人教版八年級數(shù)學(xué)上冊11.2.1三角形的內(nèi)角

人民教育出版社義務(wù)教育教科書八年級數(shù)學(xué)（上冊）11.2與三角形有關(guān)的角11.2.1三角形的內(nèi)角三角形兩邊的夾角叫做三角形的內(nèi)角三角形的內(nèi)角在一個直角三角形里住著三個內(nèi)角，平時，它們?nèi)值芊浅F結(jié)。可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行??！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么？”老二很納悶。同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？內(nèi)角三兄弟之爭如下圖所示是我們常用的三角板,它們的三個角之和為多少度?想一想:任意三角形的三個內(nèi)角之和也為180度嗎?30+60+90=18045+45+90=180思考與探索三角形的三個內(nèi)角和是多少?把三個角拼在一起試試看？你有什么辦法可以驗證呢?從剛才拼角的過程你能想出證明的辦法嗎?180°實踐操作21EDCBA三角形的內(nèi)角和等于1800.延長BC到D，于是CE∥BA(內(nèi)錯角相等，兩直線平行).∴∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等).∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°在△ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊作∠1=∠A，證法一21EDCBA三角形的內(nèi)角和等于1800.延長BC到D，過C作CE∥BA，∴∠A=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等)∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°證法二F21ECBA三角形的內(nèi)角和等于1800.過A作EF∥BC，∴∠B=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠C=∠1(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°證法三CBEA三角形的內(nèi)角和等于1800.過A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)∴∠B+∠C+∠BAC=180°證法四

在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。

為了證明三個角的和為1800,轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁內(nèi)角互補,這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.思路總結(jié)(口答)下列各組角是同一個三角形的內(nèi)角嗎?為什么?（2）60°，40°，90°（3）30°，60°，50°（1）3°，150°，27°

（是）（不是）（不是）鞏固練習(xí)例1在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠A

、∠B

和∠C的度數(shù).解：設(shè)∠A=2x，則∠B=3x，∠C=4x.

∴2x+3x+4x=180°

解方程，得x=20°

∴∠A=2x=2×20°=40°

∠B=3x=3×20°=60°

∠C=4x=4×20°=80°在△ABC中，∠A+∠B+∠C=１８0°（三角形內(nèi)角和定理）練習(xí)一：X=45°X=60°一、選擇題(1)在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則∠B=（）

A.300B.600C.900D.1200(2)在△ABC中，∠A=500,∠B=800,則∠C=（）

A.400B.500C.100D.1100（3）在△ABC中，∠A=800,∠B=∠C，則∠B=（）

A.500B.400C.100D.450二、填空（1）∠A:∠B:∠C=3:4:5，則∠B=（2）∠C=900，∠A=300，則∠B=（3）∠B=800，∠A=3∠C，則∠A=

B600750B600A（1）在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°

則∠C=.（2）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4則∠A=

∠B=

∠C=.

（3）一個三角形中最多有

個直角？為什么？（4）一個三角形中最多有

個鈍角？為什么？（5）一個三角形中至少有

個銳角？為什么？（6）任意一個三角形中,最大的一個角的度數(shù)至少為

.102°80°60°40°60°211應(yīng)用新知ABC在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形內(nèi)角和得,

∠A

+∠B+

∠C=180°即∠A

+∠B+

90°=180°，所以∠A

+∠B=90°.例題講解1也就是說，

直角三角形的兩個銳角互余.由三角形內(nèi)角和定理可得：

有兩個角互余的三角形是直角三角形。

直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以寫成Rt△ABC.ABC已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A,BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數(shù)。D解：設(shè)∠A＝x0，則∠ABC＝∠C＝2x0∴x＋2x＋2x＝180（三角形內(nèi)角和定理）解得x＝36∴∠C＝2×360＝720∴∠DBC＝1800－900－720（三角形內(nèi)角和定理）在△BDC中，∵∠BDC＝900(三角形高的定義）∴∠DBC＝180?例題講解2如圖,C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向。求下面各題.（1）∠DAC＝_____∠DAB＝______∠EBC＝_______∠CAB＝______A(2)從C島看A、B兩島的視角∠C是多少?50°80°40°DBCE北北解：∵AD∥BE∴∠DAB﹢∠ABE＝180°∴∠ABE

＝180°－∠DAB

＝180°－80°＝100°

在△ABC中,∠C

＝180°－∠CAB－∠ABC＝180°－30°－60°＝90°∴

∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE30°＝100°﹣40°＝60°例題講解3DCE北A50°∟B40°北MN在△AMC中∠AMC=90°,∠MAC=50°解：過點C畫MN⊥AD分別交AD、BE于點M、N12例:如圖,C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向?！唷?=180°-90°-50°=40°∵AD∥BE∴∠AMC+∠BNC=180°∴∠BNC=90°同理得∠2=50°∴∠ACB=180°-∠1-∠2=180°-40°-50°=90°例題講解3BDCE北A

