安徽省安慶市雷池中學高三數學文期末試卷含解析

安徽省安慶市雷池中學高三數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設滿足約束條件，若目標函數的最大值為,則的最小值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D2.若tanθ=2，則cos2θ=（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：D【考點】二倍角的余弦；同角三角函數間的基本關系．【專題】計算題；三角函數的求值．【分析】利用同角三角函數的基本關系，二倍角的余弦公式把要求的式子化為，把已知條件代入運算，求得結果．【解答】解：∵tanθ=2，∴cos2θ=cos2θ﹣sin2θ===﹣，故選D．【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系，二倍角的余弦公式的應用，屬于中檔題．3.設函數，函數，則方程實數根的個數是……………（

）.（A）個

（B）個

（C）個

（D）個參考答案：B4.“φ＝”是“函數為偶函數的”（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：5.已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，為其終邊上一點，則(

)A. B. C. D.參考答案：D【分析】先根據三角函數的定義求出，然后再根據二倍角的余弦公式求出．【詳解】∵為角終邊上一點，∴，∴．故選D．6.雙曲線C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦點F1作曲線C2：x2+y2=a2的切線，設切點為M，延長F1M交曲線C3：y2=2px（p＞0）于點P，其中C1與C3有一個共同的焦點，若M為F1P的中點，則雙曲線C1的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】求出P的坐標，代入拋物線方程，從而求雙曲線的離心率．【解答】解：|OF1|=c，|OM|=a，|F1M|=b，又∵M為PF1的中點，∴|PF2|=2|OM|=2a，|PF1|=2b，∵C1與C3有一個共同的焦點，∴p=2c，設P（x，y），則x+c=2a，∴x=2a﹣c，∵c?yM=ab，∴yM=，∴yP=，代入拋物線方程可得=4c（2a﹣c），∵e＞1，∴e=．故選A．【點評】本題考查了學生的作圖能力及分析轉化的能力，考查了學生數形結合的思想應用，同時考查了雙曲線的定義，屬于中檔題．7.已知正三棱錐A﹣BCD的外接球半徑R=，P，Q分別是AB，BC上的點，且滿足=5，DP⊥PQ，則該正三棱錐的高為（）A． B．

C． D．2參考答案：A【考點】棱錐的結構特征．【分析】將正三棱錐A﹣BCD補成一個正方體，則正方體的體對角線就是其外接直徑，由正方體的性質知正方體的體對角線的三分之一即為該正三棱錐的高，由此能求出該正三棱錐的高．【解答】解：∵正三棱錐中對棱互相垂直，∴AC⊥BD，∵P，Q分別是AB，BC上的點，且滿足==5，∴PQ∥AC，∵DP⊥PQ，∴DP⊥AC，∴AC⊥平面ABD，又∵該三棱錐是正三棱錐，∴正三棱錐A﹣BCD的三條側棱相等且互相垂直，將正三棱錐A﹣BCD補成一個正方體，則正方體的體對角線就是其外接直徑，故2R=，由正方體的性質知正方體的體對角線的三分之一即為該正三棱錐的高，該正三棱錐的高為．故選：A．【點評】本題考查正三棱錐的高的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．8.已知函數f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．（﹣4，4] D．（﹣4，2]參考答案：C【考點】復合函數的單調性；二次函數的性質；對數函數的單調區(qū)間．【分析】若函數f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數，則x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根據二次函數的單調性，我們可得到關于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范圍．【解答】解：若函數f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數，則當x∈[2，+∞）時，x2﹣ax+3a＞0且函數f（x）=x2﹣ax+3a為增函數即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故選C9.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，則此球的表面積是（）A．2π B．4π C．8π D．10π參考答案：C【考點】LG：球的體積和表面積．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，棱柱的體積為，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA1，再求出△ABC外接圓的半徑，即可求得球的半徑，從而可求球的表面積．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，棱柱的體積為，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴×2×1×sin60°×AA1=，∴AA1=2∵BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=．設△ABC外接圓的半徑為R，則=2R，∴R=1．∴外接球的半徑為，∴球的表面積等于4π×（）2=8π．故選：C．10.已知函數（）在一個周期內的圖象如圖所示，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A由圖知，，且，則周期，所以．因為，則，從而．所以，故，選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數滿足約束條件若恒成立，則實數的取值范圍為 .參考答案：略12.已知A，B，C是半徑為l的圓O上的三點，AB為圓O的直徑，P為圓O內一點（含圓周），則的取值范圍為

