江蘇省蘇州高新區(qū)一中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

江蘇省蘇州高新區(qū)一中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓柱的表面積為定值，當(dāng)圓柱的容積最大時(shí)，圓柱的高的值為（）A.1 B.C. D.22．已知橢圓與直線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則a的值為（）A. B.3C. D.3．向量，向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.1C. D.4．已知圓與直線，則圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.45．中國景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛，如圖1這個(gè)精美的青花瓷花瓶，它的頸部（圖2）外形上下對(duì)稱，基本可看作是離心率為的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，若該頸部中最細(xì)處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為（）A.10 B.20C.30 D.406．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A. B.C. D.7．命題：，的否定為（）A.， B.不存在，C.， D.，8．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念．在研究切線時(shí)認(rèn)識(shí)到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若，對(duì)，且．總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.9．已知數(shù)列滿足：，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知直線過點(diǎn)且與直線平行，則直線方程為（）A. B.C. D.11．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，，A為垂足．如果直線AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.812．金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長為2，則它外接球的體積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，150，50件．為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取___________件14．已知圓：和圓：，動(dòng)圓M同時(shí)與圓及圓外切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程為______.15．已知，，則以AB為直徑的圓的方程為___________.16．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四邊形ABCD是正方形，四邊形BEDF是菱形，平面平面.（1）證明：；（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE與平面CDF所成的二面角的正弦值.18．（12分）如圖，在多面體ABCEF中，和均為等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，（1）證明：（2）若平面平面ACE，求二面角余弦值.19．（12分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PBC是邊長為2的等邊三角形，M，N分別為AB，AP的中點(diǎn)．過MN的平面與側(cè)面PBC交于EF（1）求證：；（2）若平面平面ABC，，求直線PB與平面PAC所成角的正弦值20．（12分）為了調(diào)查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機(jī)采摘了個(gè)蘋果.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知，.（1）若從蘋果園中隨機(jī)采摘個(gè)蘋果，求該蘋果的重量在內(nèi)的概率；（2）從這個(gè)蘋果中隨機(jī)挑出個(gè)，這個(gè)蘋果的重量情況如下.重量范圍（單位：）個(gè)數(shù)為進(jìn)一步了解蘋果的甜度，從這個(gè)蘋果中隨機(jī)選出個(gè)，記隨機(jī)選出的個(gè)蘋果中重量在內(nèi)的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA與QB的斜率分別為，，且，那么直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由.22．（10分）已知橢圓E：的離心率，且右焦點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線，過原點(diǎn)，若，證明：四邊形的面積為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側(cè)，則可得，則圓柱的體積為，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值，確定值.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側(cè)，∴，∴，則圓柱的體積，∴，由得，由得，∴當(dāng)時(shí)，取極大值，也是最大值，即故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱表面積和體積的計(jì)算，考查了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).2、A【解析】先聯(lián)立直線和橢圓的方程，結(jié)合中點(diǎn)公式及點(diǎn)可求a的值.【詳解】設(shè)，聯(lián)立，得，，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，即，解得，因?yàn)椋?故選：A.3、C【解析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚蛄?，若，則，解得：，故選：C.4、B【解析】根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線的距離，∵，∴在圓上到直線距離為1的點(diǎn)有兩個(gè).故選：B.5、B【解析】設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件可得的值，由可得雙曲線的方程，再將代入方程可得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為由雙曲線的性質(zhì)可知：該頸部中最細(xì)處直徑為實(shí)軸長，所以，可得，因?yàn)殡x心率為，即，可得，所以，所以雙曲線的方程為：，因瓶口直徑為20厘米，根據(jù)對(duì)稱性可知頸部最右點(diǎn)橫坐標(biāo)為，將代入雙曲線可得，解得：，所以頸部高為，故選：B6、C【解析】設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，求出的重心并代入歐拉線方程，驗(yàn)證并排除部分選項(xiàng)，余下選項(xiàng)再由外心、垂心驗(yàn)證判斷作答.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的重心坐標(biāo)為，依題意，，整理得：，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除A；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除D；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，直線AB的斜率，線段AB中點(diǎn)，線段AB中垂線方程：，即，由解得：，于是得的外心，若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，該點(diǎn)與點(diǎn)M確定直線斜率為，顯然，即點(diǎn)M不在線段BC的中垂線上，不滿足題意，排除B；若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，線段BC中垂線方程為：，即，由解得，即點(diǎn)為的外心，并且在直線上，邊AB上的高所在直線：，即，邊BC上的高所在直線：，即，由解得：，則的垂心，此時(shí)有，即的垂心在直線上，選項(xiàng)C滿足題意.