大學物理《普通物理學簡明教程》振動、波動和光學習題精解匯總

PAGEPAGE18振動、波動和光學習題精解第10章機械振動10.1要求1了解簡諧振動的能量；2理解旋轉矢量法、同方向和同頻率簡諧振動的合成的規(guī)律；3掌握簡諧振動的各物理量（）及各量間的關系、簡諧振動的基本特征、建立簡諧振動的微分方程、根據(jù)初始條件寫出一維簡諧振動方程、同方向和同頻率簡諧振動的合成。10.2內容摘要1簡諧振動運動學方程特征量：振幅A：決定振動的范圍和能量；角頻率ω：決定振動重復的快慢，頻率；初相：決定起始的時刻的位置和速度。2振動的位相（）簡諧振動在t時刻的位相；3簡諧振動動力學方程彈性力：，；4、簡諧振動的能量5、受迫振動：是在驅動力作用下的振動。穩(wěn)態(tài)的受迫振動的頻率等于驅動力的頻率。當驅動力的頻率等于系統(tǒng)的頻率時，發(fā)生共振現(xiàn)象，振幅最大。6、同方向、同頻率簡諧振動的合成，其中，A=，相位差起了相當重要的作用（1）兩個諧振的頻率相同時，合運動的振幅決定于它們的相位差：同向時（），合振動最大，為兩者振幅之和；反向時合振動最小[]，為兩者振幅之差；（2）兩個諧振的頻率不相同時，合運動會產生拍現(xiàn)象，拍的頻率為兩個諧振的頻率之差。10.3解題思路1根據(jù)給定條件，寫簡諧振動表達式時，要找出三個特征量和。要特別注意初始條件，利用初始條件畫出向量圖是求的一個方便的方法。由質點的初始位置和速度（特別是注意正和負）就可以畫出振幅矢量的位置，確定的值；2從分析力著手判定簡諧振動時，基本步驟就是求質點在給定條件下受的合力，只要得到合力對某一平衡位置的位移正比而反向，就可以判定質點的運動是簡諧振動，并可立即由力和位移的比例常數(shù)和質點的質量，寫出簡諧振動的角頻率或周期；3應用同一直線上兩個簡諧振動的合成規(guī)律時，要特別注意它們的相位差和合成的振幅的關系；同向時，合振幅最大，反向時，合振幅最小。10.4思考題選答1彈簧振子的無阻尼自由振動是簡諧振動，同一彈簧振子在簡諧驅動力持續(xù)作用下的穩(wěn)態(tài)受迫振動也是簡諧振動，這兩種簡諧運動有什么區(qū)別？答：彈簧振子的無阻尼自由振動是在“無阻尼”，包括沒有空氣等外界施加的阻力和彈簧內部的塑性因素引起的阻力的情況下發(fā)生的，是一種理想情況。由于外界不能輸入能量，所以彈簧振子的機械能守恒。這時振動的頻率由彈簧振子自身的因素（）決定。在簡諧驅動力持續(xù)作用下的穩(wěn)態(tài)簡諧運動是在驅動力作用下產生的。這時實際上，彈簧振子受的阻力也起作用，只是在驅動力對彈簧振子做功而且輸入彈簧振子的能量等于彈簧振子由于阻力消耗的能量時，振動才達到穩(wěn)態(tài)，這樣彈簧振子的能量才保持不變。此時，穩(wěn)態(tài)受迫振動的頻率決定于驅動力的頻率，而與彈簧振子的固有頻率無關。2任何一個實際的彈簧都是有質量的，如果考慮彈簧的質量，彈簧振子的振動周期將變大還是變?。看穑簭馁|量的意義上來說，質量表示物體的慣性，彈簧本身的質量計入時，系統(tǒng)的質量增大，更不易改變運動狀態(tài)。對不斷地周期性改變運動狀態(tài)的彈簧振子的簡諧運動來說，其進程一定要變慢。這就是說，考慮彈簧的質量時，彈簧振子的振動周期將變大。10.5習題解答10-1質量為10g的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律而振動，式中t以s為單位,試求:(1)振動的角頻率、周期、振幅、初相、速度及加速度的最大值;(2)t=1s、2s、10s等時刻的相位各為多少?