湖南省益陽(yáng)市、湘潭市2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

湖南省益陽(yáng)市、湘潭市2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線為，則雙曲線的離心率為A.或 B.或C.或 D.或2．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則的最小值為（）A. B.C. D.3．已知直線與橢圓：（）相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線：上，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.4．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若向量，，，則的最小值為（）A. B.C. D.5．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值為（）A.10 B.8C.4 D.206．已知兩定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則橢圓C的短軸的最小值為（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.8．展開(kāi)式的第項(xiàng)為（）A. B.C. D.9．已知數(shù)列滿足，在任意相鄰兩項(xiàng)與(k＝1，2，…)之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（）A.162 B.163C.164 D.16510．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11．下列拋物線中，以點(diǎn)為焦點(diǎn)的是（）A. B.C. D.12．從編號(hào)分別為,,,,的五個(gè)大小完全相同的小球中,隨機(jī)取出三個(gè)小球,則恰有兩個(gè)小球編號(hào)相鄰的概率為()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓C，直線l：，若圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1.則b的取值范圍為_(kāi)__.14．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是___________.15．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則_______16．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則__.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知直線l經(jīng)過(guò)兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點(diǎn)，且與直線x+y﹣2＝0垂直（1）求直線l的方程；（2）若圓C過(guò)點(diǎn)（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程19．（12分）已知雙曲線（1）若，求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；（2）若雙曲線的離心率為，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）證明是等比數(shù)列，（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和21．（12分）如圖，四棱錐中，，.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值等于？22．（10分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求拋物線的方程；(2)求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分雙曲線的焦點(diǎn)在軸上和在軸上兩種情況討論，求出的值，利用可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】若焦點(diǎn)在軸上，則有，則雙曲線的離心率為；若焦點(diǎn)在軸上，則有，則，則雙曲線的離心率為.綜上所述，雙曲線的離心率為或.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，在雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定的情況下，要對(duì)雙曲線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類(lèi)討論，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】利用雙曲線定義可得到，將的最小值變?yōu)榈淖钚≈祮?wèn)題，數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】由題意得，故，如圖所示：到漸近線的距離,則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故選：D3、A【解析】將直線代入橢圓方程整理得關(guān)于的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再由條件得到，再由，，的關(guān)系和離心率公式，即可求出離心率.【詳解】解：將直線代入橢圓方程得，，即，設(shè)，，，，則，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，由于線段的中點(diǎn)在直線上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A4、C【解析】由，得到，根據(jù)正弦、余弦定理定理化簡(jiǎn)得到，化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因?yàn)?，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因?yàn)?，所以，由，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，且，可得，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C5、A【解析】根據(jù)約束條件作出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)表示的一簇直線畫(huà)出向可行域平移即可求解.【詳解】作出可行域，如圖所示轉(zhuǎn)化為，令則，作出直線并平移使它經(jīng)過(guò)可行域點(diǎn)，經(jīng)過(guò)時(shí)，，解得，所以此時(shí)取得最大值，即有最大值，即故選：A.6、B【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)，以及橢圓的定義，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，解得，即.根據(jù)橢圓的定義可知，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)取最小值，即，由且，得，因此橢圓C的短軸的最小值為.故選：B.7、D【解析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法即可計(jì)算作答.【詳解】因，則，所以，所以.故選：D8、B【解析】由展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以展開(kāi)式的第項(xiàng)為，故選：B9、C【解析】確定數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2，從而求出前70項(xiàng)和.【詳解】，其中之間插入2個(gè)2，之間插入4個(gè)2，之間插入8個(gè)2，之間插入16個(gè)2，之間插入32個(gè)2，之間插入64個(gè)2，由于，，故數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2，故故選：C10、D【解析】當(dāng)時(shí)，不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時(shí)，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點(diǎn)：等比數(shù)列11、A【解析】由題意設(shè)出拋物線的方程，再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求出拋物線的方程.【詳解】∵拋物線為，∴可設(shè)拋物線方程為，∴即，∴拋物線方程為，故選：A.12、C【解析】利用古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可【詳解】從編號(hào)分別為,,,,的五個(gè)大小完全相同的小球中,隨機(jī)取出三個(gè)小球共有種不同的取法,恰好有兩個(gè)小球編號(hào)相鄰的有:,共有6種所以概率為故選:C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】圓C：的半徑為3，圓心坐標(biāo)為：設(shè)圓心到直線l：的距離為，要想圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，只需，即，所以.故答案為：.14、【解析】計(jì)算點(diǎn)漸近線的距離，從而得，由勾股定理計(jì)算，由雙曲線定義列式，從而計(jì)算得，即可計(jì)算出離心率.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，由可知，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，即垂直平分線段，所以到漸近線的距離為，可得，所以，由雙曲線定義可知，，即，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)15、或【解析】首先判斷漸近線的傾斜角，再求的值.【詳解】由條件可知雙曲線的其中一條漸近線方程是，因?yàn)閮蓷l漸近線的夾角是，所以直線的傾斜角是或，即或.故答案為：或16、【解析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，，則，故答案為：33.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】(1)用線線平行證明線面平行，∴在平面PCD內(nèi)作BE的平行線即可；(2)求二面角的大小，可以用空間向量進(jìn)行求解，根據(jù)已知條件，以AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB，AD，OP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系﹒【小問(wèn)1詳解】如圖，取PD中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)C﹒∵E是AP中點(diǎn)，∴EFAD，由題知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四邊形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小問(wèn)2詳解】取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB，∵是以為斜邊等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD兩兩垂直，故以O(shè)原點(diǎn)，OB、OD、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖：設(shè)|BC|＝1，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，則，設(shè)平面BED的法向量為，平面PBD的法向量為則，取，，取設(shè)二面角的大小為θ，則cosθ＝﹒18、（1）（2）【解析】（1）先求得直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式求得直線的方程.（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)已知條件列方程組，求得，由此求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)1詳解】.直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.19、（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，漸近線方程為；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線方程確定，即可按照概念對(duì)應(yīng)寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；（2）先求（用表示），再根據(jù)解不等式得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，雙曲線方程化為，所以，，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，漸近線方程為.（2）因?yàn)?，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題根據(jù)雙曲線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，根據(jù)離心率求參數(shù)范圍，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.20、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）利用定義法證明是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的非零常數(shù)，從而得出結(jié)論；（2）由（1）求出，利用分組求和法求【詳解】（1）由得，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,，所以，（2）由（1）知的通項(xiàng)公式為；則所以【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的證明以及分組求和法，屬于基礎(chǔ)題21、（1）詳解解析；（2）存在.【解析】（1）利用勾股定理證得，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，求得平面的法向量，利用已知條件建立關(guān)于的方程，進(jìn)而得解.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)為，連接，在中，，，，又，，所以，又，，而，所以，又，，，又，，平面.【小問(wèn)2詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)F在線段上，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，設(shè)直線CF與平面所成角為，，解得或（舍去），，此時(shí)點(diǎn)F是的三等分點(diǎn)，所以在線段上是存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值等于.22、（1）；（2）【解析】（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），運(yùn)用拋物線的定義，可得23，解得p＝2，進(jìn)而得到拋物線的方程；（2）由題意，直線AB方程為y＝x﹣1，與y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，算出|AB|；利用點(diǎn)到直線的距離公式算出點(diǎn)O到直線AB的距離，即可求出△AOB的面積【詳解】（1）拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