固體物理第一二章習(xí)題解答

第一章習(xí)題畫出下列晶體的慣用原胞和布拉菲格子，指明各晶體的結(jié)構(gòu)以及慣用原胞、初基原胞中的原子個(gè)數(shù)和配位數(shù)。氯化鉀；（2）氯化鈦；（3）硅；（4）砷化鎵；（5）碳化硅（6）鉭酸鋰；（7）鈹；（8）鉬；（9）鉑。解：名稱分子式結(jié)構(gòu)慣用元胞布拉菲格子初基元胞中原子數(shù)慣用元胞中原子數(shù)配位數(shù)氯化鉀KClNaCl結(jié)構(gòu)fcc286氯化鈦TiClCsCl結(jié)構(gòu)sc228硅Si金剛石fcc284砷化鎵GaAs閃鋅礦fcc284碳化硅SiC閃鋅礦fcc284鉭酸鋰LiTaO3鈣鈦礦sc552、6、12O、Ta、Li鈹Behcp簡(jiǎn)單六角2612鉬Mobccbcc128鉑Ptfccfcc1412試證明：理想六角密堆積結(jié)構(gòu)的。如果實(shí)際的值比這個(gè)數(shù)值大得多，可以把晶體視為由原子密排平面所組成，這些面是疏松堆垛的。證明：如右圖所示，六角層內(nèi)最近鄰原子間距為a，而相鄰兩層的最近鄰原子間距為：。當(dāng)d=a時(shí)構(gòu)成理想密堆積結(jié)構(gòu)，此時(shí)有：，由此解出：。若時(shí)，則表示原子平面的層間距較理想結(jié)構(gòu)的層間距大，因此層間堆積不夠緊密。畫出立方晶系中的下列晶向和晶面：[01]、[10]、[112]、[121]、（10）、（211）、（11）、（12）。解：鄰兩個(gè)平行晶面的間距為；(c)對(duì)于簡(jiǎn)單立方晶格有。證明：（a）晶面（hkl）在基矢上的截距為。作矢量：，，顯然這三個(gè)矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右圖），且同理，有，所以，倒格矢晶面。（b）晶面族（hkl）的面間距為：（c）對(duì)于簡(jiǎn)單立方晶格：用X光衍射對(duì)Al作結(jié)構(gòu)分析時(shí)，測(cè)得從(111)面反射的波長(zhǎng)為1.54?，反射角為=19.20，求面間距d111。解：由布拉格反射模型，認(rèn)為入射角＝反射角，由布拉格公式：2dsin=，可得（對(duì)主極大取n=1）試證明：勞厄方程與布拉格公式是等效的。證明：由勞厄方程：與正倒格矢關(guān)系：比較可知：若成立，即入射波矢，衍射波矢之差為任意倒格矢，則方向產(chǎn)生衍射光，式稱為倒空間勞厄方程又稱衍射三角形?，F(xiàn)由倒空間勞厄方程出發(fā)，推導(dǎo)Blagg公式。對(duì)彈性散射：。由倒格子性質(zhì)，倒格矢垂直于該晶面族。所以，的垂直平分面必與該晶面族平行。由右圖可知：(A)又若為該方向的最短倒格矢，由倒格矢性質(zhì)有：；若不是該方向最短倒格失，由倒格子周期性：（B）比較（A）、（B）二式可得：2dSin＝n即為Blagg公式。求金剛石的幾何結(jié)構(gòu)因子，并討論衍射面指數(shù)與衍射強(qiáng)度的關(guān)系。解：每個(gè)慣用元胞中有八個(gè)同類原子，其坐標(biāo)為：結(jié)構(gòu)因子：前四項(xiàng)為fcc的結(jié)構(gòu)因子，用Ff表示從后四項(xiàng)提出因子因?yàn)檠苌鋸?qiáng)度，用尤拉公式整理后：討論：1、當(dāng)h、k、l為奇異性數(shù)（奇偶混雜）時(shí)，，所以；2、當(dāng)h、k、l為全奇數(shù)時(shí)，；3、當(dāng)h、k、l全為偶數(shù)，且（n為任意整數(shù)）時(shí)，當(dāng)h、k、l全為偶數(shù)，但，則時(shí)，證明第一布里淵區(qū)的體積為，其中Vc是正格子初基原胞的體積。證明：根據(jù)正、倒格子之間的關(guān)系：，；Vc是正格子初基原胞的體積，第一布里淵區(qū)的體積為就為倒格子原胞的體積，即第二章習(xí)題1、已知某晶體兩相鄰原子間的互作用能可表示成：，求：=1\*GB2⑴晶體平衡時(shí)兩原子間的距離；=2\*GB2⑵平衡時(shí)的二原子間的互作用能；=3\*GB2⑶若取m=2，n=10，兩原子間的平衡距離為3?，僅考慮二原子間互作用則離解能為4eV，計(jì)算a及b的值；=4\*GB2⑷若把互作用勢(shì)中排斥項(xiàng)改用玻恩－梅葉表達(dá)式，并認(rèn)為在平衡時(shí)對(duì)互作用勢(shì)能具有相同的貢獻(xiàn)，求n和p間的關(guān)系。解：(1)由，平衡時(shí)：，得：，化簡(jiǎn)后得：。