專題02-數(shù)的整除性(含答案)

專題02 數(shù)的整除性閱讀與思考設，是整數(shù)，≠0，如果一個整數(shù)使得等式=成立，那么稱能被整除，或稱整除，記作|，又稱為的約數(shù)，而稱為的倍數(shù)．解與整數(shù)的整除相關問題常用到以下知識：1．數(shù)的整除性常見特征：①若整數(shù)的個位數(shù)是偶數(shù)，則2|；②若整數(shù)的個位數(shù)是0或5，則5|；③若整數(shù)的各位數(shù)字之和是3(或9)的倍數(shù)，則3|(或9|)；④若整數(shù)的末二位數(shù)是4(或25)的倍數(shù)，則4|(或25|)；⑤若整數(shù)的末三位數(shù)是8(或125)的倍數(shù)，則8|(或125|)；⑥若整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差是11的倍數(shù)，則11|．2．整除的基本性質設，，都是整數(shù)，有：①若|，|，則|；②若|，|，則|(±)；③若|，|，則[，]|；④若|，|，且與互質，則|；⑤若|，且與互質，則|．特別地，若質數(shù)|，則必有|或|．例題與求解【例1】在1，2，3，…，2000這2000個自然數(shù)中，有_______個自然數(shù)能同時被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”競賽試題)解題思想：自然數(shù)能同時被2和3整除，則能被6整除，從中剔除能被5整除的數(shù)，即為所求．【例2】已知，是正整數(shù)(＞)，對于以下兩個結論：①在＋，，－這三個數(shù)中必有2的倍數(shù)；②在＋，，－這三個數(shù)中必有3的倍數(shù)．其中( )A．只有①正確 B．只有②正確 C．①，②都正確 D．①，②都不正確(江蘇省競賽試題)解題思想：舉例驗證，或按剩余類深入討論證明．【例3】已知整數(shù)能被198整除，求，的值．(江蘇省競賽試題)解題思想：198=2×9×11，整數(shù)能被9，11整除，運用整除的相關特性建立，的等式，求出，的值．【例4】已知，，都是整數(shù)，當代數(shù)式7＋2＋3的值能被13整除時，那么代數(shù)式5＋7－22的值是否一定能被13整除，為什么？(“華羅庚金杯”邀請賽試題)解題思想：先把5＋7－22構造成均能被13整除的兩個代數(shù)式的和，再進行判斷．【例5】如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)左側，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為的“魔術數(shù)”(例如：把86放在415左側，得到86415能被7整除，所以稱86為415的魔術數(shù))，求正整數(shù)的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，，…，，滿足對任意一個正整數(shù)，在，，…，中都至少有一個為的“魔術數(shù)”．(2013年全國初中數(shù)學競賽試題)解題思想：不妨設(=1，2，3，…，；=0，1，2，3，4，5，6)至少有一個為的“魔術數(shù)”．根據(jù)題中條件，利用(是的位數(shù))被7除所得余數(shù)，分析的取值．【例6】一只青蛙，位于數(shù)軸上的點，跳動一次后到達，已知，滿足|－|=1，我們把青蛙從開始，經(jīng)－1次跳動的位置依次記作：，，，…，．⑴寫出一個，使其，且＋＋＋＋>0；⑵若=13，=2012，求的值；⑶對于整數(shù)(≥2)，如果存在一個能同時滿足如下兩個條件：①=0；②＋＋＋…＋=0．求整數(shù)(≥2)被4除的余數(shù)，并說理理由．(2013年“創(chuàng)新杯”邀請賽試題)解題思想：⑴．即從原點出發(fā)，經(jīng)過4次跳動后回到原點，這就只能兩次向右，兩次向左．為保證＋＋＋＋>0．只需將“向右”安排在前即可．⑵若=13，=2012，從經(jīng)過1999步到．不妨設向右跳了步，向左跳了步，則，解得可見，它一直向右跳，沒有向左跳．⑶設同時滿足兩個條件：①=0；②＋＋＋…＋=0．由于=0，故從原點出發(fā)，經(jīng)過(－1)步到達，假定這(－1)步中，向右跳了步，向左跳了步，于是=－，＋=－1，則＋＋＋…＋=0＋()＋()＋…()=2(＋＋…＋)－[()＋()＋…＋()]=2(＋＋…＋)－．由于＋＋＋…＋=0，所以(－1)=4(＋＋…＋)．即4|(－1)．能力訓練A級1．某班學生不到50人，在一次測驗中，有的學生得優(yōu)，的學生得良，的學生得及格，則有________人不及格．2．從1到10000這1萬個自然數(shù)中，有_______個數(shù)能被5或能被7整除．(上海市競賽試題)3．一個五位數(shù)能被11與9整除，這個五位數(shù)是________．4．在小于1997的自然數(shù)中，是3的倍數(shù)而不是5的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是( )A．532 B．665 C．133 D．7985．能整除任意三個連續(xù)整數(shù)之和的最大整數(shù)是( )A．1 B．2 C．3 D．6(江蘇省競賽試題)6．用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，是9的倍數(shù)的數(shù)有( )A．