全同粒子體系習(xí)題集解

...wd......wd......wd...第六章全同粒子體系習(xí)題解1．求在自旋態(tài)中，和的不確定關(guān)系：解：在表象中、、的矩陣表示分別為∴在態(tài)中討論：由、的對(duì)易關(guān)系[，]要求①在態(tài)中，∴可見(jiàn)①式符合上式的要求。2．求的本征值和所屬的本征函數(shù)。解：的久期方程為∴的本征值為。設(shè)對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為由本征方程，得由歸一化條件，得即∴對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為設(shè)對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為由本征方程由歸一化條件，得即∴對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為同理可求得的本征值為。其相應(yīng)的本征函數(shù)分別為3．求自旋角動(dòng)量方向的投影本征值和所屬的本征函數(shù)。在這些本征態(tài)中，測(cè)量有哪些可能值這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)的平均值是多少解：在表象，的矩陣元為其相應(yīng)的久期方程為即所以的本征值為。設(shè)對(duì)應(yīng)于的本征函數(shù)的矩陣表示為，則由歸一化條件，得可見(jiàn)，的可能值為相應(yīng)的幾率為同理可求得對(duì)應(yīng)于的本征函數(shù)為在此態(tài)中，的可能值為相應(yīng)的幾率為討論：算符的本征值為，而z方向?yàn)榭臻g的任意方向。現(xiàn)在把z方向特別選為沿方向〔這相當(dāng)于作一個(gè)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)〕，則的本征值也應(yīng)為。另外我們知道，本征值和表象的先取無(wú)關(guān)。這樣選擇并不影響結(jié)果的普遍性。同理的本征值也都是。我們也可以在為對(duì)角矩陣的表象中〔表象〕求本征矢。顯然這時(shí)的知陣為所以本征矢為注意到本征矢是隨著表象選取的不同而改變的。現(xiàn)在是在表象，而上面算出的表象，算出的結(jié)果應(yīng)用所不同，這是合理的。4．在表象中，求的本征態(tài)，是方向的單位矢?！步狻撤椒?lèi)似前題，設(shè)算符的本征矢是：(1)它的本征值是。又將題給的算符展開(kāi)：(2)寫(xiě)出本征方程式：(3)根據(jù)問(wèn)題〔6〕的結(jié)論，,對(duì)的共同本征矢，，運(yùn)算法則是，，，，，〔4〕將這些代入〔3〕，集項(xiàng)后，對(duì)此兩邊，的系數(shù)：〔5〕或〔6〕〔6〕具有非平凡解〔平凡解，〕條件是久期方程式為零，即它的解〔7〕時(shí)，代入〔6〕得：〔8〕的歸一化條件是：將〔8〕代入〔9〕，得：歸一化本征函數(shù)是：〔10〕時(shí)，的關(guān)系是：歸一化本征函數(shù)是：〔11〕是任意的相位因子。此題用矩陣方程式求解：運(yùn)用矩陣算符：，，〔12〕(13)本征方程式是：(14)的本征矢是：,(15)補(bǔ)白：本征矢包含一個(gè)不定的相位因式，由于可以取任意值，因此的形式是多式多樣的，但〔15〕這種表示法是有普遍意義的。5.假設(shè)為泡利矩陣，證明：，并求：〔1〕在表象中的歸一化本征函數(shù)；〔2〕在表象中的歸一化本征函數(shù)；證：由對(duì)易關(guān)系及反對(duì)易關(guān)系，得上式兩邊乘，得∵∴〔1〕在表象中，的矩陣是因此的本征值是1，而本征矢為都已歸一化。在表象中；設(shè)其本征值為，本征矢為容易求得相應(yīng)的歸一化本征函數(shù)為同理，在表象中，，設(shè)其本征值為，本征矢為，則可求得：相應(yīng)歸一化本征函數(shù)為〔2〕求在表象中。算符，的矩陣形式：在表象中，算符，的矩陣形式為對(duì)坐標(biāo)軸作一旋轉(zhuǎn)，把原來(lái)的z軸換成x軸，x軸換成y軸，y軸換成z軸。根據(jù)輪換關(guān)系，容易得出在表象中，算符，的矩陣形式為：在表象中的本征值和本征矢：設(shè)本征值是，則就有具有非零解的條件是當(dāng)時(shí)：歸一化后得：進(jìn)展歸一化得在的本征值和本征矢：設(shè)的本征值為，則具有非零解的條件是當(dāng)時(shí)，，歸一化后得當(dāng)時(shí)，，歸一化后得討論：①大家知道，在表象中，和的本征值都是1，現(xiàn)在又證明了，在表象中，算符，和的本征值仍然是1，這個(gè)結(jié)果充分說(shuō)明了算符的本征值不隨表象變換而改變的規(guī)律。