故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：的三頂點(diǎn)，則的重心為.7、D【解析】含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論即可【詳解】解：命題：，的否定為：，故選：D8、C【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故A不正確；對(duì)，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，所以C正確，同理，由圖可知，故D不正確.故選：C9、D【解析】由于，所以利用裂項(xiàng)相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【詳解】，故，故恒成立等價(jià)于，即恒成立，化簡得到，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以故選：D10、C【解析】由題意，直線的斜率為，利用點(diǎn)斜式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，即，故選：C.11、D【解析】由題可得方程，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線定義即求【詳解】∵拋物線方程為，∴焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線l方程為x=?2，∵直線AF的斜率為,直線AF的方程為，由，可得，∵PA⊥l，A為垂足，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，∴.故選：D.12、A【解析】求得外接球的半徑，進(jìn)而計(jì)算出外接球體積.【詳解】設(shè)，正八面體的棱長為，根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知：，所以是外接球的球心，且半徑，所以外接球的體積為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，150，50件，用分層抽樣的方法從以上所有產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取個(gè)數(shù)為件.故答案為：.14、【解析】根據(jù)動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓外切，即可得到幾何關(guān)系，再結(jié)合雙曲線的定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】由題，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,當(dāng)動(dòng)圓與圓，圓外切時(shí),,,所以,因?yàn)閳A心,，即，又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的上支，其中，，所以,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是；故答案為：15、【解析】求圓心及半徑即可.【詳解】由已知可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的方程為：.故答案為：16、36【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：因，所以，所以；故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，要證明，只需證明平面即可；（2）以D為原點(diǎn)建系，分別求出平面與平面的法向量，再利用向量的夾角公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接四邊形為正方形，，且為的中點(diǎn)又四邊形為菱形，平面平面又平面OAE.（2）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，則由（1）得又平面平面，平面平面，平面ABCD，故，同理，設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量，則故可取，同理故可取，所以設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，所以平面與平面所成的二面角的正弦值為18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到、，即可得到平面，再根據(jù)，即可得證；（2）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即可得到點(diǎn)，，的坐標(biāo)，最后利用空間向量法求出二面角的余弦值；【小問1詳解】證明：連接DE因?yàn)?，且D為AC的中點(diǎn)，所以因?yàn)椋褼為AC的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫鍮DE，平面BDE，且，所以平面因?yàn)?，所以平面BDE，所以【小問2詳解】解：由（1）可知因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，所以DC，DB，DE兩兩垂直以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)．則，，．從而，設(shè)平面BCE的法向量為，則令，得平面ABC的一個(gè)法向量為設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意先證明平面PBC，然后由線面平行的性質(zhì)定理可證明.（2）由平面平面ABC，取BC中點(diǎn)O，則平面ABC，可得，由條件可得，以O(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)镸，N分別為AB，AP的中點(diǎn)，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因?yàn)槠矫嫫矫妫浴拘?詳解】因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，取BC中點(diǎn)O，連接PO，AO，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得：，，，，，所以，，，設(shè)平面PAC的法向量為，則,則，令，得，，所以，所以直線PB與平面PAC所成角的正弦值為20、（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】（1）利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性結(jié)合已知條件可求得的值；（2）分析可知，隨機(jī)變量的所有可能取值為、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)一步可求得的值.【小問1詳解】解：已知蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，，所以從蘋果園中隨機(jī)采摘個(gè)蘋果，該蘋果的重量在內(nèi)的概率為.【小問2詳解】解：由題意可知，隨機(jī)變量的所有可能取值為、、，，；，所以，隨機(jī)變量的分布列為：所以21、（1）（2）恒過點(diǎn)【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，再根據(jù)的取值范圍，得到，再根據(jù)離心率求出、，最后根據(jù)，求出，即可得解；（2）設(shè)、，表示出、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而得到，再將、