12個 B．18個 C．20個 D．30個(“希望杯”邀請賽試題)7．五位數(shù)是9的倍數(shù)，其中是4的倍數(shù)，那么的最小值為多少？(黃岡市競賽試題)8．1，2，3，4，5，6每個使用一次組成一個六位數(shù)字，使得三位數(shù)，，，能依次被4，5，3，11整除，求這個六位數(shù)．(上海市競賽試題)9．173□是個四位數(shù)字，數(shù)學老師說：“我在這個□中先后填入3個數(shù)字，所得到的3個四位數(shù)，依次可被9，11，6整除．”問：數(shù)學老師先后填入的這3個數(shù)字的和是多少？(“華羅庚金杯”邀請賽試題)B級1．若一個正整數(shù)被2，3，…，9這八個自然數(shù)除，所得的余數(shù)都為1，則的最小值為_________，的一般表達式為____________．(“希望杯”邀請賽試題)2．已知，都是正整數(shù)，若1≤≤≤30，且能被21整除，則滿足條件的數(shù)對(，)共有___________個．(天津市競賽試題)3．一個六位數(shù)能被33整除，這樣的六位數(shù)中最大是__________．4．有以下兩個數(shù)串同時出現(xiàn)在這兩個數(shù)串中的數(shù)的個數(shù)共有( )個．A．333 B．334 C．335 D．3365．一個六位數(shù)能被12整除，這樣的六位數(shù)共有( )個．A．4 B．6 C．8 D．126．若1059，1417，2312分別被自然數(shù)除時，所得的余數(shù)都是，則－的值為( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一種室內游戲，魔術師要求某參賽者相好一個三位數(shù)，然后，魔術師再要求他記下五個數(shù)：，，，，，并把這五個數(shù)加起來求出和N．只要講出的大小，魔術師就能說出原數(shù)是什么．如果N=3194，請你確定．(美國數(shù)學邀請賽試題)8．一個正整數(shù)N的各位數(shù)字不全相等，如果將N的各位數(shù)字重新排列，必可得到一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來的數(shù)N，則稱N為“拷貝數(shù)”，試求所有的三位“拷貝數(shù)”．(武漢市競賽試題)9．一個六位數(shù)，如將它的前三位數(shù)字與后三位數(shù)字整體互換位置，則所得的新六位數(shù)恰為原數(shù)的6倍，求這個三位數(shù)．(“五羊杯”競賽試題)10．一個四位數(shù)，這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和為1999，求這個四位數(shù)，并說明理由．(重慶市競賽試題)11．從1，2，…，9中任取個數(shù)，其中一定可以找到若干個數(shù)(至少一個，也可以是全部)，它們的和能被10整除，求的最小值．(2013年全國初中數(shù)學競賽試題)專題02數(shù)的整除性例1267提示：333－66＝267．例2C提示：關于②的證明：對于a，b若至少有一個是3的倍數(shù)，則ab是3的倍數(shù)．若a，b都不是3的倍數(shù)，則有：(1)當a＝3m＋1，b＝3n＋1時，a－b＝3(m－n)；(2)當a＝3m＋1，b＝3n＋2時，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)當a＝3m＋2，b＝3n＋1時，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)當a＝3m＋2，b＝3n＋2時，a－b＝3(m－n).例3a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．例4設x，y，z，t是整數(shù)，并且假設5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)＋13(ya＋zb＋tc).比較上式a，b，c的系數(shù)，應當有，取x＝－3，可以得到y(tǒng)＝2，z＝1，t＝－1，則有13(2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，則5a＋7b－22c就能被13整除．例5考慮到“魔術數(shù)”均為7的倍數(shù)，又a1，a2，…，an互不相等，不妨設a1＜a2＜…＜an，余數(shù)必為1，2，3，4，5，6，0，設ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一個為m的“魔術數(shù)”，因為ai·10k＋m(k是m的位數(shù))，是7的倍數(shù)，當i≤b時，而ai·t除以7的余數(shù)都是0，1，2，3，4，5，6中的6個；當i＝7時，而ai·10k除以7的余數(shù)都是0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，當i＝7時，依抽屜原理，ai·10k與m二者余數(shù)的和至少有一個是7，此時ai·10k＋m被7整除，即n＝7．例6(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0)(2)a1000＝13＋999＝1012．(3)n被4除余數(shù)為0或1．A級1．12．31433．