河南省濮陽(yáng)市華龍區(qū)濮陽(yáng)一中2023年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

河南省濮陽(yáng)市華龍區(qū)濮陽(yáng)一中2023年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，則等于（）A.2 B.C. D.2．若，則與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定3．若橢圓的弦恰好被點(diǎn)平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.4．“”是“直線與互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知平面，的法向量分別為，，且，則（）A. B.C. D.6．“，”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.8．我國(guó)古代數(shù)學(xué)論著中有如下敘述：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四．”思如下：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層下一層所掛燈數(shù)是上一層所掛燈數(shù)的2倍．下列結(jié)論不正確的是（）A.底層塔共掛了128盞燈B.頂層塔共掛了2盞燈C.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)比最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)多200D.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)是最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)的16倍9．過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則的面積為（）A. B.C. D.10．已知，若，是第二象限角，則=（）A. B.5C. D.1011．已知為等差數(shù)列，且，，則（）A. B.C. D.12．設(shè)雙曲線與冪函數(shù)的圖象相交于，且過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切于，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，分別是橢圓C：左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_(kāi)__________14．定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”.（1）設(shè)，則在上的“新駐點(diǎn)”為_(kāi)__________；（2）如果函數(shù)與的“新駐點(diǎn)”分別為、，那么和的大小關(guān)系是___________.15．以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程是__________16．過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于、兩個(gè)不同點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）設(shè)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線AB和DE，其中A，B，D，E都在橢圓上，求的取值范圍.18．（12分）已知命題：，在下面①②中任選一個(gè)作為：，使為真命題，求出實(shí)數(shù)a取值范圍.①關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個(gè)解答計(jì)分.）19．（12分）已知圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，且它的圓心M在直線上.（1）求圓M的方程；（2）若點(diǎn)D為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，求線段CD的中點(diǎn)P的軌跡方程.20．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點(diǎn)，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值21．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用兩角和的正切公式計(jì)算出正確答案.【詳解】.故選：D2、B【解析】由題知，進(jìn)而研究的符號(hào)即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B3、D【解析】判斷點(diǎn)M與橢圓的位置關(guān)系，再借助點(diǎn)差法求出直線AB的斜率即可計(jì)算作答.【詳解】顯然點(diǎn)橢圓內(nèi)，設(shè)點(diǎn)，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點(diǎn)平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D4、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)求出，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€與互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直線與互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.5、D【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：因?yàn)椋运?，所以，所?故選：D6、A【解析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由，可知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；反之，若表示雙曲線，則，即，或，所以“，”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件故選：A7、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.8、C【解析】由題設(shè)易知是公比為2的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，結(jié)合各選項(xiàng)的描述及等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式判斷正誤即可.【詳解】從上往下記每層塔所掛燈的盞數(shù)為，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，解得，所以頂層塔共掛了2盞燈，B正確；底層塔共掛了盞燈，A正確最上面3層塔所掛燈總盞數(shù)為14，最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)為224，C不正確，D正確故選：C.9、B【解析】畫(huà)出圖形，利用已知條件結(jié)合拋物線的定義求解邊長(zhǎng)CF，BK，然后求解三角形的面積即可【詳解】如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)作于，過(guò)作于，過(guò)作于，設(shè)，則根據(jù)拋物線的定義可得，，，的面積為，故選：.10、D【解析】先由誘導(dǎo)公式及同角函數(shù)關(guān)系得到，再根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，最后由二倍角公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】∵，∴，∵是第二象限角，∴，∴故選：D11、B【解析】由已知條件求出等差數(shù)列的公差，從而可求出【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，故選：B12、B【解析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，利用判別式可得，進(jìn)而可求，再結(jié)合雙曲線的定義可求，即得.【詳解】可設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，由題意得,∴，，∴，即，由雙曲線定義得，.