(3)分別畫出位移、速度、加速度與時間的關系曲線。解：(1)振動的角頻率、周期、振幅、初相、速度及加速度的最大值：由已知，，，；，(2)t=1s、2s、10s等時刻的相位各為：，，。(3)分別畫出位移、速度、加速度與時間的關系曲線10-2有一個和輕彈簧相聯(lián)的小球，沿x軸作振幅為A的簡諧振動，其表式用余弦函數(shù)表示。若t=0時，球的運動狀態(tài)為:(1)x0=-A;(2)過平衡位置向x正方向運動;(3)過x=A/2處向x負方向運動;(4)過處向x正方向運動;試用矢量圖示法確定相應的初相的值，并寫出振動表式。解：振動表式：(1)x0=-A，；(2)過平衡位置向x正方向運動，；(3)過x=A/2處向x負方向運動，；(4)過處向x正方向運動，，。10-3某質點振動的x-t曲線如題圖5－7所示.求：（1）質點的振動方程；（2）質點到達P點相位；（3）質點到達P點相應位置所需的最短時間.分析由旋轉矢量可以得出相位和角頻率，求出質點的振動方程。并根據(jù)P點的相位確定最短時間。題圖10-3題圖10-310-17兩同方向簡諧振動，其振動方程分別為式中x以m為單位，t以s為單位.(1)求合振動的振幅和初相;(2)若另有一同方向簡諧振動,問為何值時,合振動的振幅為最大;又為何值時,合振動的振幅為最小?(3)用旋轉矢量法表示(1)、（2）的結果.分析先體會給出的兩個振動方程,哪里體現(xiàn)了同方向?哪里體現(xiàn)了同頻率?作兩個同方向同頻率振動合成,最簡單的方法是旋轉矢量法(不妨也嘗試一下解析法),只要畫出了合成矢量,簡單的幾何關系便給出合振動的振幅及初相.本題的另一部分是討論振動加強減弱條件,這為后面討論機械波、光波的干涉加強減弱作舖墊.AωA1φ0A2π/4xO圖10-17解(1)如圖10-17,兩矢量間夾角為,所以合振動振幅合振動初相(2)合振動A再與第三個振動合成.根據(jù)振動疊加條件,時合振動有極大值,即(k=0,1,2…)當時合振動有極小值,即(k=0,1,2…)10-19當兩個同方向的簡諧振動合成為一個振動時，其振動表式為：式中t以s為單位。求各分振動的角頻率和合振動的拍的周期。解：已知，拍的標準方程為：兩式比較得：拍的周期為。10.23一質點沿軸作簡諧運動振動方程為（SI），從t=0時刻起到質點位置在處，且向軸正方向運動的最短時間間隔為（A）1/8秒；（B）1/4秒；（C）1/2秒；（D）1/3秒、（E）1/6秒。[]解：（1）根據(jù)振動方程可知：振幅，角頻率，初相，周期=1秒；（2）分析質點運動情況：從t=0時刻起，；向軸負方向運動，直到,即為止；質點改變運動方向，向軸正方向運動到位置P點。最短時間間隔為：(3)處的時刻。第11章機械波基礎11.1要求1了解波的能量傳播特征及能流密度概念、駐波和行波的區(qū)別、機械波的多普勒效應及其產生的原因、電磁波的性質；2理解機械波產生的原因、波形曲線；3掌握由已知質點的簡諧振動方程，得出平面簡諧波函數(shù)的方法及波函數(shù)的物理意義、11.2機械波基礎摘要1波振動的傳播稱為波。機械波在介質中傳播時，只是振動的傳播，介質不移動。質元的運動方向和振動傳播的方向垂直，這種波叫做橫波，其外形上有波峰和波谷；質元的運動方向和振動傳播的方向平行的波稱為縱波。2簡諧波簡諧運動的傳播稱為簡諧波。數(shù)學表達式，式中負號表示沿x軸正方向傳播的波，正號表示沿x軸負方向傳播的波。