江蘇省鹽城市阜寧縣2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

江蘇省鹽城市阜寧縣2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，給出下列4個(gè)條件：①a1=1；②a4=4；③S3=9；④S5=25，若只有一個(gè)條件不成立，則該條件為（）A.① B.②C.③ D.④2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A. B.0C.3 D.53．如果直線與直線垂直，那么的值為（）A. B.C. D.24．某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的選法種數(shù)為（）A.10 B.30C.40 D.465．已知兩直線與，則與間的距離為（）A. B.C. D.6．已知事件A，B相互獨(dú)立，，則（）A.0.24 B.0.8C.0.3 D.0.167．如圖，已知正方體，點(diǎn)P是棱中點(diǎn)，設(shè)直線為a，直線為b．對(duì)于下列兩個(gè)命題：①過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線l與a、b都相交；②過(guò)點(diǎn)P有且只有兩條直線l與a、b都成角．以下判斷正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題8．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則9．設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，則（）A. B.C. D.10．已知分別表示隨機(jī)事件發(fā)生的概率，那么是下列哪個(gè)事件的概率（）A事件同時(shí)發(fā)生B.事件至少有一個(gè)發(fā)生C.事件都不發(fā)生D事件至多有一個(gè)發(fā)生11．在等比數(shù)列{an}中，a1=8，a4=64，則a3等于（）A.16 B.16或-16C.32 D.32或-3212．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過(guò)點(diǎn)的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若、是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.14．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，，點(diǎn)在橢圓上，若，且的面積為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____15．雙曲線的漸近線方程為_(kāi)__________.16．過(guò)直線上一動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M.若直線OM的斜率為-1，求線段AB的長(zhǎng)；（3）如圖，設(shè)橢圓上一點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1（R在第一象限），過(guò)R作兩條不重合直線分別與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)、若直線PR與QR的傾斜角互補(bǔ)，求直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.18．（12分）已知等差數(shù)列}的公差為整數(shù)，為其前n項(xiàng)和，，（1）求{}的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求19．（12分）“雙十一”已經(jīng)成為網(wǎng)民們的網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié)，某電子商務(wù)平臺(tái)對(duì)某市的網(wǎng)民在今年“雙十一”的網(wǎng)購(gòu)情況進(jìn)行摸底調(diào)查，用隨機(jī)抽樣的方法抽取了100人，其消費(fèi)金額（百元）的頻率分布直方圖如圖1所示：（1）利用圖1，求網(wǎng)民消費(fèi)金額的平均值和中位數(shù)；（2）把下表中空格里的數(shù)填上，能否有的把握認(rèn)為網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)與性別有關(guān).男女合計(jì)30合計(jì)45附表：P(χ2≥k0)0.100.050.012.7063.8416.635參考公式：χ2＝.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，且過(guò)點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）已知過(guò)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試探究在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)Q，使得是一個(gè)確定的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由21．（12分）（1）已知：函數(shù)有零點(diǎn)；：所有的非負(fù)整數(shù)都是自然數(shù).若為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知：；：.若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知，（1）若，p且q為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式的基本量計(jì)算，對(duì)比即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，，，，即，即.當(dāng)，時(shí)，①③④均成立，②不成立.故選：B2、D【解析】先畫(huà)出可行域，由，得，作出直線，向上平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入可求得結(jié)果【詳解】不等式組表示的可行域，如圖所示由，得，作出直線，向上平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：D3、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以.故選：A4、C【解析】可分為女教師0人，男教師3人和女教師1人，男教師2人兩種情況，用組合數(shù)表示計(jì)算即得解【詳解】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人若女教師為0人，則男教師有3人，有種選擇；若女教師為1人，則男教師2人，有種選擇；故女教師最多為1人的選法種數(shù)為種故選：C5、B【解析】把直線的方程化簡(jiǎn)，再利用平行線間距離公式直接計(jì)算得解.【詳解】直線的方程化為：，顯然，，所以與間的距離為.故選：B6、B【解析】利用事件獨(dú)立性的概率乘法公式及條件概率公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，所以，所以故選：B7、A【解析】①由正方形的性質(zhì)，可以延伸正方形，再利用兩條平行線確定一個(gè)平面即可；②一組鄰邊與對(duì)角面夾角相等，在平面內(nèi)繞P轉(zhuǎn)動(dòng)，可以得到二條直線與a、b的夾角都等于.【詳解】如下圖所示，在側(cè)面正方形和再延伸一個(gè)正方形和，則平面和在同一個(gè)平面內(nèi)，所以過(guò)點(diǎn)P，有且只有一條直線l，即與a、b相交，故①為真命題；取中點(diǎn)N，連PN，由于a、b為異面直線，a、b的夾角等于與b的夾角.由于平面，平面，，所以平面，所以與與b的夾角都為.又因?yàn)槠矫?，所以與與b的夾角都為，而，所以過(guò)點(diǎn)P，在平面內(nèi)存在一條直線，使得與與b的夾角都為，同理可得，過(guò)點(diǎn)P，在平面內(nèi)存在一條直線，使得與與的夾角都為；故②為真命題.