浙江省臺(tái)州市八校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁浙江省臺(tái)州市八校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）2022學(xué)年第一學(xué)期臺(tái)州八校聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題

考生須知：

1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.

選擇題部分

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程即可求解.

【詳解】由，可得，

所以直線的斜率為，則傾斜角為，

故選:C.

2.圓與圓的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.內(nèi)切D.外切

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)兩圓圓心距離與半徑和差的關(guān)系判斷即可.

【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，

則兩圓圓心距離為，兩圓半徑之差為，兩圓半徑之和為，

因?yàn)?，所以兩圓相交.

故選：B.

3.如圖，在平行六面體中，為的中點(diǎn)，若，則（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的分解求解.

【詳解】因?yàn)?

所以，

故選:B.

4.如果，那么直線不經(jīng)過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程即可.

【詳解】由可得，,

所以直線的斜率縱截距，

所以直線經(jīng)過一、二、四象限，

故選:C

5.設(shè)，向量，且，則（）

A.B.C.3D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用空間向量的平行、垂直以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】因?yàn)椋?，解得，所?/p>

又因?yàn)椋?，解得，所以?/p>

所以，則，

故選：A.

6.在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且與圓相切的直線有（）條

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】分截距為零和截距不為零兩種情況結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可

【詳解】圓的圓心為，半徑，

由題意可知切線的斜率存在，

當(dāng)截距為零時(shí)，設(shè)切線方程為，即，

所以，化簡(jiǎn)得，

因?yàn)椋?/p>

所以方程有兩個(gè)不相等的根，所以過原點(diǎn)的切線有兩條，

當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)切線方程為，即，

所以，解得或，

所以不過原點(diǎn)的切線為或，有2條，

綜上，在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且與圓相切的直線有4條，

故選：D

7.已知橢圓為橢圓的對(duì)稱中心，為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，軸，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意確定，進(jìn)而可得，即可求橢圓的離心率.

【詳解】

如圖，不妨設(shè)，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，

所以，

又因?yàn)闉榈妊苯侨切危?

即，即，所以，

解得或（舍），

故選:B.

8.已知長(zhǎng)方體中，.若是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)度的最小值為（）

A.B.6C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意設(shè)，然后根據(jù)可得的關(guān)系，再換元可求得的長(zhǎng)度的最小值,

【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

，設(shè)，則

，

因?yàn)椋?，即?/p>

令，則，

所以，

所以

（其中），

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，

即的長(zhǎng)度的最小值為，

故選：C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分.

9.已知圓與直線，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.圓圓心坐標(biāo)為B.直線過定點(diǎn)

C.直線與圓相交且所截最短弦長(zhǎng)為D.直線與圓可以相切

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)圓的方程直接求出圓心判斷A，直線恒過定點(diǎn)判斷B，利用垂徑定理結(jié)合圓的性質(zhì)求出最短弦長(zhǎng)判斷C，利用直線恒過圓內(nèi)定點(diǎn)判斷D.

【詳解】對(duì)于A，圓的圓心坐標(biāo)為，正確；

對(duì)于B，直線方程即，由可得，

所以直線過定點(diǎn)，正確；

對(duì)于C，記圓心，直線過定點(diǎn)，則，

當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，

此時(shí)直線截圓所得的弦長(zhǎng)最小，

此時(shí)弦長(zhǎng)為，正確；

對(duì)于D，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓必相交，錯(cuò)誤.

故選：ABC

10.已知空間四點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.B.

C.點(diǎn)到直線的距離為D.四點(diǎn)共面

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示公式、夾角公式，結(jié)合四點(diǎn)共面的性質(zhì)、點(diǎn)到線距離公式逐一判斷即可.

【詳解】A：因?yàn)椋?/p>

所以，因此本選項(xiàng)不正確；

B：因?yàn)椋?/p>

所以，因此本選項(xiàng)正確；

C：，

，

所以

所以點(diǎn)到直線的距離為，因此本選項(xiàng)不正確；

D：因?yàn)椋?/p>

所以有，因此是共線向量，

所以四點(diǎn)共面，因此本選項(xiàng)正確，

故選：BD

11.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的有（）

A.平面B.

