專(zhuān)題12銳角的三角函數(shù)（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)9種題型4個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)2種中考考法）

專(zhuān)題12銳角的三角函數(shù)（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)9種題型2種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.正切的定義（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.坡度和坡角的定義（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.正弦、余弦的定義（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4.30°，45°，60°角的三角函數(shù)值（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)5.互為余角的銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.求銳角三角函數(shù)值題型2.銳角三角函數(shù)與網(wǎng)格、平面直角坐標(biāo)系的綜合題型3.坡度的應(yīng)用題型4.特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算題型5.三角函數(shù)間關(guān)系的運(yùn)用題型6.利用銳角三角函數(shù)的增減性判斷角的取值范圍題型7利用特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀題型8.利用銳角三角函數(shù)解決幾何問(wèn)題題型9.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.銳角三角函數(shù)的定義考法2.特殊角的三角函數(shù)值【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握正切、正弦、余弦的定義，并能根據(jù)它們的定義求一個(gè)銳角的正切、正弦和余弦的值。理解坡度、破角的定義，并能利用它們解決相關(guān)問(wèn)題。能夠由所給數(shù)據(jù)求出銳角三角函數(shù)值。4.熟記三個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，并能準(zhǔn)確地加以運(yùn)用。5.掌握互余兩角的正、余弦之間的關(guān)系，并利用這一性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。6.會(huì)利用計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值，或根據(jù)三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角。【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.正切的定義（重點(diǎn)）正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊＝．知識(shí)點(diǎn)2.坡度和坡角的定義（重點(diǎn)）（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫(xiě)成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問(wèn)題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．知識(shí)點(diǎn)3.正弦、余弦的定義（重點(diǎn)）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對(duì)邊除以斜邊＝．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝．知識(shí)點(diǎn)4.30°，45°，60°角的三角函數(shù)值（重點(diǎn)）（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．知識(shí)點(diǎn)5.互為余角的銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（難點(diǎn)）在直角三角形中，∠A+∠B＝90°時(shí)，正余弦之間的關(guān)系為：①一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；②一個(gè)角的余弦值等于這個(gè)角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．【方法二】實(shí)例探索法題型1.求銳角三角函數(shù)值1．（2023?鏡湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，則cosB的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)余弦的定義求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，由銳角的余弦，得，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握銳角的余弦等于銳角的鄰邊比斜邊．2．（2021秋?蕭縣期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則tanA的值是（）A． B． C． D．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tanA＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?安徽月考）如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，則sinA的值為（）A． B． C． D．【分析】先利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∴sinA＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．題型2.銳角三角函數(shù)與網(wǎng)格、平面直角坐標(biāo)系的綜合4．（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形網(wǎng)格中，若連接格點(diǎn)、，與交于點(diǎn)O，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】如圖，連接，由正方形的性質(zhì)可得：，，，再求解的正切即可.【詳解】解：如圖，連接，由正方形的性質(zhì)可得：，，，∴，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求解銳角的正切，熟練構(gòu)建需要的直角三角形是解本題的關(guān)鍵.5．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則_____．【答案】【分析】作的高．利用勾股定理求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，作的高，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．6．（2022秋?池州期末）如圖，△ABC在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，那么∠ABC的正切值為．【分析】根據(jù)題意和圖形，可以求得AC、BC和AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷△ACB的形狀，然后即可求得∠ABC的正弦值．