故選：A8、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案【詳解】解：對(duì)于A：若，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，根據(jù)面面垂直的判定定理可得，故C正確；對(duì)于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯(cuò)誤；故選：C9、B【解析】當(dāng)可求得；當(dāng)時(shí)，可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，由求得后，利用可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，由得：，即，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，，故選：B.10、C【解析】表示事件至少有一個(gè)發(fā)生概率，據(jù)此得到答案.【詳解】分別表示隨機(jī)事件發(fā)生的概率，表示事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率，故表示事件都不發(fā)生的概率.故選：C.11、C【解析】首先根據(jù)a4=a1q3，求得q=2，再由a3=即可得解.【詳解】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.故選：C12、A【解析】由切線的性質(zhì)，可得，，再結(jié)合橢圓定義，即得解【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線圓的切線，，，所以由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)雙曲線的定義算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率.【詳解】因?yàn)椤鰽BF2為等邊三角形，可知，A為雙曲線上一點(diǎn)，，B為雙曲線上一點(diǎn)，則，即，∴由，則，已知，在△F1AF2中應(yīng)用余弦定理得：，得c2=7a2，則e2＝7?e＝故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率，常常不能經(jīng)過(guò)條件直接得到a，c的值，這時(shí)可將或視為一個(gè)整體，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的方程，從而得到離心率的值.14、【解析】由題意得到為直角三角形．設(shè)，，根據(jù)橢圓的離心率，定義，直角三角形的面積公式，勾股定理建立方程的方程組，消元后可求得的值.【詳解】由題可知，∴,又，代入上式整理得，由得為直角三角形又的面積為4，設(shè)，，則解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為15、【解析】將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程后求解【詳解】，化簡(jiǎn)得，其漸近線方程故答案為：16、【解析】當(dāng)圓心與點(diǎn)的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)，最小，則四邊形的面積最小，此時(shí)是點(diǎn)到已知直線的垂線段.然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式和面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：根據(jù)題意可知：當(dāng)圓心與點(diǎn)的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)，最小，則四邊形的面積最小，此時(shí)是點(diǎn)到已知直線的垂線段.圓心到直線的距離為四邊形面積的最小值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a即可計(jì)算得解.(2)將代入橢圓的方程，再結(jié)合給定條件求出k值即可計(jì)算出AB的長(zhǎng).(3)設(shè)出直線PR的方程，再與橢圓的方程聯(lián)立求出點(diǎn)P坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)Q坐標(biāo)，計(jì)算PQ的斜率即可作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，橢圓的半焦距c=1，而，解得，則，所以橢圓的方程是：.【小問(wèn)2詳解】由消去y并整理得：，解得，，于是得線段AB的中點(diǎn)，直線OM斜率為，解得，因此，，所以線段AB的長(zhǎng)為.【小問(wèn)3詳解】由(1)知，點(diǎn)，依題意，設(shè)直線PR的斜率為，直線PR方程為：，由消去y并整理得，，設(shè)點(diǎn)，則有，顯然直線QR的斜率為-t，設(shè)點(diǎn)，同理有，于是得直線PQ的斜率，所以直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫(xiě)出橢圓方程②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出方程，即可解得答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和的方法求得答案.小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，則,整理可得：，∵d是整數(shù)，解得，從而，所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：;【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以19、（1），（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有【解析】（1）根據(jù)平均數(shù)的定義求平均數(shù)，由于前2組的頻率和恰好為，從而可求出中位數(shù)，（2）根據(jù)頻率分布表結(jié)合已知的數(shù)據(jù)計(jì)算完成列聯(lián)表，然后計(jì)算χ2公式計(jì)算χ2，再根據(jù)臨界值表比較可得結(jié)論【小問(wèn)1詳解】以每組的中間值代表本組的消費(fèi)金額，則網(wǎng)民消費(fèi)金額的平均值為0.頻率直方圖中第一組、第二組的頻率之和為，中位數(shù)；【小問(wèn)2詳解】把下表中空格里的數(shù)填上，得列聯(lián)表如下；男女合計(jì)252550203050合計(jì)4555100計(jì)算，所以沒(méi)有的把握認(rèn)為網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)與性別有關(guān).20、（1）（2）存在，定點(diǎn)【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合是常數(shù)列方程，從而求得定點(diǎn)的坐標(biāo).小問(wèn)1詳解】，，由題可得：.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以則恒成立，則，解得，，，此時(shí)，即存在定點(diǎn)滿足條件當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x＝－2，可得，，設(shè)要使得是一個(gè)常數(shù)，即，顯然，也使得成立；綜上所述：存在定點(diǎn)滿足條件.21、（1）；（2）.【解析】(1)易知為真命題，根據(jù)且命題的真假可知為假命題，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的根之間的關(guān)系得出，解不等式即可；(2)根據(jù)一元二次不等式的解法可得和，結(jié)合必要不充分條件的概念可得，利用集合與集合之間的關(guān)系即可得出答案.【詳解】解：（1）對(duì)于：所有的非負(fù)整數(shù)都是自然數(shù)，顯然正確.因?yàn)闉榧伲詾榧?所以“函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)