3彈性介質中的波速（式中G為切變模量，ρ為體密度）橫波波速；縱波波速，式中E為揚模量，液體和氣體中縱波波速，式中K為介質的體積模量，ρ為體密度；拉緊繩中的橫波波速，式中F或T為繩中張力，ρ為體密度；4簡諧波的能量任一質元的動能和彈性勢能同樣地變化。平均能量密度，波的強度，5惠更斯原理介質中波傳到的各點都可看作開始發(fā)射子波的點波源，在以后的任一時刻，這些子波的包絡面就是該時刻的波前。6駐波在同一媒質中，有兩列振幅相等、方向相反在同一直線上傳播的相干波，疊加時形成的一種特殊的波的干涉現(xiàn)象稱為駐波。其表達式為實際上是穩(wěn)定的分段振動，有波節(jié)和波腹。多普勒效應接收器收到的頻率與接收器（R）和波源（S）的運動有關。波源靜止時，，接收器向波源運動時取正值，遠離時為負；接收器靜止時，，波源向接收器運動時取正值，遠離時為負。11.3解題思路1關于波函數(shù)的習題，基本是兩類：一類是識別給定的波函數(shù)，即由給定的波函數(shù)的公式，求波的頻率、振幅、波速和波長等。這時將給定的波函數(shù)和波函數(shù)的標準公式加以對比，即可求得；另一類是已知條件（如某一質元的振動表達式）寫出波函數(shù)。這時要注意“沿波的傳播方向振動逐點延緩”這一基本規(guī)律，求出延緩的時間，然后改寫已知質元的振動表達式，既可寫出所求的波函數(shù)。在寫反射波函數(shù)時，也要先計算從給定的質元到反射波中任一點的時間延遲，這時還要特別注意反射的情況。如果遇到波密介質（或固定點）而反射，需要計入半波損失，即在傳播距離上要加（或減去）半個波長，或在波函數(shù)的相位的公式加或減π；2在計算波的能量或強度時，也要注意質元的振動速度和波的傳播速度u的區(qū)別。質元的動能決定于前者，而波的強度和波的速度有關；3對駐波波函數(shù)，應注意到它是有一個振動因子和一個隨坐標周期性變化的因子的乘積組成。由此可得到各質元的振動頻率、振幅和相位隨坐標的分布。對于兩端固定的弦上形成的駐波，應注意波長是“量子化”了的。由波長和弦中的波速，可求得波的頻率。4在計算由于多普勒效應而產生頻率改變時，要注意公式中速度的符號，要注意區(qū)別發(fā)射的頻率、波的頻率和接受的頻率的區(qū)別。11.4思考題選答1二胡調音時，要擰動上部的旋桿，演奏時手指壓觸弦線的不同部位，就能發(fā)出各種音調不同的聲音。這都是什么緣故？答：擰動上部的旋桿是改變弦線的張力，而改變弦線中的波速，使對應于弦線全長（從千斤到碼子）的弦的頻率發(fā)生變化，以確定二胡標準基音。弦線的張力固定后，手指壓觸弦線的不同部位，就是改變弦線上的振動部分的長度，也就是改變弦線所發(fā)出的基音頻率，即發(fā)出各種不同音階的聲音。2在有北風的情況下，站在南方的人聽到在北方的警笛發(fā)出的聲音和無風的情況下聽到的有何不同？你能導出一個公式嗎？答：在警笛是靜止的情況下，北風只是改變了聲波相對地面的傳播速度。對于站在南方的人來說，他聽到的警笛發(fā)出的聲音的頻率并無改變，若為聲波在靜止的空氣中的聲速，為北風相對地面的速度；則在有北風的情況下，相對地面的聲速為。這時，警笛發(fā)出向南的聲音的波長為，T為其的周期。南方的人一個周期內接收到的聲波波列的長度為，即波數(shù)為這就是他接收到的頻率。11.5習題精解11-1一橫波在沿繩子傳播時的波方程為：(1)求波的振幅、波速、頻率及波長；(2)求繩上的質點振動時的最大速度和最大加速度；(3)求質點的相位，它是原質點處在哪一時刻的位相?(4)分別畫出t=1s、t=1.25s和t=1.50s的波形。