2019年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三真題及答案

2019年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三真題及答案一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1、當(dāng)x→0，x-tanx與xk是同階無窮小，求k______

A．1

B．2

C．3

D．4

2、已知方程x5-5x+k=0有3個不同的實根，則k的取值范圍是______

A．(-∞，-4)

B．(4，+∞)

C．[-4，4]

D．(-4，4)

3、已知微分方程y"+ay'+by=cex的通解為y=(C1+C2x)e-x+ex，則a，b，c依次為______

A．1，0，1

B．1，0，2

C．2，1，3

D．2，1，4

4、若絕對收斂，條件收斂，則______

A．

B．

C．

D．

5、設(shè)A是四階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若線性方程Ax=0的基礎(chǔ)解系中只有2個向量，則A*的秩是______

A．0

B．1

C．2

D．3

6、設(shè)A是三階實對稱矩陣，E是三階單位矩陣，若A2+A=2E，且|A|=4，則二次型xTAx規(guī)范形為______

A．

B．

C．

D．

7、設(shè)A，B為隨機事件，則PA.=PB.充分必要條件是______

A．P(A∪B.=PA.+PB.

B．P(AB.=PA.PB.

C．

D．

8、設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P{|X-Y|＜1}______

A．與μ無關(guān)，而與σ2有關(guān)

B．與μ有關(guān)，而與σ2無關(guān)

C．與μ，σ2都有關(guān)

D．與μ，σ2都無關(guān)

二、填空題9、

10、曲線的拐點坐標(biāo)為______．

11、

12、A、B兩商品的價格分別表示為PA、PB，設(shè)A商品的需求函數(shù)則當(dāng)PA=10，PB=20時，商品A的需求量對自身價格需求彈性ηAA(ηAA＞0)=______．

13、已知矩陣若線性方程組Ax=b有無窮多解，則a=______．

14、設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為F(X)為X的分布函數(shù)，E(X)為X的數(shù)學(xué)期望，則P{F(X)＞E(X)-1}=______．

三、解答題共94分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟．15、已知求f'(x)，并求f(x)的極值．

16、設(shè)函數(shù)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x，y)=xy-f(x+y,x-y)，求

17、設(shè)函數(shù)y=y(x)是微分方程滿足特解．

(Ⅰ)求y(x)；

(Ⅱ)設(shè)平面區(qū)域D={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤y(x)}，求D繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積．

18、求曲線y=e-xsinx(x≥0)與x軸之間圖形的面積．

19、

(Ⅰ)證明：數(shù)列{an}單調(diào)遞減，且

(Ⅱ)

20、已知向量組若向量組(Ⅰ)和向量組(Ⅱ)等價，求a的取值，并將β3用α1，α2，α3線性表示．

21、

(Ⅰ)求x，y；

(Ⅱ)求可逆矩陣P使得P-1AP=B．

22、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，Y的概率分布為P{Y=-1}=p，P{X=1}=1-p，(0＜p＜1)，令Z=XY．

(Ⅰ)求Z的概率密度；

(Ⅱ)p為何值時，X與Y不相關(guān)?

(Ⅲ)X與Z是否相互獨立?

23、設(shè)總體X的概率密度為

其中μ是已知參數(shù)，σ＞0是未知參數(shù)，A是常數(shù)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本．

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)求σ2的最大似然估計量．

答案:

一、選擇題

1、C[解析]

因若要x-tanx與xk是同階無窮小，則k=3，故選C．2、D[解析]

設(shè)f(x)=x5-5x+k，則f'(x)=5x4-5，令f'(x)=0，得x=±1.

