勾股定理一對(duì)一專題講義

PAGE4-知識(shí)點(diǎn)梳理１．勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么２.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，，化簡(jiǎn)可證．方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，，化簡(jiǎn)得證勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。勾股定理的應(yīng)用①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在中，，則，，②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題５.勾股定理的逆定理如果三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中為斜邊。勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長(zhǎng)邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以，，為三邊的三角形是直角三角形；若，時(shí)，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時(shí)，以，，為三邊的三角形是銳角三角形；定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊６.勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）７．勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題．在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解．勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三類型四：判斷三角形的形狀【例題】如果ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。

【練1】已知△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC是否為直角三角形.【練2】.已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，則它的形狀為（）三角形A.直角 B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角【練3】三角形的三邊長(zhǎng)為,則這個(gè)三角形是()三角形（A）等邊（B）鈍角（C）直角（D）銳角類型五：直接考查勾股定理

【例題】在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.【練習(xí)】:如圖∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,則AB的長(zhǎng)是多少?

類型六：構(gòu)造應(yīng)用勾股定理【例題】如圖，已知：在中，，，.求：BC的長(zhǎng).

練：△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求BD的長(zhǎng)．【練習(xí)】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。

類型七：利用勾股定理作長(zhǎng)為的線段

【例題】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。

作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑，

以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為。類型八：勾股定理及其逆定理的一般用法

【例題】若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長(zhǎng)是20，求此直角三角形的面積。

【練習(xí)1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，求它的面積。

2、已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2，周長(zhǎng)是2+，求這個(gè)三角形的面積．3、以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6類型九：生活問題

【例題】如下左圖，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)至少需________米．【練1】種盛飲料的圓柱形杯（如上右圖），測(cè)得內(nèi)部底面半徑為2.5㎝，高為12㎝，吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，問吸管要做㎝。【練2】如下左圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了__________步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。

【練3】如上右圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛米.3、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30o方向往C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或走過四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響.（1）該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說明理由.（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少？（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？類型十：翻折問題【例題】如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長(zhǎng)嗎？1.如圖,矩形紙片ABCD中,已知AD=4,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,折痕為AE,且EF=.則AB的長(zhǎng)為()

【練習(xí)1】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的長(zhǎng)。

【練習(xí)2】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分線交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的長(zhǎng)?！揪毩?xí)3】如圖，把矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處。（1）求證：（2）設(shè)，試猜想之間的一種關(guān)系，并給予證明．【練習(xí)4】如圖,矩形紙片ABCD中,AB=6,BC=,折疊紙片使AD邊與對(duì)角線BD重合,折痕為DG,則AG的長(zhǎng)為

4.如圖所示,將一個(gè)長(zhǎng)方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊.點(diǎn)B落在E點(diǎn),AE交DC于F點(diǎn),已知AB=8cm,BC=4cm.則折疊后重合部分的面積為

5.如圖,把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊起來,使其對(duì)角頂點(diǎn)A與C重合,若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)BC為8,寬AB為4,則折疊后重合部分的面積是

6.如圖所示,在完全重合放置的兩張矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=8,將上面的矩形紙片折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,折痕為EF,點(diǎn)D