人教版七年級上冊數(shù)學(xué)4.3.3 余角和補角

1.用度、分、秒表示：

1.38°

50.675°2.用度表示：50°40′30″

1°22′48″

計算：（1）7°49′+4°28′（2）9°18′－6.5°已知∠AOB=32°36′，∠BOC=24°43′，求∠AOC？解：∠AOC=∠AOB+∠BOC

=

56°79′=

57°19′=32°36′+24°43′PAOB12∠1+∠2=90°觀察下面圖形，回答問題．（1）射線OP把直角AOB分成了幾個角？（2）∠1和∠2具有什么樣的數(shù)量關(guān)系？2

如果兩個角的和等于90°(直角)，那么稱這兩個角互為余角；簡稱兩個角互余。一、余角定義也可以說其中一個角是另一個角的余角．∠α∠α的余角35°22°62°5′α27°55′55°68°90°－α練一練10°45°65°45°80°25°下面角中，哪些角互為余角？觀察下面圖形，回答以下問題．

（1）射線OP把平角MON，分成了幾個角？（2）∠1和∠2具有什么樣的數(shù)量關(guān)系？∠1+∠2=180°2PMON12二、補角定義

如果兩個角的和等于180°（平角），那么稱這兩個角互為補角；簡稱兩個角互補。也可以說其中一個角是另一個角的補角．∠α∠α的補角10°32°15′90°105°108°23′α71°37′170°147°45′90°75°180°－α銳角的補角是鈍角直角的補角是直角鈍角補角是銳角圖中給出的各角中,哪些互為補角?°°°°°°°

（1）圖中互余的角是__________與___________．

（2）圖中互補的角是__________與_______；_______與______．MPONQ∠MOQ∠QOP∠MOP∠PON∠MOQ∠QON練一練一個角的補角是這個角的余角的2.5倍，求這個角．解：設(shè)這個角為x°.180-x=2.5（90-x）180-x=225-2.5x2.5x-x=225-1801.5x=45x=30答：這個角是30°例題判斷：

1．銳角的余角一定是銳角．（）

2．一個銳角和一個鈍角一定互為補角．（）

3．一個角的補角比這個角的余角大90°．（）

4．一個角的補角一定比這個角大．（）√×√×練一練2．如果兩個角互補，其中一個角是另一個角的3.5倍，則這個角分別是（）A．60°，210°B．20°，70°C．40°，140°D．30°，150°3．下列敘述正確的是（）A．180°是補角B．130°和50°互為補角C．130°和50°是補角D．40°是50°的補角CB4．（1）若∠α的補角與∠β的余角相等，求∠α，∠β的關(guān)系．解：因為180°－∠α＝90°－∠β，所以∠α－∠β＝90°．所以∠α＝∠β＋90°．答：∠α，∠β的關(guān)系為：∠α＝∠β＋90°．∵∠AOB＝90°，

∴∠1+∠BOD＝

90°∵∠COD＝

90°,

∴∠2＋∠BOD＝90°∴∠1＋∠BOD＝∠2+∠BOD，∴∠1＝∠2．答：∠1=∠2．∠AOB=90°，∠COD=90°則∠1與∠2有什么數(shù)量關(guān)系？AOBCD12答：∠1=∠2同角的余角相等．余角的性質(zhì)1知識要點

如圖∠1與∠2互余，∠３與∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2與∠４相等嗎？為什么？

答：∠2=∠４∵∠1與∠2互余，∴∠2=90°－∠1，∵∠3與∠4互余，∴∠4=90°－∠3．∵∠1＝∠３，∴90°－∠1＝90°－∠3

∴∠2＝∠4．余角的性質(zhì)2等角的余角相等．知識要點同角或等角的余角相等．歸納

如圖∠1與∠2互補，∠3與∠2互補，那么∠1與∠3相等嗎？為什么？∵∠1與∠2互補，∴∠1=180°－∠2；∵∠3與∠2互補，∴∠3=180°－∠2．∴∠1=∠3．

答：∠1=∠3補角的性質(zhì)1同角的補角相等．知識要點答：∠1與∠3相等．解:∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1=180°－∠2；∵∠3＋∠4＝180°，∴∠3=180°－∠4；∵∠2＝∠4,∴180°－∠2=180°－∠4，∴∠1=∠3．

如圖∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，如果∠2＝∠4，那么∠1與∠3有什么關(guān)系？為什么？補角的性質(zhì)2等角的補角相等．知識要點同角或等角的補角相等．歸納互余互補對應(yīng)圖形數(shù)量關(guān)系性質(zhì)12∠1+∠2=90°∠1+∠2=180°同角或等角的補角相等同角或等角的余角相等21歸納例貨輪O在航行過程中,發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60o的方向上,在它北偏東40o、南偏西10o、西北(即北偏西45o)方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B,貨輪C和海島D.仿照表示燈塔方位的方法，畫出表示客輪B、貨輪C和海島D方向的射線.O●東南西北●A60°40°BC10°45°D

