高中數(shù)學(xué)人教A版（2023）必修2 第六章 平面向量綜合章節(jié)綜合練習(xí)題（答案+解析）

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第六章平面向量綜合

一、選擇題

1．（2023高二上·朝陽開學(xué)考）向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若向量，則的值等于（）

A．1B．C．3D．

2．（2023高二上·朝陽開學(xué)考）已知，，且，則的坐標(biāo)為（）

A．B．C．D．

3．（2023高二上·朝陽開學(xué)考）已知四面體ABCD中，，，，點M在棱DA上，，N為BC中點，則（）

A．B．

C．D．

4．已知非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（）

A．B．C．D．

5．（2023高二上·柳州開學(xué)考）在平行四邊形ABCD中，＝（）

A．B．C．D．

6．已知向量滿足，則（）

A．B．C．3D．4

7．已知向量滿足，則（）

A．B．C．1D．2

8．（2023·海鹽開學(xué)考）已知平面向量，，，若∥，則（）

A．B．C．D．

9．（2023·）已知向量，，若是在上的投影向量，則（）

A．B．C．D．

10．（2023高三上·深圳月考）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三個頂點的坐標(biāo)分別為，，，則（）

A．B．C．D．

11．（2023高三上·深圳月考）如圖所示，中，點D是線段的中點，E是線段的靠近A的三等分點，則（）

A．B．

C．D．

12．在中，是邊的中點，是的中點，若，則的值是（）

A．B．C．D．

13．（2023高二上·吉林開學(xué)考）已知邊長為1的正方形，點為中點，點滿足，那么等于（）

A．2B．C．D．

14．（2023高三上·廣州月考）在中，為的重心，滿足，則（）

A．B．C．0D．-1

15．（2023高三上·深圳月考）已知向量，，若，則（）

A．0或2B．2C．0或D．

16．（2023高一下·浦東期末）下列說法正確的是（）

A．若，則與的長度相等且方向相同或相反；

B．若，且與的方向相同，則

C．平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上；

D．若，則與方向相同或相反

17．（2023高二下·湛江期末）已知，，且，則（）

A．，B．，C．，D．，

18．（2023高一下·湖南期末）在三角形中，若D，E分別為邊，上的點，且，，與交于點O，則以下結(jié)論錯誤的是（）

A．B．

C．D．

19．（2023高一下·河北期末）已知平面向量滿足，，，則向量與向量的夾角為（）

A．B．C．D．

20．（2023高二下·保山期末）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物.巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成.巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖是一個蜂巢的正六邊形開口，下列說法正確的是（）

A．B．

C．D．

二、解答題

21．（2023高二上·朝陽開學(xué)考）向量與的夾角為，，，，．

（1）請用，t的關(guān)系式表示；

（2）在時取得最小值．當(dāng)時，求夾角的取值范圍．

22．

（1）已知，且，，求.

（2）已知向量，，求與的夾角值.

23．如圖，在等腰直角三角形中，，是線段上的點，且.

（1）若，是邊的中點，是邊靠近的四等分點，用向量表示；

（2）求的取值范圍.

24．（2023高二上·柳州開學(xué)考）已知＝（2，1），||＝2．

（1）若∥，求的坐標(biāo)；

（2）若（5﹣2）⊥（+），求與的夾角．

25．（2023·）已知向量與的夾角為，且，是單位向量．

（1）分別求和的值；

（2）若與共線，求．

26．（2023·）如圖，在△ABC中，，，，點D，E分別在，上且滿足，，點在線段上．

（1）若，求；

（2）若，且求；

（3）求的最小值．

27．（2023高三上·深圳月考）已知平面向量，.

（1）若，求實數(shù)m的值；

（2）若，求；

（3）若，求與夾角的余弦值.

28．在直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點，向量，其中．

（1）若與的夾角為，求的值；

（2）若，求的最小值．

29．（2023高一下·保山期末）如圖所示，在平行四邊形中，點是的中點，點，分別是，的三等分點（，），設(shè)，.

（1）用，表示，；

（2）如果且，求的余弦值.

30．（2023高一下·汕尾期末）已知點，，.