你能想出一個更簡捷的方法來求∠C的度數(shù)嗎？1250°40°解：過點C畫CF∥AD∴∠1＝∠DAC＝50°,F∵CF∥AD,又AD∥BE∴CF∥BE∴∠2＝∠CBE＝40°∴∠ACB＝∠1﹢∠2＝50°﹢40°＝90°例題講解3解：連結(jié)AC∵

∠B+∠BAC+∠ACB=180°

∠D+∠DAC+∠ACD=180°（三角形內(nèi)角和定理）∴∠D+∠DAB+∠BCD+∠B=360°∴∠C=3６0°–(∠D+∠DAB+∠B)=3６0°－（1５0°＋４0°＋４0°）又∵∠DAB＝∠BAC＋∠DAC∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝3６0°－２３0°＝１３0°3.在△ABC中，已知∠A-∠C=250，∠B-∠A=100，求

∠B的度數(shù).分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知：∠A+∠B+∠C=1800，然后結(jié)合已知條件便可以求出.解：∵

∠A-∠C=250，∠B-∠A=100

∴∠C＝∠B＝∴∠A+∠A＋1０°+∠A－２５°＝１８0°整理得，３∠A=１８0°＋２５°－1０°

＝１９５°

∴∠A＝６５°∠B=７５°∠C=４０°

答：∠B的度數(shù)是７５°.在△ABC中，又∵

∠A+∠B+∠C=1800（三角形內(nèi)角和定理）∠A－２５°，∠A＋1０°解：在△ACD中∠CAD＝30°∠D＝90°DABC∴∠ACD=180°-30°-90°=60°在△BCD中∠CBD=45°∠D＝90°∴∠BCD=180°-90°-45°=45°∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°鞏固練習(xí)1.如圖,從A處觀測C處時仰角∠CAD＝30°,從B處觀測C處時仰角∠CBD＝45°.從C處觀測A、B兩處時視角∠ACB是多少?＝15°答：從C處觀測A,B兩處時視角∠ACB是15°2.如圖,某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成三片,現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊形狀完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是()(A)帶①去(B)帶②去(C)帶③去(D)帶①和②去C鞏固練習(xí)3.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,則△ABC是()A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等腰三角形4.一個三角形至少有（）

A、一個銳角B、兩個銳角

C、一個鈍角D、一個直角BB鞏固練習(xí)

（1）在△ABC中，∠A=５5°，∠B=43°則∠ACB=.∠ＡＣＤ＝___

８2°CBAＤ９８°三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)（2）在△ABC中,

∠A=80°,∠B=∠C,則∠C＝______度。

∠C=90°，∠A=30°，則∠B=___度

∠A－∠C=35°,∠B－∠A=20°,則∠B=____度

（3）在△AB中直角三角形ABC中,一個銳角為40°,則另一個銳角是_______度。506065初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)(3)在△ABC中,∠C=55°,∠A－∠B=35°,則∠B＝______度。45（4）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

度360BAFCDE初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)4、如圖，在△ABC中，點P是的△ABC的三條內(nèi)角平分線的交點，則∠PBC+∠PCA+∠PAB=_____5、如圖，在△ABC中，點P是△ABC的三條內(nèi)角平分線的交點，則∠PBC+∠PCA+∠PAB=_____９０°初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)判斷三角形的類型1、在△ABC中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,則△ABC是（）A、鈍角三角形B、等腰直角三角形C、直角三角形D、等邊三角形D初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)2、△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,則△ABC是（）A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等腰三角形B3、△ABC中,若∠A:∠B:∠C=2：3：4,則△ABC是（）A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等腰三角形A（1）一個三角形中最多有

個直角？為什嗎？（2）一個三角形中最多有

個鈍角？為什嗎？11討論2、如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點O。(1)若∠ABC=40o，∠ACB=50°，∠BOC=_______(2)若∠ABC+∠ACB=l00°，則∠BOC=________。(3)若∠A=70°，則∠BOC=_________。(4)若∠BOC=140°，則∠A=________。(5)你能發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠A之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎?寫出并說明理由。

5.如圖△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,∠A＝70°,∠ADE＝50°,求∠BDC的度數(shù).ABCDE解:∵∠A＝70°

∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°∵DE//BC∴∠B=∠ADE＝50°∵CD平分∠ACB鞏固練習(xí)證明：

∵

DE∥BC（已知）∴∠

AED=∠C（兩直線平行，同位角相等）∵∠

C=700（已知）∴∠

AED=700

（等量代換）∵∠

A+∠AED+∠ADE=1800（三角形的內(nèi)角和定理）∠

A=