由題意知，f(x)=0有3個實根，在(-∞，-1)，(-1，1)，(1，+∞)上分別具有1個實根，

又∵f(-∞)=-∞，f(-1)=4+k，f(1)=-4+k，f(+∞)=+∞

∴f(-1)=4+k＞0，f(1)=-4+k＜0

故-4＜k＜4.3、D[解析]

由條件知特征根為λ1=λ2=-1，特征方程為(λ-λ1)(λ-λ2)=λ2+2λ+1=0，故a=2，b=1，而y*=ex為特解，代入得c=4，選D．4、B[解析]

由絕對收斂可知也絕對收斂(因為)，

而當(dāng)條件收斂時，的斂散性不定．

如果令vn=(-1)n及時，都是條件收斂，而發(fā)散，收斂，可知的斂散性是不確定的．則C，D都不正確．

再判斷的斂散性：由于可知，是絕對收斂的，故選B．5、A[解析]

因為Ax=0的基礎(chǔ)解系中只有2個向量．∴4-r(A)=2，則r(A)=2

∴r(A*)=0∴選A．6、C[解析]

設(shè)λ為A的特征值，由A2+A=2E得λ2+λ=2，

解得λ=-2或1，所以A的特征值是1或-2.

又∵|A|=4，所以A的三個特征值為1，-2，-2，

∴二次型xTAx的規(guī)范形為故選C．7、C[解析]

所以故選C．8、A[解析]X～Y～N(0，2σ2)，所以故選A．二、填空題

9、[解析]

10、(π，-2)[解析]y'=sinx+xcosx-2sinx=xcosx-sinx．

y"=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，

令y"=0，得x=0，x=π．

又在x=0的左右兩側(cè)，y"＜0，故(0，2)不是拐點．

11、[解析]

由已知得

代入上式得：

12、0.4[解析]

需求函數(shù)

13、[解析]

當(dāng)a=1時，方程組Ax=b有無窮多解，故a=1.14、[解析]

方法1：

方法二：易知Y=F(X)～U(0，1)，

三、解答題15、解：當(dāng)x＞0時，f(x)=x2x=e2xlnxf'(x)=e2xlnx(2lnx+2)=2x2x(lnx+1)

當(dāng)x＜0時，f'(x)=ex+xex=(x+1)ex

于是有f(x)的極小值為極大值為f(0)=1.

16、

17、解：(Ⅰ)

(Ⅱ)

18、解：要計算

首先要計算

19、證明：則{an}單調(diào)遞減．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，{an}單調(diào)遞減，則

由夾逼準則知，

20、解：由等價的定義可知β1，β2，β3都能由α1，α2，α3線性表示，則有

r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)

對(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行變換可得：

當(dāng)a=-1時，有r(α1，α2，α3)＜r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)；

當(dāng)a=1，則r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=2

可知a≠1且a≠-1時，此時r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3

則由a=1或者a≠1且a≠-1時，β1，β2，β3可由α1，α2，α3線性表示．

此時，要保證α1，α2，α3可由β1，β2，β3線性表示，

對(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行變換可得：

當(dāng)a=1時，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=2

可知當(dāng)a≠1且a≠-1時，此時r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3

此時，α1，α2，α3可由β1，β2，β3線性表示，

綜上所述：當(dāng)a=-1時，向量組α1，α2，α3與向量組β1，β2，β3可相互線性表示．

當(dāng)a≠1時，則β3=α1-α2+α3．

當(dāng)a=1時，

21、(Ⅰ)∵A與B相似，相似矩陣有相同的特征值，因此有

又|A|=-2(4-2x)，|B|=-2y，所以x=3，y=-2.

(Ⅱ)

22、解：(Ⅰ)

FZ(z)=P{Z≤z}=P{XY≤z}=P{XY≤z，Y=-1}+P{XY≤z，Y=1}

=P{X≥-z，Y=-1}+P{X≤z，Y=1}

=p[1-FX(-z)]+(1-p)FX(z)

則fZ(z)=F'Z(z)=pfx(-z)+(1-p)fX(z)

(Ⅱ)X和Z不相關(guān)，則ρ=0，即Cov(X，Z)=0，得到E(XZ)=E(X)E(Z)．

E(Y)=1-2p，E(Z)=E(XY)=E(X)·E(Y)=1-2p，

E(