解：（1）用比較法（與標準波動方程），由得；（2）（2）；（3）t=1(s)時波形方程為：t=2(s)時波形方程為：；(4)分別畫出t=1st=1.25s和t=1.50s的波形11-4.已知一沿正方向傳播的平面余弦波，11-4.已知一沿正方向傳播的平面余弦波，時的波形如圖所示，且周期T=2s.（1）寫出點的振動表達式；（2）寫出該波的波動表達式；（3）寫出點的振動表達式；（4）寫出點離點的距離。解：由圖可知A=0.1m，λ=0.4m，由題知T=2s，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s。波動方程為：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+Ф0］m關鍵在于確定O點的初始相位。由上式可知：O點的相位也可寫成：φ=πt+Ф0由圖形可知：時y０=-A/2，v０＜0，∴此時的φ=2π／3，將此條件代入，所以：所以點的振動表達式y(tǒng)=0.1cos［πt+π/3］m（2）波動方程為：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］m（3）點的振動表達式確定方法與O點相似由上式可知：A點的相位也可寫成：φ=πt+ФA0由圖形可知：時y０=0，v０>0，∴此時的φ=-π／2，將此條件代入，所以：所以A點的振動表達式y(tǒng)=0.1cos［πt-5π/6］m（4）將A點的坐標代入波動方程，可得到A的振動方程，與（3）結果相同，所以：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］=0.1cos［πt-5π/6］可得到：。BA圖11-511-5如題11-5所示，一平面波在介質中以波速沿x軸負方向傳播，已知A點的振動方程為.BA圖11-5(1)以A點為坐標原點寫出波方程；(2)以距A點5m處的B點為坐標原點，寫出波方程.分析由波相對坐標軸的傳播方向和已知點的振動方程直接寫出波方程。解：(1)坐標為x處質點的振動相位為波的表達式為(2)以B點為坐標原點，則坐標為x點的振動相位為波的表達式為解：由圖：解：由圖：，11-6一平面簡諧波在t=0時的波形曲線如圖所示，波速u=0.08m/s;(1)寫出該波的波動表式;(2)畫出t=T/8時的波形曲線。波動方程：11.11.31一列平面簡諧波表達式為，則該波的頻率ν（HZ），波速u（m/s）及波線上各點的振幅A（m）依次為（A）、1/2、1/2、-0.05；（B）、1/2、1、-0.05；（C）、1/2、1/2、0.05；（D）、2、2、0.05。[]解：平面簡諧波的標準表達式為：，A=0.05，；將兩表達式進行對照選(C)。11-20同一介質中的兩個波源位于A、B兩點，其振幅相等，頻率都是100Hz，相位差為π。若A、B兩點相距為30m，波在介質中的傳播速度為40m/s，試求AB連線上因干涉而靜止的各點位置。解：選擇A點為坐標原點，對于A、B間的任意一點CxxByoAx...C30A點波動方程：B點波動方程：即：，產生干涉相消，所以，距A點處產生干涉相消而靜止；，位于A、B兩點以外任一點，不可能產生干涉相消，都是加強。第14章波動光學12.1要求1了解邁克爾干涉儀的原理、惠更斯-菲涅爾原理和雙折射現(xiàn)象；2理解獲得相干光的方法、單縫夫瑯和費衍射干涉條紋分布規(guī)律的方法；3掌握光柵衍射公式、自然光和偏振光和布儒斯特定律和馬呂斯定律；4熟練掌握光程、光程差和位相差之關系、分析和確定揚氏雙縫干涉條紋以及等厚干涉條紋的位置、分析縫寬和波長對衍射條紋分布的影響、分析光柵常數(shù)和波長對衍射條紋分布的影響。