【解答】解：由圖可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴tan∠ABC＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7．（2023?亳州模擬）如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosC＝．【分析】作△ABC的高AH．利用勾股定理求出AC，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，作△ABC的高AH，∵∠H＝90°，AH＝2，CH＝4，∴AC＝＝，∴cosC＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．題型3.坡度的應(yīng)用8．（2023春?蕭縣月考）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物體從地面送到離地面10米高的地方，那么該物體所經(jīng)過(guò)的路程是米．【分析】根據(jù)坡度的概念求出水平距離，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵傳送帶與地面所成斜坡的坡度i＝1：3，它把物體從地面送到離地面10米高，∴水平距離為：3×10＝30（米），∴物體所經(jīng)過(guò)的路程為：＝10（米），故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?寧國(guó)市期末）如圖，在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若BD的坡度是1：2，則tan∠DEC的值是．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，設(shè)CD＝2a，易證△ABE≌△CDF（AAS），從而可求出AE＝CF＝a，BE＝FD＝1，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，在△ABE與△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，BE＝FD，∵AE⊥BD，tan∠ADB＝＝，設(shè)AB＝a，則AD＝2a，∴BD＝a，∵S△ABD＝BD?AE＝AB?AD，∴AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a，∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，∴tan∠DEC＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的應(yīng)用——坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握三角形的相關(guān)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．題型4.特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算10．（2022秋?寧國(guó)市期末）計(jì)算：（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則、特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算．【解答】解：（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°＝﹣1+2×﹣++（）2＝﹣1++3＝2+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?長(zhǎng)豐縣校級(jí)期末）計(jì)算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．【解答】解：原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣1+﹣＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．12．（2022秋?池州期末）計(jì)算：2sin45°﹣+．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．【解答】解：原式＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．13.（2022秋?宣城期末）計(jì)算：cos230°+sin245°﹣tan60°?tan30°【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入求出答案．【解答】解：原式＝（）2+（）2﹣?＝+﹣1＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．14．（2022秋?定遠(yuǎn)縣期末）計(jì)算：（1）cos30°sin45°+sin30°cos45°；（2）．【分析】（1）將特殊角的三角函數(shù)值代入求解；（2）將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．【解答】解：（1）原式＝×+×＝；（2）原式＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．15．（2023?池州模擬）計(jì)算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．16．（2023春?蚌埠月考）計(jì)算：sin45°?cos45°﹣tan60°÷cos30°．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：sin45°?cos45°﹣tan60°÷cos30°＝×﹣÷＝﹣2＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．17．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）計(jì)算：2tan45°﹣﹣2sin260°．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：原式＝2×1﹣﹣2×（）2＝2﹣2﹣2×＝2﹣2﹣＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．題型5.三角函數(shù)間關(guān)系的運(yùn)用18．（2022秋?懷寧縣月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則cosB的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系即可以求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，，∴．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，掌握一個(gè)角的正弦等于它余角的余弦是關(guān)鍵．19．（2022秋?池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，則sinB的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，由于tanA＝＝2，可設(shè)a＝2k，b＝k，由勾股定理得，c＝＝5k，∴sinB＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系，掌握銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．20．（2023春?金安區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，則sinB＝．【分析】根據(jù)勾股定理，可得AB與BC的關(guān)系，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案．