C.二面角的大小為D.三棱錐的體積的最大值為

【答案】BD

【解析】

【分析】假設(shè)平面，由此推出，繼而不妨取E為CD的中點(diǎn)，推出矛盾，判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)判斷B；取E點(diǎn)的一個(gè)特殊位置求出此時(shí)的二面角判斷C；利用等體積法求出三棱錐的體積的最大值判斷D.

【詳解】對(duì)于A，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)平面，而平面，故；

不妨取E為CD的中點(diǎn)，連接EB，由平面，平面，

得，故，

而，則，

即，即和不垂直，故與矛盾，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，由平面，平面，得，

又，而平面，

故平面，平面，故，B正確；

對(duì)于C，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，不妨取E位于C點(diǎn)位置，

此時(shí)二面角即二面角，

設(shè)F中點(diǎn)，連接，由于，

故，則即為二面角的平面角，

，

又，故，

故不等于，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，由題意知，由于是棱上的動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)E在C點(diǎn)處時(shí)，E到平面的距離最大，即最大；

連接，由平面，平面，得，

又，而平面，

故平面，平面，故，

同理證明，而平面，

故平面，

設(shè)交平面于G點(diǎn)，則，

即，則，

,

故，即三棱錐的體積的最大值為，D正確，

故選：BD

12.已知橢圓的左，右兩焦點(diǎn)分別是，其中.直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則下列說法中正確的有（）

A.的周長(zhǎng)為

B.若的中點(diǎn)為，則

C.若，則橢圓的離心率的取值范圍是

D.若時(shí)，則的面積是

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓定義可知的周長(zhǎng)為，可判斷A正確；聯(lián)立直線和橢圓方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出斜率公式即可得，可得B正確；由易知點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，即可得圓與橢圓有交點(diǎn)，需滿足，可得離心率，可知C正確；將代入聯(lián)立的方程可得的面積，可得D正確.

【詳解】由可知，；

顯然直線過點(diǎn)，如下圖所示：

由橢圓定義可知的周長(zhǎng)為，所以A正確；

設(shè)，中點(diǎn)；

將直線和橢圓方程聯(lián)立，消去整理可得；

由韋達(dá)定理可得，所以，

代入直線方程解得，即；

所以，

可得，所以B錯(cuò)誤；

根據(jù)B選項(xiàng)，由可得，

可得，即點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上；

又點(diǎn)在橢圓上，即可得圓與橢圓有交點(diǎn)，

根據(jù)對(duì)稱性可知，即，所以可得離心率，即C正確；

若時(shí)，由選項(xiàng)B可知聯(lián)立直線和橢圓方程可得；

所以可得；

所以

易知的面積

即可得的面積是，故D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解圓錐曲線與直線的位置關(guān)系時(shí)，特別是在研究跟焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題時(shí)，經(jīng)常將直線和圓錐曲線聯(lián)立并利用韋達(dá)定理求解，注意變量間的相互轉(zhuǎn)化即可.

非選擇題部分

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡相應(yīng)題的橫線上.

13.畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長(zhǎng)半軸、短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為，則________________.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.

【詳解】由題可知，，所以，

故答案為:4.

14.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則________.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由橢圓的方程分析可得、的值，計(jì)算可得的值，由橢圓的定義可得的值，在△中，通過，，，由勾股定理分析可得答案．

【詳解】解：根據(jù)題意，橢圓，

其中，，

則，

點(diǎn)在橢圓上，若，則，

在△中，，，，

則，

則有，

故答案為．

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，注意由橢圓的定義分析得到的值，是中檔題．

15.如圖，平行六面體中，，，則線段的長(zhǎng)度是______.

【答案】

【解析】

【分析】由，轉(zhuǎn)化為向量的模長(zhǎng)，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由題知，

所以，

所以，即，所以線段的長(zhǎng)度是.

故答案為：

16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為________________.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)三角形三邊之間的不等關(guān)系可得，再結(jié)合橢圓定義將化為，結(jié)合以及圖形的幾何性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】由題意知為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，

故，

故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，

而,

故的最小值為，

故答案為：

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知直線.

（1）若，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線與之間的距離.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用直線垂直的公式列式計(jì)算即可.

（2）先利用直線平行求出a，然后代入平行直線距離公式求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)橹本€，且，

所以，所以所以.

