第三章3.23.2.2第1課時(shí)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第1課時(shí)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第三章

雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享1.掌握雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.學(xué)習(xí)目標(biāo)在研究橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)，我們從圖形、方程、范圍、頂點(diǎn)、軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)、對(duì)稱性、離心率等多方面進(jìn)行了研究，下面我們類比研究橢圓性質(zhì)的方法研究雙曲線的性質(zhì).導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、雙曲線的幾何性質(zhì)二、由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程三、求雙曲線的離心率內(nèi)容索引一、雙曲線的幾何性質(zhì)提示1.范圍所以x≥a

或x≤－a;y∈R.2.對(duì)稱性x軸、y軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，又叫做雙曲線的中心.3.頂點(diǎn)(1)雙曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，叫做雙曲線的頂點(diǎn).頂點(diǎn)是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有兩個(gè).(2)如圖，線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)為2a，a叫做實(shí)半軸長(zhǎng)；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)為2b，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng).(3)實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫等軸雙曲線.方程為x2－y2＝m(m≠0).4.漸近線(2)利用漸近線可以較準(zhǔn)確的畫(huà)出雙曲線的草圖.5.離心率(2)e的范圍：e>1.(3)e的含義：因?yàn)閏>a>0，所以可以看出e>1，焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程_________________________________________圖形

知識(shí)梳理性質(zhì)范圍_______________________________對(duì)稱性對(duì)稱軸：

；對(duì)稱中心：_____頂點(diǎn)坐標(biāo)________________________________________漸近線_______________________離心率e＝

，e∈

，其中c＝

a，b，c間的關(guān)系c2＝

(c>a>0，c>b>0)x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a坐標(biāo)軸原點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)(1，＋∞)a2＋b2注意點(diǎn)：(1)雙曲線的離心率刻畫(huà)了雙曲線的“張口”大小，e越大，開(kāi)口越大.(2)等軸雙曲線的離心率為

漸近線方程為y＝±x.(3)雙曲線的漸近線方程要注意焦點(diǎn)所在軸的位置.(4)焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.例1

(教材P124例3改編)求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率、漸近線方程.因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(－3,0)，A2(3,0)，實(shí)軸長(zhǎng)2a＝6，虛軸長(zhǎng)2b＝4，延伸探究

若將雙曲線的方程變?yōu)閚x2－my2＝mn(m>0，n>0)，求雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程.反思感悟由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決此類題的關(guān)鍵.(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，從而寫(xiě)出雙曲線的幾何性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練1

求雙曲線25y2－16x2＝400的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a＝4，虛半軸長(zhǎng)b＝5；二、由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2

求滿足下列條件的雙曲線的方程：①②聯(lián)立，無(wú)解.聯(lián)立③④，解得a2＝8，b2＝32.反思感悟由雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式.(2)巧設(shè)雙曲線方程的技巧③漸近線方程為ax±by＝0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).跟蹤訓(xùn)練2

求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，解當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，三、求雙曲線的離心率√又由圓C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圓心為C(0,5)，半徑r＝2，反思感悟求雙曲線離心率的方法(1)直接法：若可求得a，c，則直接利用e＝

得解.(2)解方程法：若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，所以c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，1.知識(shí)清單：(1)雙曲線的幾何性質(zhì).(2)等軸雙曲線.(3)雙曲線的離心率.2.方法歸納：待定系數(shù)法、直接法、解方程法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：求雙曲線方程時(shí)位置關(guān)系考慮不全面致錯(cuò).課堂小結(jié)隨堂演練1.(多選)已知雙曲線方程為x2－8y2＝32，則A.實(shí)軸長(zhǎng)為 B.虛軸長(zhǎng)為4C.焦距為6 D.離心率為√1234√√2.雙曲線

的左焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)之間的距離等于√1234解析由已知得左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(－5,0)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，所以左焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)之間的距離等于8.3.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且一個(gè)焦點(diǎn)在直線3x－4y＋12＝0上的等軸雙曲線的方程是A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4√1234解析令y＝0，得x＝－4，∴等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(－4,0)，12341234課時(shí)對(duì)點(diǎn)練√基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.已知雙曲線的實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)，且過(guò)點(diǎn)(5,3)，則雙曲線方程為√解析由題意知，所求雙曲線是等軸雙曲線，設(shè)其方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，將點(diǎn)(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，12345678910111213141516√123456789101112131415164.設(shè)雙曲線

(a>0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為√解析由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516|PF|的最小值為c－a＝2，D正確.√12345678910111213141516123456789101112131415168.若一雙曲線與橢圓4x2＋y2＝64有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程為_(kāi)___________.12345678910111213141516a2＝64，c2＝64－16＝48，從而a′＝6，b′2＝12，9.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)兩頂點(diǎn)間的距離是6，兩焦點(diǎn)所連線段被兩頂點(diǎn)和中心四等分；解由兩頂點(diǎn)間的距離是6，得2a＝6，即a＝3.由兩焦點(diǎn)所連線段被兩頂點(diǎn)和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.12345678910111213141516(2)漸近線方程為2x±3y＝0，且兩頂點(diǎn)間的距離是6.解設(shè)雙曲線方程為4x2－9y2＝λ(λ≠0)，1234567891011121314151612345678910111213141516又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，兩邊同時(shí)除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，12345678910111213141516于是雙曲線的離心率為2.√12345678910111213141516綜合運(yùn)用又2c＝10，∴c＝5.由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.1234567891011121314151612.若雙曲線與橢圓

有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程為y＝－x，則雙曲線的方程為A.y2－x2＝96 B.y2－x2＝160C.y2－x2＝80 D.y2－x2＝24√解析設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，1234567891011121314151612345678910111213141516√解析由題意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，設(shè)直線PF1與圓(x－c)2＋y2＝c2相切于點(diǎn)T，則PF1⊥TF2，|TF2|＝c，123456789101112131415161234567891011121314151632所以|PQ|＝12.雙曲線圖象如圖.|PF|－|AP|＝2a＝4，

①|(zhì)QF|－|QA|＝2a＝4，

②①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，∴周長(zhǎng)為|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32.12345678910111213141516√拓廣探究12345678910111213141516√√△APF1的周長(zhǎng)不小于14，即周長(zhǎng)的最小值不小于14，可得|PA|＋|PF1|的最小值不小于9，又F2為雙曲線的左焦點(diǎn)，可得|PF1|＝|PF2|＋2a，|PA|＋|PF1|＝|PA|＋|PF2|＋2a

，當(dāng)A，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值5＋2