【解答】解：∵∠C＝90°，tanA＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確利用勾股定理求出邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．21．（2021秋?金牛區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，則sinA+cosA＝．【分析】根據(jù)tanA＝2和三角函數(shù)的定義畫(huà)出圖形，進(jìn)而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA的值．【解答】解：如圖，∵tanA＝2，∴設(shè)AB＝x，則BC＝2x，AC＝＝x則有：sinA+cosA＝+＝+＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，只要畫(huà)出圖形，即可將正弦、余弦、正切函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而得出結(jié)論．22．（2021秋?安徽月考）若sinA＝，則tanA＝．【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A的度數(shù)，然后求出tanA的值．【解答】解：∵sinA＝，∴∠A＝30°，則tanA＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值．23．（2023?懷寧縣一模）若∠A是銳角，且tanA＝2sinA，則∠A＝．【分析】根據(jù)tanA＝和tanA＝2sinA得出＝2sinA，求出cosA＝，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出答案即可．【解答】解：∵tanA＝，又∵∠A是銳角，tanA＝2sinA，∴＝2sinA，∴cosA＝，∴∠A＝60°．故答案為：60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系和特殊角的三角函數(shù)值，能熟記tanA＝是解此題的關(guān)鍵．24．（2021?安慶模擬）已知sina＝（a為銳角），則tana＝．【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，求出各條邊的長(zhǎng)，再求出答案．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，由于sina＝＝，因此設(shè)BC＝5k，則AB＝13k，由勾股定理得，AC＝＝＝12k，∴tanα＝tanA＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，利用勾股定理求出各條邊的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．25．（2022秋?宣州區(qū)期末）已知α為銳角，cosα＝，求tanα﹣的值．【分析】根據(jù)cos2α+sin2α＝1，tanα＝，可得答案．【解答】解：α為銳角，cosα＝，得sinα＝＝，tanα＝＝＝2．tanα﹣＝2﹣＝﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，利用cos2α+sin2α＝1，tanα＝是解題關(guān)鍵．26．（2022秋?宿州月考）已知∠A是銳角，cosA＝，求sinA，tanA的值．【分析】根據(jù)同一銳角的正弦與余弦的平方和是1和tanA＝，即可求解．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sinA＝或﹣（舍去），∴sinA＝．∵tanA＝，∴tanA＝＝，故sinA＝，tanA＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角的三角函數(shù)，關(guān)鍵是掌握同一銳角的正弦與余弦之間的關(guān)系：對(duì)任一銳角α，都有sin2α+cos2α＝1，tanA＝．題型6.利用銳角三角函數(shù)的增減性判斷角的取值范圍27．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則銳角A的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先把所有的三角函數(shù)都化成余弦函數(shù)，然后利用余弦函數(shù)的增減性即可求解．【詳解】解：故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的增減性及互余三角函數(shù)之間的關(guān)系，尤其余弦函數(shù)的增減性容易出錯(cuò)．28．（2023?安徽模擬）比較大?。簊in81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．【分析】根據(jù)sin81°＜1，tan47°＞1即可求解．【解答】解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin81°＜1＜tan47°，∴sin81°＜tan47°．故答案為＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)值的增減性：當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；③正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）．也考查了不等式的傳遞性．29．（2022秋?天長(zhǎng)市月考）比較大?。簍an40°tan50°（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】根據(jù)正切值隨銳角的增減而變化的情況進(jìn)行解答即可．【解答】解：由于一個(gè)銳角的正切值所這銳角的增大而增大，所以tan40°＜tan50°，故答案為：＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的增減性，掌握一個(gè)銳角的正切值隨著銳角的增大而增大是正確解答的關(guān)鍵．題型7.利用特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀30．（2012秋?樅陽(yáng)縣月考）若△ABC中，銳角A、B滿足，則△ABC是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到sinA＝，cosB＝，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到銳角A＝60°，銳角B＝60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)題意得sinA﹣＝0，cosB﹣＝0，∴sinA＝，cosB＝，∴銳角A＝60°，銳角B＝60°，∴△ABC為等邊三角形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；31．（2023春·安徽滁州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，都是銳角，，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形【答案】D【分析】．【詳解】解：∵在中，都是銳角，，∴，∴，∴是銳角三角形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類(lèi)，熟知等特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．題型8.利用銳角三角函數(shù)解決幾何問(wèn)題32．（2023春·陜西銅川·九年級(jí)銅川市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，以點(diǎn)A為圓心、AD為半徑畫(huà)弧交BC于點(diǎn)E．