（1）若，是實數(shù)，且，求的值；

（2）求與的夾角的余弦值.

答案解析部分

1．【答案】C

【解析】【解答】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則，，，由，得，，求得，.

故答案為：C.

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求向量，，坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)運算求出，進而求.

2．【答案】D

【解析】【解答】解：設(shè)，由得，即，求得，.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算求解.

3．【答案】C

【解析】【解答】解：，，N為BC中點，，.

故答案為：C.

【分析】結(jié)合平行四邊形法則和向量減法運算法則求解.

4．【答案】B

【解析】【解答】解：因為，則，即，

所以在方向上的投影向量為.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)向量的線性運算的幾何意義可得，進而結(jié)合投影向量的定義運算求解.

5．【答案】C

【解析】【解答】解：設(shè)與交點為，．

故答案為：Ｃ.

【分析】設(shè)與交點為，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)化簡判斷.

6．【答案】A

【解析】【解答】解：由題意得，.

故答案為：A.

【分析】先求出，再根據(jù)向量模長公式求.

7．【答案】C

【解析】【解答】解：因為，所以，即，由已知，可得.

故答案為：C.

【分析】將兩邊平方，結(jié)合已知條件可得.

8．【答案】C

【解析】【解答】解：，又∥，，求得，，.

故答案為：C.

【分析】先求出，再根據(jù)共線向量性質(zhì)求，進而求的值.

9．【答案】C

【解析】【解答】解：由題意可得，

可知在上的投影向量，所以.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算可得，再結(jié)合投影向量的定義運算求解.

10．【答案】B

【解析】【解答】解：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三個頂點的坐標(biāo)分別為為，，，

故答案為：B.

【分析】利用向量坐標(biāo)運算法則直接求解即可.

11．【答案】A

【解析】【解答】解：由題意可得，，

，

，

.

故答案為：A.

【分析】利用向量共線定理、三角形法則即可得出結(jié)論.

12．【答案】D

【解析】【解答】解：是邊的中點，，又是的中點，，，，.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)平面向量的加法和平行四邊形法則求解.

13．【答案】C

【解析】【解答】解：不妨以為基底向量，由題意可知：，

可得，，

所以.

故答案為：C.

【分析】先用表示，再根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.

14．【答案】A

【解析】【解答】解：因為為的重心，則

又因為在中，，

所以，

則，可得.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)可知，根據(jù)平面向量的線性運算結(jié)合平面向量基本定理運算求解.

15．【答案】C

【解析】【解答】解：由向量，可得

由可得，即解得或

故答案為：C.

【分析】利用向量加法的坐標(biāo)運算可得的坐標(biāo)，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得，求解可得m的值.

16．【答案】B

【解析】【解答】A、若，只能得到與的長度相等，A錯誤；

B、若，且與的方向相同，，B正確；

C、只有平面上所有單位向量的起點移到同一點時，其終點在同一個圓上，C錯誤；

D、當(dāng)時，，與方向不一定相同或相反，D錯誤.

故答案為：B

【分析】根據(jù)向量的模定義、向量的相等定義、共線向量定義逐一判斷選項.

17．【答案】B

【解析】【解答】解：因為，，所以，，又因為，故存在實數(shù)，使得，所以解得.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算先求，以及，再根據(jù)，故存在實數(shù)，滿足，列方程組求解即可.

18．【答案】C

【解析】【解答】解：對A：因為，，則，，

可得，

所以，故A正確；

對B：過點E作，交DB于點F，則，

因為，則，所以，即，

所以，故B正確；

對D：因為，

所以

，故D正確；

對C：因為，，

所以，則，

所以，可得，

所以，故C錯誤.

故答案為：C.

【分析】對A：根據(jù)題意結(jié)合三角形的面積公式分析判斷；對B：過點E作，交DB于點F，根據(jù)平行線的性質(zhì)分析判斷；對C、D：根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運算分析判斷.

19．【答案】D

【解析】【解答】解：∵，∴，

又∵，，∴，∴，

根據(jù)向量夾角公式得，由于，∴向量與向量的夾角為.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)已知條件先求向量的模，再化簡即可求得，最后利用向量夾角公式求解即可.