②在求表象中，，的矩陣表示時(shí)，我們是利用x，y，z方向本來(lái)是任意選擇的，可以經(jīng)過(guò)輪換而得出。除此以外，還可以利用第四章第5題的方法，通過(guò)表象變換的方法來(lái)求出和在表象中的矩陣表示，結(jié)果是完全一致的。③由于泡利矩陣，，的本征值是1，而，因此容易推得，自旋算符和的本征值是，它們也不隨表象變換和改變。6．設(shè)矩陣滿(mǎn)足，求證在表象中，求出，得矩陣〔設(shè)無(wú)簡(jiǎn)并〕?！窘狻繉⑹阶蟪耍?，得同式右乘，利用，得相加得，同樣，將左乘、右乘前述一式，可得在用表象時(shí)，的本征矢是基矢，它滿(mǎn)足本征方程式：(1)但是本征值，從復(fù)用運(yùn)算于〔1〕得：但，所以；假定沒(méi)有簡(jiǎn)并態(tài)，僅有兩個(gè)本征值，在自身表象中，其矩陣是對(duì)角的，矩陣元是本征值1和-1〔2〕設(shè)的矩陣，將它代入等式簡(jiǎn)化為，得因此是反對(duì)角矩陣：〔3〕代入條件，有：得即得到含有一個(gè)待定常數(shù)的矩陣關(guān)于另一矩陣也有類(lèi)似的計(jì)算，由于滿(mǎn)足和，因此的矩陣〔含有一個(gè)未定常數(shù)的〕寫(xiě)作：〔5〕待定常數(shù)和之間尚需滿(mǎn)足題給的約束條件，將它列成矩陣：即,或解出用的項(xiàng)表示：或7．滿(mǎn)足以下條件的維矩陣,稱(chēng)為矩陣試求的一般表示式?！窘狻吭O(shè):則代入題給的第一個(gè)條件化成等效的條件同理，代入第二個(gè)條件前列出的八個(gè)方程式并非完全獨(dú)立。容易看出〔2〕與(3)是復(fù)共軛，〔6〕〔7〕也是復(fù)共軛式，；因此只有六個(gè)不相關(guān)方程式，因等，又〔1〕〔5〕相減，〔1〕〔8〕相減，得兩個(gè)關(guān)系式：(9)(10)根據(jù)〔1〕：，因此在不失普遍性的情況下，可以設(shè)定以下形式：〔11〕(12)式中必是實(shí)數(shù)，而，任意實(shí)數(shù)得相因子，根據(jù)〔9〕和〔10〕，同樣可設(shè)：〔13〕〔14〕這四個(gè)元素滿(mǎn)足〔1〕〔4〕〔5〕〔8〕和〔9〕〔10〕，但對(duì)于〔2〕或〔3〕，對(duì)于〔6〕或〔7〕這兩個(gè)條件的滿(mǎn)足，給初相位，，，一些限制，將,,,的表達(dá)式代入(2)得：〔15〕如果使用〔3〕、(6)、(7)諸式，實(shí)際上得不到新的關(guān)系，又將〔15〕遍乘得：(16)其次我們使用題給得第三個(gè)獨(dú)立條件，有〔17〕將〔16〕的關(guān)系代入〔17〕得：即因而有又從〔16〕得，〔19〕由此看來(lái)，，，只有兩個(gè)獨(dú)立，我們假設(shè)選用和表示各元素，有8．9．設(shè)氫的狀態(tài)是①求軌道角動(dòng)量z分量和自旋角動(dòng)量z分量的平均值；②求總磁矩的z分量的平均值〔用玻爾磁矩子表示〕。解：ψ可改寫(xiě)成從ψ的表達(dá)式中可看出的可能值為0相應(yīng)的幾率為的可能值為相應(yīng)的幾率為10．時(shí)氫原子處于態(tài)忽略自旋——軌道相互作用，〔1〕求能量，軌道角動(dòng)量，即自旋角動(dòng)量的可能取值，相應(yīng)幾率及平均值；〔2〕寫(xiě)出時(shí)刻波函數(shù)。解：容易驗(yàn)證，波函數(shù)是歸一化的〔1〕能量的可能取值11．證明和組成的正交歸一系。解：=0同理可證其它的正交歸一關(guān)系。15．一體系由三個(gè)全同的玻色子組成，玻色子之間無(wú)相互作用。玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)和，相應(yīng)的能量為和。寫(xiě)出體系所有可能的波函數(shù)和能量解：體系可能的狀態(tài)有4個(gè)。設(shè)兩個(gè)單粒子態(tài)為，，則體系可能的狀態(tài)為能量能量能量能量附：〔20分〕氫原子在時(shí)處于狀態(tài)其中，為該氫原子的第個(gè)能量本征態(tài)。求能量及自旋分量的取值概率與平均值，寫(xiě)出時(shí)的波函數(shù)。解氫原子的本征值為，〔1〕將時(shí)的波函數(shù)寫(xiě)成矩陣形式〔2〕利用歸一