河北容城博奧學校2023-2024學年數學高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

河北容城博奧學校2023-2024學年數學高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數列中，已知，則數列的前9項和為（）A. B.13C.45 D.1172．已知數列中，其前項和為，且滿足，數列的前項和為，若對恒成立，則實數的值可以是（）A. B.2C.3 D.3．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對任意，C對任意， D.對任意，4．經過點的直線的傾斜角為，則A. B.C. D.5．橢圓上一點到一個焦點的距離為，則到另一個焦點的距離是（）A. B.C. D.6．已知雙曲線離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C. D.7．在等比數列{an}中，a1=8，a4=64，則a3等于（）A.16 B.16或-16C.32 D.32或-328．已知拋物線上的點到其準線的距離為，則（）A. B.C. D.9．已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數增函數 B.在區(qū)間上，函數是減函數C.為函數的極小值點 D.2為函數的極大值點10．已知點的坐標為(5，2)，F為拋物線的焦點，若點在拋物線上移動，當取得最小值時，則點的坐標是A.(1，) B.C. D.11．下列關于命題的說法錯誤的是A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.“”是“函數在區(qū)間上為增函數”的充分不必要條件C.命題“，使得”的否定是“，均有”D.“若為的極值點，則”的逆命題為真命題12．拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知空間向量，，且，則值為______14．，若2是與的等比中項，則的最小值為___________.15．已知圓關于直線對稱，則________16．已知平面，過空間一定點P作一直線l，使得直線l與平面，所成的角都是30°，則這樣的直線l有______條三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：的左，右頂點分別為A、B，點F是橢圓的右焦點，，（1）求橢圓C的方程；（2）不過點A的直線l交橢圓C于M、N兩點，記直線l、AM、AN的斜率分別為k、、．若，證明直線l過定點，并求出定點的坐標18．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為2（1）求橢圓的方程；（2）設過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，求當的面積取得最大值時的值19．（12分）已知命題p：，命題q：.（1）若命題p為真命題，求實數x的取值范圍.（2）若p是q的充分條件，求實數m的取值范圍；20．（12分）如圖所示，在正方體中，點，，分別是，，的中點（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的大小21．（12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為，若，求直線的方程22．（10分）已知拋物線的焦點為F，傾斜角為45°的直線m過點F，若此拋物線上存在3個不同的點到m的距離為，求此拋物線的準線方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據給定的條件利用等差數列的性質計算作答【詳解】在等差數列中，因，所以.故選：C2、D【解析】由求出，從而可以求，再根據已知條件不等式恒成立，可以進行適當放大即可.【詳解】若n=1，則，故；若，則由得，故，所以，，又因為對恒成立，當時，則恒成立，當時，，所以，，，若n為奇數，則；若n為偶數，則，所以所以，對恒成立，必須滿足.故選：D3、D【解析】根據特稱命題否定的方法求解，改變量詞，否定結論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對任意，”.故選：D.4、A【解析】由題意，得，解得；故選A考點：直線的傾斜角與斜率5、B【解析】利用橢圓的定義可得結果.【詳解】在橢圓中，，由橢圓的定義可知，到另一個焦點的距離是.故選：B.6、C【解析】運用點差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經檢驗滿足題意故選：C7、C【解析】首先根據a4=a1q3，求得q=2，再由a3=即可得解.【詳解】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.故選：C8、C【解析】首先根據拋物線的標準方程的形式，確定的值，再根據焦半徑公式求解.【詳解】，，因為點到的準線的距離為，所以，得故選：C9、D【解析】根據導函數與原函數的關系可求解.