．參考答案：[﹣，4]．【分析】根據題意，把化為3+2?﹣1，利用參數表示點C（cosα，sinα），P（rcosβ，rsinβ）且0≤r≤1；根據三角函數的有界性求出3+2?﹣1的最值即可．【解答】解：根據題意，=﹣，且||=||=||=1，∴=（+）?（+）+（+）?（+）+（+）?（+）=3+2?（++）+?+（+）?=3+2?﹣1，以點O為坐標原點，建立直角坐標系，設點C（cosα，sinα），點P（rcosβ，rsinβ），且0≤r≤1；則3+2?﹣1=3r2﹣2rcos（α﹣β）﹣1，∴3+2?﹣1≤3r2+2r﹣1≤4，且3+2?﹣1≥3r2﹣2r﹣1≥﹣；∴的取值范圍是[﹣，4]．故答案為：[﹣，4]．13.下列正確命題的序號是____________（1）“”是直線與直線相互垂直的必要不充分條件（2），使得函數是偶函數（3）不等式：≥，

≥，≥，…，由此猜測第個不等式為…≥…（4）若二項式的展開式中所有項的系數之和為，則展開式中的系數是【解析】當時，兩直線為和，此時兩直線垂直，“”是直線與直線相互垂直的充分不必要條件，，所以（1）錯誤，所以當時，為偶函數，所以(2)正確，由歸納推理可知，（3）正確，令，則得所有項系數為，解得，二項式的通項公式為，令，得，所以，所以系數為，所以（4）錯誤，正確的為(2)(3)。參考答案：當時，兩直線為和，此時兩直線垂直，“”是直線與直線相互垂直的充分不必要條件，，所以（1）錯誤，所以當時，為偶函數，所以(2)正確，由歸納推理可知，（3）正確，令，則得所有項系數為，解得，二項式的通項公式為，令，得，所以，所以系數為，所以（4）錯誤，正確的為(2)(3)?！敬鸢浮?2)(3)14.若向量a，b滿足：=，且|a|=2，|b|=4，則a與b的夾角等于.

參考答案：答案：15.已知，，且，則ab的最小值是

．參考答案：因為，當且僅當時取等號.因此的最小值是

16.已知函數的最小正周期為π，則ω=

；若其圖象向右平移個單位后得到的函數為偶函數，則φ的值為

參考答案：；17.已知雙曲線的離心率為2，則實數

．參考答案：答案：12三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)某工廠每天生產某種產品最多不超過40件，并且在生產過程中產品的正品率與每日生產產品件數()間的關系為，每生產一件正品盈利4000元，每出現一件次品虧損2000元.（注：正品率=產品的正品件數÷產品總件數×100%）（Ⅰ）當日產量=30件時，求日利潤為多少？；（Ⅱ）將日利潤表示成日產量的函數，并求該廠的日產量為多少件時，日利潤最大？參考答案：19.正項數列{an}滿足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求數列{an}的通項公式an；（2）令bn=，求數列{bn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數列遞推式；數列的求和．【專題】計算題；等差數列與等比數列．【分析】（1）通過分解因式，利用正項數列{an}，直接求數列{an}的通項公式an；（2）利用數列的通項公式化簡bn=，利用裂項法直接求數列{bn}的前n項和Tn．【解答】解：（1）由正項數列{an}滿足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，可得（an﹣2n）（an+1）=0所以an=2n．（2）因為an=2n，bn=，所以bn===，Tn===．數列{bn}的前n項和Tn為．【點評】本題考查數列的通項公式的求法，裂項法求解數列的和的基本方法，考查計算能力．20.（12分）已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．參考答案：解：（1）設，則.當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.又，故在存在唯一零點.所以在存在唯一零點.（2）由題設知，可得a≤0.由（1）知，在只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.又，所以，當時，.又當時，ax≤0，故.因此，a的取值范圍是.

21.（本小題滿分分）已知橢圓的中心在坐標原點，兩個焦點分別為、，一個頂點為.（1）求橢圓的標準方程；

（2）對于軸上的點，橢圓上存在點，使得，求的取值范圍.參考答案：（1）由題意可得，，，∴．

………………2分∴所求的橢圓的標準方程為：．

………………4分（2）設，則

．

①

………………5分

且，，

………………6分由可得，即

∴．

②

………………7分

由①、②消去整理得．

………………9分

∵，

∴．

………………11分

∵，