DF⊥AE于F．若E恰好為BC的中點(diǎn).⑴∠BAE＝°；⑵DF平分AE嗎？證明你的結(jié)論.【答案】⑴30°⑵DF平分AE，證明見(jiàn)解析【分析】（1）可先證，利用中點(diǎn)的性質(zhì)易得∠BAE的正弦值，可知其度數(shù)；（2）連接DE，結(jié)合（1）中結(jié)論，可證是等邊三角形，根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】解：（1）是以點(diǎn)A為圓心、AD為半徑畫(huà)弧得到的四邊形ABCD是矩形點(diǎn)E恰好為BC的中點(diǎn)（2）DF平分AE.如圖，連接DE由（1）知，，是等邊三角形所以DF平分AE.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與三角形的綜合，還涉及了解直角三角形，靈活的利用矩形與等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.33．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在一次課題學(xué)習(xí)中，老師讓同學(xué)們合作編題，某學(xué)習(xí)小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，編寫(xiě)了下面這道題，請(qǐng)你來(lái)解一解：如圖，將矩形ABCD的四邊BA，CB，DC，AD分別延長(zhǎng)至E，F(xiàn)，G，H，使得，，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．（1）判斷四邊形EFGH的形狀，并證明；（2）若矩形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且，，求AE的長(zhǎng)．【答案】（1）平行四邊形，證明見(jiàn)解析；（2）2【分析】（1）由四邊形ABCD為矩形，，可得BE=DG，F(xiàn)C=AH，由勾股定理可得EH=FG，EF=GH，故四邊形EFGH為平行四邊形．（2）設(shè)AE為x，由，可求得BF=DH=x+1，AH=x+2，由可求得AH=2x，則x=2，即AE=2.【詳解】（1）∵四邊形ABCD為矩形∴AD=BC，AB=CD，∠HAB=∠EBC=∠FCD=∠ADG=90°，又∵，∴BE=DG，F(xiàn)C=AH∴，，，∴EH=FG，EF=GH∴四邊形EFGH為平行四邊形．（2）設(shè)AE=x則BE=DG=x+1在中，∴∵BF=DH=x+1∴AH=x+1+1=x+2又∵∴∴AH=2AE=2x∴2x=x+2解得x=2，∴AE=2【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和解直角三角形，熟練掌握平行四邊形的判定從而證明出EH=FG，EF=GH是解題關(guān)鍵．34．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在上，其中．(1)證明：．(2)若，求的值．(3)設(shè)，和的面積分別為，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)；(3)見(jiàn)解析【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)證得，，即可證明；（2）利用勾股定理求得，，利用余弦函數(shù)的定義即可求解；（3）求得，推出和的相似比為，得到，由，據(jù)此即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴；∵，∴；（3）解：由（1）得，∴，∵，，∴，∴，∴和的相似比為，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，余弦函數(shù)的定義，解第3小題的關(guān)鍵是得到和的相似比為．35．（2023春·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，已知四邊形是矩形，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，相交于點(diǎn)G，與相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求；(3)如圖2，連接，請(qǐng)判定三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）證明，得出，證得，則結(jié)論得出；（2）證明，得出，解方程即可得出答案；（3）在線段上取點(diǎn)P，使得，證明，得出，證得為等腰直角三角形，可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，∴，又∵，∴，∴，∴，即，故；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，又∵，即，解得或（舍去）；∴；（3）證明：如圖，在線段上取點(diǎn)，使得，在與中，，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，求正切，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明出以及證明出．題型9.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題36．（2023秋·重慶巴南·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，的面積為．根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化規(guī)律進(jìn)行探究．(1)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，注明x的取值范圍，并畫(huà)出y的函數(shù)圖像；(2)觀察y的函數(shù)圖像，寫(xiě)出一條該函數(shù)的性質(zhì)；(3)觀察圖像，直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，x的值______．（保留1位小數(shù)，誤差不超過(guò)）【答案】(1)，見(jiàn)解析(2)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大(3)或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一，計(jì)算，根據(jù)面積公式，分類(lèi)計(jì)算即可．（2）根據(jù)圖像的性質(zhì)描述即可．（3）分類(lèi)計(jì)算即可．【詳解】（1）∵，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，則，∴，故，畫(huà)圖像如下：

．（2）根據(jù)圖像，可得當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．（3）∵，∴或，∵保留1位小數(shù)，誤差不超過(guò)，∴或，故或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三線合一性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，函數(shù)的圖像，誤差，熟練掌握三線合一性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．37．（2023秋·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在菱形中，，，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，然后以同樣速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．設(shè)當(dāng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒時(shí)，長(zhǎng)為y．