【小問2詳解】

當(dāng)時(shí)，，解得，

此時(shí)，

所以與的距離.

18.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，

（1）求證：

（2）求點(diǎn)到平面的距離；

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理證得，再由線面垂直得線線垂直，進(jìn)而線面垂直得線線垂直；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)面距離的向量公式求解即可.

【小問1詳解】

中，，所以，

在直三棱柱中，平面，平面，所以，

又因?yàn)椋矫?，平面?/p>

所以平面，平面，所以.

【小問2詳解】

由（1）知，平面，平面，平面，

所以，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，解得，令，則，

設(shè)到平面的距離為，由得.

19.已知在四棱錐中，底面是矩形，是等邊三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn).

（1）求證：直線平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

取中點(diǎn)，連，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)

所以，且，又因?yàn)?，且?/p>

所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，

因?yàn)槠矫?，平面，故平?

【小問2詳解】

取中點(diǎn)，連，過作交于點(diǎn)，

因?yàn)闉檎切?，為中點(diǎn)，故，

又平面平面，平面平面，故平面，

又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，則，

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，所以，

令得平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)與平面所成角為，

所以，

故與平面所成角的正弦值為.

20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知四點(diǎn).

（1）求過三點(diǎn)的圓方程，并判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；

（2）過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，求直線的方程.

【答案】（1），在圓上

（2）或

【解析】

【分析】（1）設(shè)圓方程為，然后將三點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出圓的方程，再將點(diǎn)代入圓的方程驗(yàn)證即可，

（2）由已知可求得圓心到直線距離為1，然后分直線的斜率不存在和直線的斜率存在兩種情況求解即可.

【小問1詳解】

設(shè)圓方程為

把三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，

解得，

所以圓方程是

把點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，故在圓上.

【小問2詳解】

由，得，

所以圓心，半徑為，

因?yàn)橄议L(zhǎng)等于4，所以圓心到直線距離為，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即方程為，圓心到直線距離為1，滿足題意

若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為

圓心到直線的距離，解得

所以過點(diǎn)的直線為或.

21.在斜三棱柱中，為等腰直角三角形，，側(cè)面為菱形，且，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，平面平面.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明；

（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求二面夾角的余弦值.

【小問1詳解】

證明：作的中點(diǎn)，

連

因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形?/p>

可得：.

是中點(diǎn),

,

又平面，且交線為,

平面，即平面,

平面

平面平面；

【小問2詳解】

由（1）可得，平面，

則，

以為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，

，

，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

所以，令，則，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

所以，令，則，

設(shè)為二面角的平面角，

，

所以二面角余弦值為.

22.已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離比是.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若直線與軌跡交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.

【答案】（1）

（2）是定值，理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得，即可求解；

（2）利用韋達(dá)定理結(jié)合，可得，再利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式表示出三角形的面積，進(jìn)而可求解.

【小問1詳解】

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

化解可得：.

【小問2詳解】

設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程可得：，

消去可得：，

所以，即，

則，

，

，

把韋達(dá)定理代入可得：，

整理得，滿足，

又，

而點(diǎn)到直線的距離，

所以，

把代入，則，

可得是定值1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；2022學(xué)年第一學(xué)期臺(tái)州八校聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題

考生須知：

1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.

選擇題部分

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）

A.B.C.D.

2.圓與圓的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.內(nèi)切D.外切

3.如圖，在平行六面體中，為的中點(diǎn)，若，則（）

A.B.

CD.

4.如果，那么直線不經(jīng)過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.設(shè)，向量，且，則（）

AB.C.3D.

6.在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且與圓相切的直線有（）條

A.1B.2C.3D.4

7.已知橢圓為橢圓的對(duì)稱中心，為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，軸，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（）

A.B.C.D.

8.已知長(zhǎng)方體中，.若是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)度的最小值為（）

A.B.6C.D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分.

9.已知圓與直線，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.圓的圓心坐標(biāo)為B.直線過定點(diǎn)

C.直線與圓相交且所截最短弦長(zhǎng)為D.直線與圓可以相切

10.已知空間四點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.B.

C.點(diǎn)到直線的距離為D.四點(diǎn)共面

11.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的有（）

A.平面B.

C.二面角的大小為D.三棱錐的體積的最大值為