12.2內容摘要1光是電磁波實驗發(fā)現(xiàn)光是電磁波，射線等都是電磁波。所有電磁波的本質都是相同的，具有所有波的性質，只是它們的頻率和波長不同而已。2光的相干現(xiàn)象兩列光波疊加時，產生的光強在空間內有一穩(wěn)定分布的現(xiàn)象。相干疊加的條件振動方向相同、頻率相同和有固定的相位差。3相干光強，最亮；時，I=0，最暗。4光程光在某一媒質中所經(jīng)歷的幾何路程與此媒質的折射率的乘積，稱為光程。數(shù)學表達，C為真空中的光速。光程差兩束光的光程之差，稱為光程差，用δ表示。相位差光由光疏媒質射向光密媒質，在界面反射時，發(fā)生半波損失，等于的光程。5揚氏雙縫實驗干涉加強條件；干涉減弱條件6薄膜干涉光程差當，k=1，2，3，……明條紋；當，k=0，1，2，3，……暗條紋。劈尖干涉空氣劈尖（薄膜厚度不均勻時）產生的干涉。光程差，當，k=1，2，3，…明條紋；當，k=0，1，2，3，…暗條紋。牛頓環(huán)光程差，=kλ，k=1，2，……明環(huán)；，k=0，1，2,……暗環(huán)。干涉明條紋半徑k=1，2，……明環(huán)；干涉暗條紋半徑……暗環(huán)。7邁克耳干涉儀利用分振幅法，使兩各相互垂直的平面鏡形成一等效的空氣薄膜。式中N為視場中移過的條紋數(shù)，d為平移的距離。8惠更斯-菲涅耳原理同一波前上的任一點，都可以看作新的“次波源”，并發(fā)射次波；在空間某點P的振動是所有次波在該點的相干疊加。9夫瑯和費衍射單縫衍射用菲涅耳半波帶法分析。單色光垂直入射時，衍射暗條紋中心位置滿足要求（暗紋）圓孔衍射單色光垂直入射時，中心亮斑半角寬度（角半徑）為10光學儀器的分辯本領最小分辯率最小分辯角，（）。11光柵衍射：在黑暗的背景上，顯現(xiàn)窄細明亮的譜線。光柵方程譜線（主極大）位置滿足方法：，k=0，1，2，…譜線強度受單縫的調制，產生缺級現(xiàn)象。產生缺級現(xiàn)象的條件光柵的分辨率，（δλ=λ2-λ1，N為光柵總縫數(shù)）12衍射布拉格公式，d為兩晶面間距離。13自然光和偏振光光是橫波。在垂直光的傳播方向的平面內，光振動（E）各個方向振幅都相等的光，稱為自然光；只在一個方向有電振動的光稱為線偏振光，各個方向都有電振動，但是振幅不同的光叫部分線偏振光。14由介質吸收引起的光的偏振偏振片只允許某一方向的光振動通過，和這一方向垂直的光振動完全被吸收。偏振片可用作起偏器，也可用作檢偏器。15馬呂斯定律，式中，I為通過偏振片的光強，為入射光強，θ為光振動方向與偏振片的通光方向之夾角。16布儒斯特定律自然光在電介質表面反射時，反射光是部分偏振光，但入射角滿足時，反射光是線偏振光，其光振動方向與入射面垂直。稱為相關介質的布儒斯角。17由雙折射引起的光的偏振一束自然光射入某些晶體時，會分為兩束，一束遵守折射定律，折射率不隨入射方向改變，叫尋常光；另一束折射率隨入射方向改變，稱為非常光。尋常光和非常光都是線偏振光，它們相互垂直。18由散射引起的光的偏振自然光在傳播路徑上遇到小微?；蚍肿訒r，會激起粒子中的電子振動向四周發(fā)射光線，這就是散射。垂直于入射光方向的散射光是線偏振光，其他方向的散射光是部分偏振光。19旋光現(xiàn)象線偏振光通過物質時振動面旋轉的現(xiàn)象。旋轉角度與光通過物質的路徑長度成正比，，式中，為旋光常數(shù)。20橢圓偏振光和圓偏振光在各向異性晶體內產生的e光和o光是振動頻率相同，且振動方向相互垂直的兩偏振光；如果在空間某處疊加有固定位相差時，合成光矢量的軌跡可能是橢圓，也可能是圓。