【詳解】對于A，在區(qū)間，，故A不正確；對于B，在區(qū)間，，故B不正確；對于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，且，所以為函數的極大值點，故C不正確，D正確.故選：D10、D【解析】過作準線的垂線，垂足為，則，當且僅當三點共線時等號成立，此時，故，所以，選D11、D【解析】根據命題及其關系、充分條件與必要條件、導數在函數中應用、全稱量詞與存在量詞等相關知識一一判斷可得答案.【詳解】解：A,由原命題與逆否命題的構成關系,可知A正確；B,當a=2>1時,函數在定義域內是單調遞增函數，當函數定義域內是單調遞增函數時，a>1.所以B正確；C,由于存在性命題的否定是全稱命題,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正確；D,的根不一定是極值點，例如:函數,則=0，即x=0就不是極值點,所以“若為的極值點，則”的逆命題為假命題,故選D.【點睛】本題主要考查命題及其關系、充分條件與必要條件、導數在函數中應用、全稱量詞與存在量詞等相關知識，需牢記并靈活運用相關知識.12、A【解析】將拋物線的方程化成標準形式，即可得到答案；【詳解】拋物線的方程化成標準形式，準線方程為，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用向量的坐標運算及向量數量積的坐標表示即求.【詳解】由題意，空間向量，可得，所以，解得.故答案為：.14、3【解析】根據等比中項列方程，結合基本不等式求得的最小值.【詳解】由題可得，則，當且僅當時等號成立.故答案為：15、1【解析】根據題意，圓心在直線上，進而求得答案.【詳解】由題意，圓心在直線上，則.故答案為：1.16、4【解析】設平面，在平面內作于點O，在平面內過點O作，設OM是的角平分線，過棱m上一點P作，則過點O在平面OMQP上存在2條直線l，使得直線l與OB、OA成，直線l與平面且與平面，所成的角都是30°，在的補角一側也存在2條滿足條件的直線l，由此可得答案.【詳解】解：設平面，在平面內作于點O，在平面內過點O作，因為平面，所以，設OM是的角平分線，則，過棱m上一點P作，則過點O在平面OMQP上存在2條直線l，使得直線l與OB、OA成，此時直線l與平面且與平面，所成的角都是30°，同理，在的補角一側也存在2條滿足條件的直線l，所以這樣的直線l有4條，故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析，(－5,0).【解析】(1)寫出A、B、F的坐標，求出向量坐標，根據向量的關系即可列出方程組，求得a、b、c和橢圓的標準方程；(2)設直線l的方程為y＝kx＋m，，．聯立直線l與橢圓方程，根據韋達定理得到根與系數的關系，求出，根據即可求得k和m的關系，即可證明直線過定點并求出該定點.【小問1詳解】由題意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)∵，∴解得從而b2＝a2－c2＝3∴橢圓C的方程；【小問2詳解】設直線l的方程為y＝kx＋m，，∵直線l不過點A，因此－2k＋m≠0由得時，，，∴由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程為y＝kx＋5k，恒過定點(－5,0).18、（1）；（2）.【解析】（1）由短軸長得，由離心率處也的關系，從而可求得，得橢圓方程；（2）設，，直線的方程為，代入橢圓方程應用韋達定理得，由弦長公式得弦長，求出原點到直線的距離，得出三角形面積為的函數，用換元法，基本不等式求得最大值，得值【詳解】解：（1）由題意得，，所以，，橢圓的方程為（2）直線的方程為，代入橢圓的方程，整理得由題意，，設，則，弦長，點到直線的距離，所以的面積，令，則，當且僅當時取等號．所以，對應的，可解得，滿足題意19、（1）；（2）.【解析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范圍；（2）由p是q的充分條件，轉化為集合的包含關系，從而可求實數m的取值范圍.【詳解】（1）由p：為真，解得.（2）q：，若p是q的充分條件，則是的子集所以.即.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，可得，從而可證四邊形是平行四邊形，從而證明結論.（2）以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求解線面角.【小問1詳解】如圖，連接在正方體中，且因為，分別是，的中點，所以且又因為是的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以【小問2詳解】以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系設，則，，，，，，設為平面的法向量因為，，，所以令，得設直線與平面所成角為，則因為，所以直線與平面所成角的大小為21、（1）（2）【解析】（1）由離心率公式以及橢圓的性質列出方程組得出橢圓的方程；（2）聯立直線和橢圓方程，利用韋達定理得出點坐標，最后由距離