例：下圖中，OA是表示南偏西30o方向上的一條射線，仿照這條射線，畫出表示下列方向的射線：（1）南偏東25o的射線OB；（2）北偏西50o的射線OC；（3）東北方向（即東偏北45o）的射線OD．A45°25°30°50°BCD西東南北O(jiān)1．余角、補角的概念：2．余角、補角的性質(zhì)：（1）和為90°的兩個角稱互為余角；（2）和為180°的兩個角稱互為補角．（1）等角的余角相等；（2）等角的補角相等．課堂小結(jié)射線OC與射線OA所成的角是多少度？射線OB與射線OD的所成的角是多少度？A45°25°30°50°BCD西東南北O(jiān)100°110°1．6小時，12小時．2．略．3．（1）116°10′；（2）106°25′．4．如果∠1＝∠2,∠2＝∠3,則∠1＝∠3；如果∠1>∠2,∠2>∠3,則∠1>∠3．5．∠ABC＝∠ACB＝62°．6．（1）∠AOB＋∠BOC＝∠AOC；（2）∠AOC＋∠COD＝∠AOD；（3）∠BOD－∠COD＝∠BOC；（4）∠AOD－∠BOD＝∠AOB．習(xí)題答案7．延長AO或BO，先測量∠AOB的補角，然后計算出∠AOB的大?。?．10°與80°、30°與60°互為余角，10°與

170°、30°與150°、60°與120°、80°與

100°與為補角．9．如圖．北北偏東15°東南偏東60°南西南方向西北偏西30°10．（1）∠BOD＝70°；（2）∠AOB＝40°．11．齒輪有15個齒，相鄰兩齒中心線的夾角是

24°，如果是22個齒輪，這個夾角約為

16°22′．12．如圖．60°30°ABC船的位置13．（1）45°；（2）90°．14．另外一個角等于135°,四邊形的內(nèi)角和等于360°．15．（1）這些和都等于360°；（2）這些和等于360°，猜想：多邊形外角和等于360°．有理數(shù)的混合運算舊識回顧1、計算：（1）（2）（3）2、計算：（1）（2）小學(xué)時加減乘除混合運算順序是？先乘除后加減，有括號時先算括號里面的。同級的運算要從左至右。1、計算：（1）（2）2、計算下列各式：（1）（2）（3）（4）3、找茬：你認(rèn)為下面的解法正確嗎？若不正確，你能發(fā)現(xiàn)下面解法問題出在哪里嗎？正確的解法為：加減乘除混合運算法則

1.先算乘除；2.再算加減；3.有括號時先算括號（先小括號，再中括號，最后是大括號）4.同級運算，按照從左到右.注：對于混合運算中有除法時，可以運用除法法則2先將除法變?yōu)槌朔?；可以適當(dāng)運用運算律使計算簡便。4、計算：練習(xí)思維拓展計算下列各式：有理數(shù)的混合運算2在算式中，含有加、減、乘除及其乘方等多種運算，這樣的運算叫做有理數(shù)的混合運算.怎樣進(jìn)行有理數(shù)的運算呢？按什么運算順序進(jìn)行呢？通常把六種基本的代數(shù)運算分成三級．加與減是第一級運算，乘與除是第二級運算，乘方與開方是第三級運算．運算順序的規(guī)定詳細(xì)地講是：先算高級運算，再算低級的運算；同級運算在一起，按從左到右的順序運算；如果有括號，先算小括號內(nèi)的，再算中括號，最后算大括號．

簡單地說，有理數(shù)混合運算應(yīng)按下面的運算順序進(jìn)行：

先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，按照從左至右的順序進(jìn)行；

如果有括號，就先算括號里面的．例1（1）2÷﹙?－2﹚與2÷?－2有什么不同？

（2）﹙－2﹚÷﹙2×3﹚與﹙－2﹚÷2×3有什么不同？例1：計算下列各題：（1）分析：算式里含有乘方和乘除運算，所以應(yīng)先算乘方，再算乘除。解：原式

點評：在乘除運算中，一般把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，以便約分。（2）分析：此題是含有乘方、乘、除、加減法的混合運算，可將算式分成兩段。“-”號前邊的部分為第一段，“-”號后邊的部分為第二段，運算時，第一步，應(yīng)將第一段的除法變?yōu)槌朔ê陀嬎愕诙沃械某朔?；第二步，計算乘法；第三步，計算加減法，得出最后結(jié)果。解：原式===（3）

分析：此題應(yīng)先算乘方，再算加減。解：(

23)

22

(

3)3

32

8

4

27

9

24.注意：（4）分析：先算括號里面的再算括號外面的。解：原式=

=（5）思路1：先算括號里面的加減法，再算括號外面的除法。解法1：原式

7思路2：先將除法化為乘法，再用乘法分配律。解法2：原式=

=

=

=

7點評：解法2比解法1簡單，是因為在解法2中根據(jù)題目特點,使用了乘法分配律。在有理數(shù)的混合運算中，恰當(dāng)、合理地使用運算律,可以使運算簡捷,從而減少錯誤，提高運算的正確率。