397984．A5．C6．B7．五位數(shù)EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcde)＝10×EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcd)＋e.又∵EQ\o\ac(\S\UP7(——),abcd)為4的倍數(shù)．故最值為1000，又因為EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcde)為9的倍數(shù)．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcde)最小值為10008.8．324561提示：d＋f－e是11的倍數(shù)，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，9．19提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后兩個數(shù)為8，4．B級1．2521a＝2520n＋1(n∈N＋)2．573．719895提示：這個數(shù)能被33整除，故也能被3整除．于是，各位數(shù)字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．4．B5．B6．A提示：兩兩差能被n整除，n＝179，m＝164．7．由題意得EQ\o\ac(\S\UP7(—),acb)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),bac)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),bca)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),cab)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),cba)＝3194，兩邊加上EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)．得222(a＋b＋c)＝3194＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)∴222(a＋b＋c)＝222×14＋86＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)．則EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)＋86是222的倍數(shù)．且a＋b＋c＞14．設EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)＋86＝222n考慮到EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)是三位數(shù)，依次取n＝1，2，3，4.分別得出EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)的可能值為136，358，580，802，又因為a＋b＋c＞14．故EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)＝358．8．設N為所求的三位“拷貝數(shù)”，它的各位數(shù)字分別為a，b，c(a，b，c不全相等)．將其數(shù)碼重新排列后，設其中最大數(shù)為EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，則最小數(shù)為EQ\o\ac(\S\UP7(——),cba)．故N＝EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)－EQ\o\ac(\S\UP7(——),cba)＝(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)＝99(a－c)．可知N為99的倍數(shù)．這樣的三位數(shù)可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而這9個數(shù)中，只有954－459＝495.故495是唯一的三位“拷貝數(shù)”．9．設原六位數(shù)為EQ\o\ac(\S\UP7(———),abcdef)，則6×EQ\o\ac(\S\UP7(———),abcdef)＝EQ\o\ac(\S\UP7(———),defabc)，即6×(1000×EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)＋EQ\o\ac(\S\UP7(——),def))＝1000×EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)＋EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，所以994×EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)－5999×EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，即142×EQ\o\ac(\S\UP7(——),d