(2)平衡時(shí)把r0表示式代入U(xiǎn)(r)中：。（3）由r0表示式得：若理解為互作用勢(shì)能為二原子平衡時(shí)系統(tǒng)所具有的能量，由能量最小原理，平衡時(shí)系統(tǒng)能量具有極小值，且為負(fù)值；離解能和結(jié)合能為要把二原子拉開，外力所作的功，為正值，所以，離解能＝結(jié)合能＝－互作用勢(shì)能，由U(r)式的負(fù)值，得：化簡(jiǎn)為：略去第二項(xiàng)計(jì)算可得：(4)由題意得：*，，則：又解：*式兩邊對(duì)r0求導(dǎo)，得：，與*式比較得：可解得：2、N對(duì)離子組成的Nacl晶體相互作用勢(shì)能為：。=1\*GB2⑴證明平衡原子間距為：；=2\*GB2⑵證明平衡時(shí)的互作用勢(shì)能為：；=3\*GB2⑶若試驗(yàn)試驗(yàn)測(cè)得Nacl晶體的結(jié)合能為765kJ/mol，晶格常數(shù)為5.6310-10m，計(jì)算Nacl晶體的排斥能的冪指數(shù)n，已知Nacl晶體的馬德隆常數(shù)是＝1.75。證明：（1）由：得：令：，即得：。（2）把以上結(jié)果代入U(xiǎn)(R)式，并把R取為R0，則：若認(rèn)為結(jié)合能與互作用能符號(hào)相反，則上式乘“－”。（3）由（2）之結(jié)論整理可得：式中：N，庫(kù)侖，法/米若題中R0為異種原子的間矩，則：；U（平衡時(shí)互作用勢(shì)能取極小值，且為負(fù)，而結(jié)合能為正值）馬德隆常數(shù)：，將這些一致數(shù)據(jù)代入n的表達(dá)式中，則：3、如果把晶體的體積寫成：V＝NR3，式中N是晶體中的粒子數(shù)；R是最近鄰粒子間距；是結(jié)構(gòu)因子，試求下列結(jié)構(gòu)的值：=1\*GB2⑴fcc；=2\*GB2⑵bcc；=3\*GB2⑶NaCl；=4\*GB2⑷金剛石。解：取一個(gè)慣用元胞來(lái)考慮：結(jié)構(gòu)V0N0R0fcca34bcca32NaCla381金剛石a384、證明：由兩種離子組成的間距為R0的一維晶格的馬德隆常數(shù)。[已知]證明：由馬德隆常數(shù)的定義：，其中同號(hào)離子取“－”，異號(hào)離子取“＋”。若以一正離子為參考點(diǎn)，則：(A)又由已知，代入（A）式，則：5、假定由2N個(gè)交替帶電荷為的離子排布成一條線，其最近鄰之間的排斥勢(shì)為，試證明在平衡間距下有：。證明：由，得：令：，即得：。把該式代入U(xiǎn)(R)式，并把R取為R0，則：(A)由馬德隆常數(shù)的定義：，其中同號(hào)離子取“－”，異號(hào)離子取“＋”。若以一正離子為參考點(diǎn)，則：(B)又由已知，代入（B）式，則：。將代入(A)式，得：。6、試說(shuō)明為什么當(dāng)正、負(fù)離子半徑比時(shí)不能形成氯化銫結(jié)構(gòu)；當(dāng)時(shí)不能形成氯化鈉結(jié)構(gòu)。當(dāng)時(shí)將形成什么結(jié)構(gòu)？已知RbCl、AgBr及BeS中正、負(fù)離子半徑分別為：晶體r+/nmr-/nmRbClAgBrBeS0.1490.1130.0340.1810.1960.174若把它們看成是典型的離子晶體，試問(wèn)它們具有什么晶體結(jié)構(gòu)？若近似地把正、負(fù)離子都看成是硬小球，請(qǐng)計(jì)算這些晶體的晶格常數(shù)。解：通常，當(dāng)組成晶體時(shí)，可以認(rèn)為正、負(fù)離子球相互密接。對(duì)氯化銫結(jié)構(gòu)，如圖（a）所示，8個(gè)正離子組成立方體，負(fù)離子處在立方體的中心，所以立方體的對(duì)角線，立方體的邊長(zhǎng)為：為了能構(gòu)成氯化銫結(jié)構(gòu)晶體，負(fù)離子的直徑必須小于立方體的邊長(zhǎng)a，即，由此可得：。即為了能構(gòu)成氯化銫結(jié)構(gòu)晶體，必須小于1.37。（a）（b）（c）對(duì)于氯化鈉結(jié)構(gòu)，如圖（b）所示為氯化鈉結(jié)構(gòu)的一個(gè)慣用原胞（100）面的離子分布情況，這里設(shè)正離子處在頂角，由圖可見(jiàn)，，則。所以，構(gòu)成氯化鈉結(jié)構(gòu)必須小于2.41。對(duì)于閃鋅礦結(jié)構(gòu)，如圖（c）所示為閃鋅礦結(jié)構(gòu)的一個(gè)慣用原胞（110）面的離子分布，這