例2

計算下列各題：（1）

分析：中括號中各加數(shù)化成帶分?jǐn)?shù)后，其分子都是4的倍數(shù)，所以本題先把除法化乘法后，用乘法分配律簡單。

（2） 先算乘方和把除法變乘法： 原式= 觀察式子特點發(fā)現(xiàn)，小括號內(nèi)各分?jǐn)?shù)的分子都是10的因數(shù)，從而想到將小括號和因數(shù)用結(jié)合律和分配律：

原式====（3）解：原式======點評：本題中逆用乘法分配律提取，使運算簡便。（4）[53-4×(-5)2-(-1)10]÷(-24-24+24)

分析：在本題中53可以看做5×52，(-5)2=52,對于 53-4×(-5)2可變形5×52-4×52，然后運用乘法 分配律．-24與24是互為相反數(shù)，所以-24+24=0.

解：[53-4×(-5)2-(-1)10]÷(-24-24+24)

=[5×52-4×52-1]÷(-24+24-24)

=[52(5-4)-1]÷(-24)

=(25×1-1)÷(-24)

=24÷(-24)

=

-1.

注意：①53=5×52;②5×52-4×52

=52(5-4)(運用乘法分配律)

=25×1

=25.以上主要學(xué)習(xí)了有理數(shù)加、減、乘、除、乘方的混合運算．進(jìn)行有理數(shù)混合運算的關(guān)鍵是熟練掌握加、減、乘、除、乘方的運算法則、運算律及運算順序，比較復(fù)雜的混合運算，一般可先根據(jù)題中的加減運算，把算式分成幾段．計算時，先從每段的乘方開始，按順序運算，有括號先算括號里的．同時，要注意靈活運用運算律簡化運算。

有理數(shù)的混合運算舊識回顧1、計算：（1）（2）（3）2、計算：（1）（2）小學(xué)時加減乘除混合運算順序是？先乘除后加減，有括號時先算括號里面的。同級的運算要從左至右。1、計算：（1）（2）2、計算下列各式：（1）（2）（3）（4）3、找茬：你認(rèn)為下面的解法正確嗎？若不正確，你能發(fā)現(xiàn)下面解法問題出在哪里嗎？正確的解法為：加減乘除混合運算法則

1.先算乘除；2.再算加減；3.有括號時先算括號（先小括號，再中括號，最后是大括號）4.同級運算，按照從左到右.注：對于混合運算中有除法時，可以運用除法法則2先將除法變?yōu)槌朔ǎ豢梢赃m當(dāng)運用運算律使計算簡便。4、計算：練習(xí)思維拓展計算下列各式：有理數(shù)的混合運算2在算式中，含有加、減、乘除及其乘方等多種運算，這樣的運算叫做有理數(shù)的混合運算.怎樣進(jìn)行有理數(shù)的運算呢？按什么運算順序進(jìn)行呢？通常把六種基本的代數(shù)運算分成三級．加與減是第一級運算，乘與除是第二級運算，乘方與開方是第三級運算．運算順序的規(guī)定詳細(xì)地講是：先算高級運算，再算低級的運算；同級運算在一起，按從左到右的順序運算；如果有括號，先算小括號內(nèi)的，再算中括號，最后算大括號．

簡單地說，有理數(shù)混合運算應(yīng)按下面的運算順序進(jìn)行：

先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，按照從左至右的順序進(jìn)行；

如果有括號，就先算括號里面的．例1（1）2÷﹙?－2﹚與2÷?－2有什么不同？

（2）﹙－2﹚÷﹙2×3﹚與﹙－2﹚÷2×3有什么不同？例1：計算下列各題：（1）分析：算式里含有乘方和乘除運算，所以應(yīng)先算乘方，再算乘除。解：原式

點評：在乘除運算中，一般把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，以便約分。（2）分析：此題是含有乘方、乘、除、加減法的混合運算，可將算式分成兩段?！?”號前邊的部分為第一段，“-”號后邊的部分為第二段，運算時，第一步，應(yīng)將第一段的除法變?yōu)槌朔ê陀嬎愕诙沃械某朔?；第二步，計算乘法；第三步，計算加減法，得出最后結(jié)果。解：原式===（3）

分析：此題應(yīng)先算乘方，再算加減。解：(

23)

22

(

3)3

32

8

4

27

9

24.注意：（4）分析：先算括號里面的再算括號外面的。解：原式=

=（5）思路1：先算括號里面的加減法，再算括號外面的除法。解法1：原式

7思路2：先將除法化為乘法，再用乘法分配律。解法2：原式=

=

=

=

7點評：解法2比解法1簡單，是因為在解法2中根據(jù)題目特點,使用了乘法分配律。在有理數(shù)的混合運算中，恰當(dāng)、合理地使用運算律,可以使運算簡捷,從而減少錯誤，提高運算的正確率。

例2

計算下列各題：（1）

分析：中括號中各加數(shù)化成帶分?jǐn)?shù)后，其分子都是4的倍數(shù)，