湖北省“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟”2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

湖北省“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l上有兩點(diǎn)A，B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C.或 D.2．?dāng)?shù)列中前項(xiàng)和滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)（點(diǎn)位于之間）且于點(diǎn)且，則等于（）A. B.C. D.4．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問(wèn)題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例（即百分比）為“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分別分得，，，，遞減的比例為，那么“衰分比”就等于，今共有糧石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和為石，則“衰分比”為（）A. B.C. D.5．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）.A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.C.D.是函數(shù)的極小值點(diǎn)7．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C一定共面的是A. B.C. D.8．在直三棱柱中，，且，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最大值是（）A. B.C.2 D.9．若：，：，則為q的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件10．下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是（）A.由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項(xiàng)和B.由滿足對(duì)都成立，推斷：為奇函數(shù)C.由半徑為的圓的面積，推斷單位圓的面積D.由，，，…，推斷：對(duì)一切，11．若直線與直線垂直，則（）A6 B.4C. D.12．已知點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（）A.2 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓方程為，左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若的最大值為，則橢圓的離心率為_(kāi)__________.14．已知圓和直線.（1）求直線l所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求當(dāng)k取什么值，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長(zhǎng).15．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則_____________.16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若，則橢圓的離心率為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，，且對(duì)任意的，都有.（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面19．（12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為16（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）設(shè)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為p，展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為q，求21．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0,問(wèn)是否存在斜率是1的直線l，使l被圓C截得的弦AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若存在，寫(xiě)出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分或（）兩種情況討論，由面積列方程即可求解【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)或時(shí)，，解得，所以拋物線的方程是或.故選：C.2、B【解析】由已知求得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，，可求得范圍.【詳解】解：因?yàn)?，則，兩式相減得，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，，解得，又，，所以，解得，綜上得，故選：B.3、B【解析】由題可得，然后結(jié)合條件可得，即求.【詳解】設(shè)于點(diǎn)，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)G，則，又，∴，又于點(diǎn)且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.4、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【詳解】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，又由今共有糧食石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和為164石，則，，解得：，，故選：A5、B【解析】求出的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】，因“”“”且“”“”，因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6、B【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值點(diǎn)的定義逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，可得或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞減，在和上遞增，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：B.7、D【解析】首先利用坐標(biāo)法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后對(duì)符合的選項(xiàng)驗(yàn)證存在使得，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】不妨設(shè).對(duì)于A選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)為，故在平面上，也即四點(diǎn)共面.下面證明結(jié)論一定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四點(diǎn)共面.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間四點(diǎn)共面的證明方法，考查空間向量的線性運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.8、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到平面的距離公式，求出點(diǎn)到平面距離的最大值.【詳解】解：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第,則,,,設(shè)點(diǎn),故，，.設(shè)設(shè)平面的法向量為，則即，取，則.所以點(diǎn)到平面距離.當(dāng)，即時(shí)，距離有最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查空間內(nèi)點(diǎn)到面的距離最值問(wèn)題，屬于中檔題.9、D【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，：，所以，所以為q的既不充分又不必要條件.故選：D.10、A【解析】根據(jù)歸納推理是由特殊到一般，推導(dǎo)結(jié)論可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項(xiàng)和，是由特殊推導(dǎo)出一般性的結(jié)論，且，故A正確；B和C屬于演繹推理，故不正確；對(duì)于D，屬于歸納推理，但時(shí)，結(jié)論不正確，故D不正確.故選：A.11、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.12、C【解析】求出圓心到直線的距離，由這個(gè)距離加上半徑即得【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)，半徑，則圓心C到直線的距離為，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理可求得，再利用公式可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，因?yàn)榈淖畲笾禐?，則，可得，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.14、（1）直線過(guò)定點(diǎn)P（4，3），直線和圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn)（2）k=1，【解析】(1)把直線方程化為點(diǎn)斜式方程即可；(2)由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線與PC垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短.【小問(wèn)1詳解】直線方程可化為，則直線過(guò)定點(diǎn)P（4，3），又圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，而，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，所以不論k取何值，直線和圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線與PC垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短.，所以k=1時(shí)弦長(zhǎng)最短.弦長(zhǎng)為.15、【解析】根據(jù)題意可知，再利用裂項(xiàng)相消法，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.16、##【解析】由向量的數(shù)量積得，從而得，利用勾股定理和橢圓的定義可得的等式，從而求得離心率【詳解】，所以，又，所以是直角三角形，，，又，，所以，，，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由遞推式可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再由累加法求的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和【小問(wèn)1詳解】由可得：，又，，∴，則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴.∴.【小問(wèn)2詳解】∵，∴∴.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、菱形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可.【小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，，且四邊形平行四邊形，又，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，故，即：，且平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】在直三棱柱中，平面，平面，則，且，，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所以，又在平行四邊形中，，則四邊形菱形，所以，且，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，運(yùn)用通項(xiàng)公式可得，，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）求得，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和.【小問(wèn)1詳解】解：（1）設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，由，，可得，；即有，，則，則；【小問(wèn)2詳解】解：，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為.20、（1）（2）【解析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)得出，再由性質(zhì)求出展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）由通項(xiàng)得出，利用賦值法得出，再求解【小問(wèn)1詳解】由題意可得，解得．，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為；【小問(wèn)2詳解】，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得∴常數(shù)項(xiàng)令，可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為，∴21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)題意列出關(guān)于和的方程組，求解方程組，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.（2）對(duì)數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)情況進(jìn)行討論，再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公差為d，因?yàn)椋?，所以解得?【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)的前項(xiàng)和為，則.當(dāng)時(shí)，，所以所以；當(dāng)時(shí)，.所以.22、x-y-4=0或x-y+1="0."【解析】假設(shè)存在，并設(shè)出直線方程y＝x＋b，然后代入圓的方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得到根的關(guān)系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到參數(shù)b的方程求解即可試題解析：設(shè)直線l的方程為y＝x＋b①圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②聯(lián)立①②消去y，得2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有③因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以O(shè)A⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1