下面是小聰?shù)奶骄窟^(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．(1)根據(jù)三角函數(shù)值小聰想到連接交于點(diǎn)O（如圖2），請(qǐng)同學(xué)們幫忙求的長(zhǎng)．(2)小聰學(xué)習(xí)了函數(shù)知識(shí)后，運(yùn)用函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，對(duì)y與x的變化規(guī)律進(jìn)行了下列探究，根據(jù)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)到不同位置進(jìn)行畫(huà)圖、測(cè)量，分別得到了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，并畫(huà)出了函數(shù)圖象（如圖3）：x012345y54．824．845．065．466請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)探究點(diǎn)E在上的運(yùn)動(dòng)情況，在同一坐標(biāo)系中補(bǔ)全圖象，并寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的兩條性質(zhì)．(3)結(jié)合圖象探究發(fā)現(xiàn)時(shí)，x有四個(gè)不同的值．求y取何值時(shí)，x有且僅有兩個(gè)不同的值．【答案】(1)；(2)補(bǔ)全圖見(jiàn)解析，這個(gè)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；這個(gè)函數(shù)的最大值為6；(3)當(dāng)或時(shí)，x有且僅有兩個(gè)不同的值．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)求得，在中，利用正弦函數(shù)即可求解；（2）根據(jù)，知點(diǎn)E在上的運(yùn)動(dòng)情況，與點(diǎn)E在上的運(yùn)動(dòng)情況對(duì)稱(chēng)，據(jù)此可補(bǔ)全圖象，根據(jù)圖象可寫(xiě)出其性質(zhì)；（3）觀察圖象知當(dāng)或y取最小值時(shí)，x有且僅有兩個(gè)不同的值，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形菱形，∴，即，在中，，，∴，∴；（2）解：∵四邊形菱形，∴，∴點(diǎn)E在上的運(yùn)動(dòng)情況，與點(diǎn)E在上的運(yùn)動(dòng)情況對(duì)稱(chēng)，在同一坐標(biāo)系中補(bǔ)全圖象如圖，這個(gè)函數(shù)的兩條性質(zhì)：①這個(gè)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；②這個(gè)函數(shù)的最大值為6；（3）解：觀察圖象，當(dāng)時(shí)，x有且僅有兩個(gè)不同的值；當(dāng)y取最小值時(shí)，x也有且僅有兩個(gè)不同的值，此時(shí)，或，在中，，，∴，∴；綜上，當(dāng)或時(shí)，x有且僅有兩個(gè)不同的值【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)、動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的圖象，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.銳角三角函數(shù)的定義1．（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3【分析】根據(jù)OP∥AB，證明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，根據(jù)∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根據(jù)P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解題的關(guān)鍵．2．（2022?濱州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，進(jìn)而利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系，即可得出答案．【解答】解：如圖所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sinA＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角三角函數(shù)關(guān)系以及勾股定理，得出AB的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．3．（2022?揚(yáng)州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若b2＝ac，則sinA的值為．．【分析】根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式兩邊同時(shí)除以ac得：＝+1，令＝x，則有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），當(dāng)x＝時(shí)，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sinA＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．考法2.特殊角的三角函數(shù)值4．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．5．（2022?綏化）定義一種運(yùn)算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：當(dāng)α＝45°，β＝30°時(shí)，sin（45°+30°）＝×+×＝，則sin15°的值為．【分析】把15°看成是45°與30°的差，再代入公式計(jì)算得結(jié)論．【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝﹣＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022?廣東）sin30°＝．【分析】熟記特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可得出答案．【解答】解：sin30°＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．7．（2022?荊門(mén)）計(jì)算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．【分析】先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立方根，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，準(zhǔn)確熟練地化簡(jiǎn)各式是解題的關(guān)鍵．8．（2022?金華）計(jì)算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．9．（2022?樂(lè)山）sin30°+﹣2﹣1．【分析】分別利用特殊角的三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義及負(fù)整數(shù)指數(shù)的定義運(yùn)算，然后合并即可求解．【解答】解：原式＝+3﹣＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見(jiàn)的計(jì)算題型．