)(c)水流對彎管的作用力1.水流對彎管的作用力2021/5/920動量方程為水流對彎管作用力的兩個分量可寫為固定此段彎管所需的外力為2021/5/9212021/5/922例求射流對斜置平板(單位厚度)的作用力F。設：流量為q，速度為v，來流方向與板的夾角為

。

解取控制體如圖。因射流處于大氣之中，射流中壓強都近似等于大氣壓。又由伯努利方程知

v1=v2=v。x方向動量方程：

y方向動量方程：

由連續(xù)性條件q=q1+q2

和x方向的動量方程還可以解出2.射流對平板和葉片的作用力2021/5/923y

v0FxFyxA0v0射流對固定葉片的作用圖取控制體如圖，射流速度為v0,過流斷面為A0,應用動量方程有2021/5/924y

FxFyxA0v0v0-uuv0-u射流對運動葉片的作用采用固結于葉片上的運動坐標系,則在此動坐標系上觀察到的流動是定常的取控制體如圖,此控制體進出口截面上的速度應為相對速度(v0

–u),過流斷面為A0,應用動量方程