軌跡是橢圓稱為橢圓偏振光；軌跡是圓稱為圓偏振光。1）振幅2）光程差相位差12.3解題思路1干涉問題的解答，根本上是依靠兩束相干光的相差或光程差的計算。首先要判斷是哪兩束相干光疊加，然后再看它們的路程差。在光通過媒質時，還要計算出光程差。在有反射時，還要判斷是否有半波損失?？偟墓獬滩钣嬎愠鰜砗螅涂梢杂霉獬滩詈停ㄕ婵罩械模┎ㄩL的關系來判斷疊加時明暗條紋的位置了：光程差等于波長的整數(shù)倍時，給出明條紋；等于半波長的整數(shù)倍時，給出暗條紋；2要注意干涉條紋的分布和相干光的波長的關系，白光干涉會出現(xiàn)彩色條紋；3光的衍射問題的分析，根本上是依靠兩束相干光的相差或光程差的計算，不過此處處理的是連續(xù)分布的相干子波波源發(fā)出的光的疊加。本章所給出的公式都是入射光垂直于衍射屏的情況。這種情況下，衍射屏上連續(xù)分布的子波波源都是同相的。如果是斜入射，則計算光程差時還要計算這些子波波源的相差；4細絲和細粒的衍射應和細縫及細孔的衍射一樣處理；5光柵衍射是結合了各縫之間的干涉和每個條縫中連續(xù)波源的衍射所引起的疊加現(xiàn)象。要既能求主極大（譜線）的位置，又能求譜線的寬度，還要能解決缺級現(xiàn)象；6對于射線的衍射，要能根據(jù)具體的入射情況和晶體的晶面間距，列出干涉加強的條件，不可死記公式；7了解幾種線偏振光產生的條件，在利用馬呂斯定律和布儒斯特角定義時，需了解光振動的分解及光強和振幅的平方成正比的規(guī)律以及注意光振動方向及偏振片通光方向的正確判斷。12.4思考題選答1用普通的單色光源照射一塊兩面不平行的玻璃板作劈尖干涉實驗，板的兩面的夾角很小，但是板比較厚。這時觀察不到干涉現(xiàn)象，為什么？答：普通光源發(fā)出的單色光的波列長度很短。同一波列從上下兩表面反射后，由于光程差較大，兩束反射光不可能疊加在一起，這樣，從玻璃板上下表面反射而疊加的兩束光就是不相干的。因此，不能觀察到干涉條紋。2隱形飛機所以很難為敵方雷達發(fā)現(xiàn)，可能是由于飛機表面涂敷了一層電介質（如塑料或橡膠薄膜），從而使入射的雷達波反射極微。試說明這層電介質可能是怎樣減弱反射波的。答：可能是利用薄膜干涉原理，使從電介質層兩表面反射的雷達波干涉相消了。因而，雷達波反射極微。也可能是電介質的吸收作用，它吸收入射波的能量，因而減小了反射波的強度。3如何說明不論多縫的縫數(shù)有多少，各主極大的角位置總是和有相同縫寬和縫間距的雙縫干涉極大的角位置相同？答：雙縫和等間距、等寬的多縫的主極大都是只由相鄰兩縫的干涉決定的，都要滿足所以二者的主極大的角位置相同。4一個”雜亂”光柵,每條縫寬度是一樣的,但是縫間的距離有大有小,隨機分布.單色光垂直入射這種光柵時,其衍射圖樣會是什么樣的?答:由于各縫間距離雜亂,各縫間透過的光的相干將被破壞而不能出現(xiàn)光柵有主極大那樣的譜線.各縫產生的衍射將依然存在,在透鏡后面形成單縫的衍射條紋,其強度為各單縫單獨產生的強度之和。12.5習題解答12-3用很薄的云母片(n=1.58)覆蓋在雙縫實驗中的一條縫上，這時屏幕上的零級明條紋移到原來的第七級明條紋的位置上，如果入射光波長為l=550nm。試問此云母片的厚度為多少?解：設云母片的厚度為e，無云母片時：放置云母片后聯(lián)立（1）和（2）：12-4一射電望遠鏡的天線設在湖岸上，距湖面高度為h對岸地平線上方有一恒星剛在升起，恒星發(fā)出波長為l的電磁波。試求當天線測得第一級干涉極大時恒星所在的角位置(提示:作為洛埃鏡干涉分析)。ha解：洛埃鏡干涉分析：即故。題圖1