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)算【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2022秋·安徽亳州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知sin42°≈，則cos48°的值約為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系得出答案．【詳解】解：cos48°＝sin（90°﹣48°）＝sin42°≈，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，理解銳角三角函數(shù)的定義，得出互余兩角三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽淮南·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】采用特值法，取當(dāng)時(shí)，計(jì)算出各個(gè)三角函數(shù)值，即可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，，，符合這一結(jié)論的只有B．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了特值法，特殊角的三角函數(shù)值，掌握特值法及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系即可以求解．【詳解】解：在中，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，一個(gè)角的正弦等于它余角的余弦．4．（2020秋·安徽淮北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則銳角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)銳角余弦函數(shù)值在0°到90°中，隨角度的增大而減小進(jìn)行對(duì)比即可；【詳解】銳角余弦函數(shù)值隨角度的增大而減小，∵cos30°=，cos45°=，∴若銳角的余弦值為，且則30°＜α＜45°；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，掌握銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.5．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在中，，，，那么的值是：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)即可解答．【詳解】解：∵，，，∴根據(jù)勾股定理可得：，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正弦值，解題的關(guān)鍵是掌握正弦的定義，根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形．6．（2023秋·安徽滁州·九年級(jí)?？计谀┰谥校?，則是（

）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般銳角三角形【答案】B【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值求得角度，進(jìn)而判斷三角形的性質(zhì)即可．【詳解】解：∵，∴，，，是等腰直角三角形．故選B【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．7．（2023·安徽合肥·一模）一個(gè)鋼球沿坡角的斜坡向上滾動(dòng)了5米，此時(shí)鋼球距地面的高度是（單位：米）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】鐵球上滾的距離，鐵球距地面的高度，可看作直角三角形的斜邊與已知角的對(duì)邊，可利用正弦函數(shù)求解．【詳解】鐵球上滾的距離鐵球距地面的高度，鐵球距地面的高度．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一個(gè)角的正弦等于這個(gè)角的對(duì)邊比斜邊，熟知三角形的正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·安徽宣城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，于點(diǎn)E，設(shè)，且，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角的余角相等，得；根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理可求的長(zhǎng)．【詳解】∵四邊形是矩形，∴∴，，，，在中，，設(shè)，則，解得：，．故選：A．【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了銳角三角函數(shù)的知識(shí)、矩形的性質(zhì)．熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·安徽滁州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B，C在y軸上，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得到，所以，即兩角互余，即可得到【詳解】∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩角互余時(shí)角的三角函數(shù)關(guān)系及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵10．（2021·安徽淮南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如果等腰三角形的底角為30°，腰長(zhǎng)為6cm，那么這個(gè)三角形的面積為（）A．2 B．9cm2 C．18cm2 D．36cm2【答案】B【分析】作底邊上的高運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)定義分別求三角形的高和底邊長(zhǎng)，代入公式計(jì)算求解．【詳解】解：如圖，作底邊上的高AD，∵∠B＝30°，AB＝6cm，AD為高，∴AD＝ABsinB＝ABsin30°＝3，BD＝ABcosB＝6×＝3，∴BC＝2BD＝6，∴S△ABC＝，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的面積的求法和三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形中底邊上的高也是底邊上的中線求解．二、填空題11．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則．【答案】【分析】作的高．利用勾股定理求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，作的高，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．12．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”）．【答案】【分析】根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)值的增減性：當(dāng)角度在間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。虎谟嘞抑惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；③正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）．也考查了不等式的傳遞性．13．