20．【答案】D

【解析】【解答】解：A、，由圖形可知：與是相反向量，故A錯誤；

B、

由已知易得：（如圖）AC=AE=EC，AD平分∠EAC，點H是EC的中點，AH=AD，

所以，故B錯誤；

C、由圖形可得：，

，

所以，故C錯誤；

D、

由圖知：，，

所以，故D正確；

故答案為：D.

【分析】根據(jù)正六邊形的特點，利用向量的線性運算，數(shù)量積公式，平行四邊形法則等即可求解。

21．【答案】（1）解：∵，

∴，

∴．

（2）解：由（1）可知，

，

且，故．

【解析】【分析】(1)根據(jù)向量的減法求，再根據(jù)模長公式求；

(2)取二次函數(shù)的對稱軸時，取最小值解不等式求出的范圍，再求夾角的取值范圍.

22．【答案】（1）因為，則或，則，

所以.

（2）因為

則，且，所以.

【解析】【分析】(1)根據(jù)向量共線可得或，結(jié)合數(shù)量積的定義運算求解；

(2)根據(jù)數(shù)量積和模長公式結(jié)合向量夾角的計算公式分析求解.

23．【答案】（1）解：，

；

（2）解：直接轉(zhuǎn)化

設(shè)，，則

，

∵，故的取值范圍是.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運算求解；

(2)以為基底向量，結(jié)合數(shù)量積的運算分析求解.

24．【答案】（1）解：∵＝（2，1），由∥，可設(shè)＝（2λ，λ），

再根據(jù)||＝2＝，求得λ＝±2，

∴＝（4，2）或（﹣4，﹣2）．

（2）解：若（5﹣2）⊥（+），

則（5﹣2）（+）＝5+3·﹣2＝25+3·﹣40＝0，

∴·＝5．

設(shè)與的夾角為θ，θ∈[0，π]，則×2×cosθ＝5，求得cosθ＝，∴θ＝．

【解析】【分析】(1)根據(jù)向量平行設(shè)＝（2λ，λ），結(jié)合模長公式求解λ即可；

(2)根據(jù)向量數(shù)量積運算得（5﹣2）（+）＝0，求得·＝5，進而求與夾角.

25．【答案】（1）解：，

（2）解：若與共線，則存在，使得，

即，又因為向量與不共線，

所以，解得，所以

【解析】【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的定義以及數(shù)量積的運算律運算求解；

(2)根據(jù)題意結(jié)合向量共線的判定定理分析運算.

26．【答案】（1）解：點在線段上，則，使得，t>0，

則，又，，

故，根據(jù)題干可知：，，于是

（2）解：，由，，且，

故，又由，，，代入數(shù)據(jù)可得t=1，故.

（3）解：取中點，

則，由，于是，

由，，故為等邊三角形，故，根據(jù)中位線可知，//，于是，在中根據(jù)余弦定理可得，

為銳角，又，故過作的高線時，垂足點落在線段上，由題意垂足點為時，最小.最小值為

，，

在中，根據(jù)余弦定理可求得，

即，故的最小值為.

【解析】【分析】(1)設(shè)，使得，t>0，結(jié)合向量的線性運算可得，列式求解即可；

(2)根據(jù)向量垂直可得，結(jié)合（1）中結(jié)論運算求解；

(3)根據(jù)題意分析可知過作的高線，垂足點為時，最小，進而根據(jù)數(shù)量積的運算律結(jié)合余弦定理運算求解.

27．【答案】（1）解：因為，所以，解得：.

（2）解：因為，所以，解得：.

所以，，

則.

（3）解：當(dāng)時，，所以，

所以，

則與夾角的余弦值是.

【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式即可求得答案；

（2）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式及向量的模運算可得答案；

（3）先求出的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式運算即可得出結(jié)論.

28．【答案】（1）解：由題意知向量，

因為與的夾角為，所以，

即，

解得（負值舍去）

（2）解：因為，

又，則，即，

即得，

又，故，

當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取得等號，

所以

【解析】【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求得，從而得解；

（2）利用兩個向量互相垂直即有，可求得，再用巧用“1”方法解基本不等式即可得出其的最小值