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先計(jì)算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標(biāo)為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因?yàn)镸在橢圓上,.因?yàn)镸在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過(guò)M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標(biāo)為.因?yàn)镸為橢圓C：上一點(diǎn)且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標(biāo)為.故答案為：14、①.②.【解析】（1）根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義求得，結(jié)合可得出結(jié)果；（2）求出的值，利用零點(diǎn)存在定理判斷所在的區(qū)間，進(jìn)而可得出與的大小關(guān)系.詳解】（1），，根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得，即，可得，，解得，所以，函數(shù)在上的“新駐點(diǎn)”為；（2），則，根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得，即.，則，由“新駐點(diǎn)”的定義得，即，構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，，，，由零點(diǎn)存在定理可知，，.故答案為：（1）；（2）.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，是新定義的題型，關(guān)鍵是理解“新駐點(diǎn)”的定義.15、；【解析】根據(jù)相切可得圓心到直線距離即為圓的半徑,利用點(diǎn)到直線距離公式解出半徑,即可得到圓的方程【詳解】由題,設(shè)圓心到直線的距離為,所以,因?yàn)閳A與直線相切,則,所以圓的方程為,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與圓的位置關(guān)系求圓的方程,考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用16、【解析】利用點(diǎn)差法可求得的值，利用離心率公式的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，則，由已知可得，由題意可得，將兩個(gè)等式相減得，所以，，因此，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，及經(jīng)過(guò)點(diǎn)建立等式可求解；（2）分斜率存在與不存在兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，計(jì)算與后再求范圍即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知的離心率為，整理得，又因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，因此，的方程為.小問(wèn)2詳解】由已知可得，當(dāng)直線AB或DE有一條的斜率不存在時(shí)，可得，或，，此時(shí)有或.當(dāng)AB和DE的斜率都存在時(shí)且不為0時(shí)，設(shè)直線：，直線：，，，，由得，所以，，所以，用替換可得.所以，綜上所述，的取值范圍為.18、答案見(jiàn)解析【解析】根據(jù)題意，分析、為真時(shí)的取值范圍，又由復(fù)合命題真假的判斷方法可得、都是真命題，據(jù)此分析可得答案.【詳解】解：選①時(shí)由知在上恒成立，∴，即又由q：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根，知解得，由為真命題知,解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍.選②時(shí)由知在上恒成立，∴，即又由，知在上恒成立，∴，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，∴，由為真命題知，解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍.19、（1）.（2）.【解析】（1）設(shè)圓M的方程為，由已知條件建立方程組，求解即可；（2）設(shè)，，依題意得.代入圓M的方程可得點(diǎn)P的軌跡方程.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)圓M的方程為，則圓心依題意得，解得.所以圓M的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，，依題意得，得.點(diǎn)為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)得P的軌跡方程為.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進(jìn)而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作Ax⊥AB，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量而得解.【詳解】（1）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槭蔷匦?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；?）在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，，則，所以，，，，由（1）知，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因?yàn)槎娼菫殇J角，則二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：二面角大小求解時(shí)要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角21、（1），；（2），.【解析】（1）根據(jù)的關(guān)系可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式；（2）利用的關(guān)系求的通項(xiàng)公式，結(jié)合（1）結(jié)論可得，再應(yīng)用分組求和、錯(cuò)位相消法求的前n項(xiàng)和【小問(wèn)1詳解】．①當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，．②①－②得，則，而a1-1=1不為零，故是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，【小問(wèn)2詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又也適合上式，∴，∴，令，，則，又，∴22、（1），；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）利用數(shù)列為等比數(shù)列，將已知的等式利用首項(xiàng)和公比表示，得到一個(gè)方程組，求解即可得到首項(xiàng)和公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出；將已知的等式變形，得到數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再結(jié)合數(shù)列的第項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系進(jìn)行求解，即可得到；（2）先利用等比數(shù)列求和公式求出，從而得到的表達(dá)式，然后利用裂項(xiàng)相消求和法求出，假設(shè)存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)、等差中項(xiàng)以及進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，得到假設(shè)不成立，故可得到答案【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，由題意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因?yàn)椋?，所以，所以，由，可得，所以?shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1，故，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)