（2023秋·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，，，，則．【答案】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：在中，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義的運(yùn)用．正切值等于對(duì)邊比鄰邊，掌握定義是解題的關(guān)鍵．14．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）在中，，，，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處．請(qǐng)完成下列問(wèn)題：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】【分析】（1）在中，，，利用，即可求出的值，即可求出的長(zhǎng)度；（2）交于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，，利用勾股定理求出，將沿直線翻折得到，可得到，可得到，結(jié)合，求出的長(zhǎng)，即可得到最后結(jié)果．【詳解】解：（1）在中，，，設(shè)，，，解得：，；故答案為：10．（2）如圖，交于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，，，是邊的中點(diǎn)，，，，，將沿直線翻折得到，，，，，，，，，，，，．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，也考查了折疊的性質(zhì)和解直角三角形，勾股定理，三角函數(shù)，正確作出輔助線構(gòu)造成比例線段是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考三模）計(jì)算：．【答案】【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行加減計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，準(zhǔn)確熟練地化簡(jiǎn)各式是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·安徽宣城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知為銳角，，求的值．【答案】【分析】根據(jù)，，可得，，代入所求式子可得答案．【詳解】解：為銳角，，得，．．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，利用，是解題關(guān)鍵．17．（2022·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，點(diǎn)E在邊上，，連接．(1)求證：四邊形是菱形．(2)已知點(diǎn)F為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)三角形全等證明相應(yīng)角和相應(yīng)邊相等，再根據(jù)證明內(nèi)錯(cuò)角相等，從而得到，從而證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行證明；（2）先連接，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的比值求出的長(zhǎng)度，從而求出的長(zhǎng)度，再求出的長(zhǎng)度，從而求出的長(zhǎng)度．【詳解】（1）解：∵∴，∵∴∴∴∴∵，∴四邊形為平行四邊形∵∴四邊形為菱形（2）解：連接交與點(diǎn)，如圖所示∵四邊形為菱形∴，∴∵∴∵，∴∴∵點(diǎn)F為中點(diǎn)∴∵∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．18．（2023·安徽安慶·安慶市第四中學(xué)校考二模）如圖，四邊形中，對(duì)角線，．以為圓心，分別以為半徑作弧，交于點(diǎn)，連接．(1)按照題意作圖，保留作圖痕跡；(2)求證：四邊形是平行四邊形；(3)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意作圖即可；（2）根據(jù)作圖得出，，根據(jù)等腰三角形的判定得出，，根據(jù)，得出，，根據(jù)平行線的判定得出，，即可證明四邊形是平行四邊形；（3）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出，得出，求出，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出，根據(jù)三角形函數(shù)求出，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出，即可求出．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）證明：根據(jù)作圖可知，，，∴，，∵，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．（3）解：過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，如圖所示：則，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，，∴，∴，∵，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，含直角三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)．19．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方形中，E為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，作交分別于兩點(diǎn)，連接．(1)若，求∠DEC的度數(shù)；(2)當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)．①求證：F為的中點(diǎn)；②若正方形的邊長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）由線段關(guān)系可求，由銳角三角函數(shù)可求解；（2）①由“”可證，可得，即可求解；②由銳角三角函數(shù)可求的長(zhǎng)，可求的長(zhǎng)，由“”可證，可得，，，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴；（2）①證明：∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴F為的中點(diǎn)；②如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)N，使得，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．20．（2021春·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，正方形ABCD邊長(zhǎng)為10，P為邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于直線CP對(duì)稱(chēng)，直線CP與ED交于點(diǎn)F，連接CE，BF．（1）求證：△CDE是等腰三角形；（2）求∠BFC的度數(shù)；（3）如圖2，若點(diǎn)P為AD中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠BFC的度數(shù)為45°；（3）EF的長(zhǎng)為4．【分析】（1）由題意可以得到CD=CE，從而得證；（2）設(shè)BF交AD于Q，則可以證得∠FDP+∠FQP=90°，從而得到∠QFD=90°，進(jìn)一步可得∠BFC的度數(shù)；（3）連結(jié)BE，交CF于點(diǎn)H，交CD于N，可得△BCN≌△CPD，從而得到C