一些重要不等式的證明及應(yīng)用定稿

畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）利用柯西不等式來證明時(shí)，有些可以直接應(yīng)用，有些則需要使用一些方法如拆分常數(shù)、改變結(jié)構(gòu)、重新排列等，來構(gòu)造出符合柯西不等式的形式及條件，繼而達(dá)到使用柯西不等式解決有關(guān)問題的目的。同時(shí)，與其他定理的應(yīng)用一樣，對(duì)柯西不等式也要正用、逆用、變用、連用、巧用.2.Schwarz不等式的證明及應(yīng)用2.1Schwarz不等式的基本形式Cauchy不等式的積分形式稱為Schwarz不等式.它通過積分定義，直接由Cauchy不等式推得.定理2若在上可積，則（2）若在上連續(xù)，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)，使得時(shí)成立（不同時(shí)為零）.2.2Schwary不等式的幾種證明方法證明方法一：將等分，令應(yīng)用Cauchy不等式，方法二：令取極限即可由此可以看出，若連續(xù)，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)（不全為零）使得時(shí)成立.2.3Schwary不等式的應(yīng)用類似可以推廣到一般情況，若函數(shù)，在上可積，則。若在上連續(xù)，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí)成立.應(yīng)用Schwarz不等式，可證明另外一些不等式.使用時(shí)要注意恰當(dāng)?shù)剡x取函數(shù)與.從下面例子可以看出，在證明其他不等式時(shí)有時(shí)需要對(duì)積分作適當(dāng)?shù)淖冃?，才能使用Schwarz不等式.例1已知，在上連續(xù)，為任意實(shí)數(shù)，求證：證明如下：上式左端第一項(xiàng)應(yīng)用Schwarz不等式所以同理可得把上面兩式相加即可得出.例2設(shè)在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，，試證：證明：令,,則，由知，因此（應(yīng)用Schwarz不等式）3.平均值不等式的證明及應(yīng)用3.1平均值不等式的基本形式定理3對(duì)任意個(gè)實(shí)數(shù)恒有（3）（即幾何平均值算術(shù)平均值），其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.3.2平均值不等式的幾種證明方法證明此不等式我們通常采用大家都比較熟悉的反向歸納法.證明方法一：要想證明命題對(duì)一切成立,首先有:(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng))其次(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立)類似,,重復(fù)上述方法k次（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立）方法二：令A(yù)=，那么假設(shè)不等式對(duì)成立，則=所以這表明不等式對(duì)成立.跟時(shí)一樣，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.所以此不等式成立.3.3平均值不等式的應(yīng)用例3設(shè)正值函數(shù)在上連續(xù)，試證：證明：由條件知在上可積.將等分，作積分和，所以應(yīng)用定理所以原題得證平均值不等式的推廣形式定義1：設(shè)，記稱為的次冪平均，它與算術(shù)平均的關(guān)系是定義2：（加權(quán)平均）記，和分別稱為的加權(quán)（r次冪）算術(shù)平均和加權(quán)幾何平均.引理1設(shè)，不全相等，則引理2引理3設(shè)不全相等，則有則亦即：只有全相等時(shí)才變成.定義3：設(shè)函數(shù),及,在上有定義，且下面所出現(xiàn)的積分有意義，記，，若，記它們分別稱為的加權(quán)算術(shù)平均，加權(quán)算術(shù)平均和加權(quán)幾何平均，其中稱為權(quán)函數(shù).若用取代，則，稱為的標(biāo)準(zhǔn)化.那么平均值不等式的積分形式為設(shè)所證得積分有意義，則則（包括的情況）.4.Holder不等式的證明及應(yīng)用4.1Holder不等式的基本形式定理4設(shè)為實(shí)數(shù)：，則當(dāng)；（4）當(dāng)。（5）其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.4.2平均值不等式的幾種證明方法證明方法一：當(dāng)k>1時(shí)，這時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立方法二：當(dāng)k<1時(shí)，利用方法一把分別看作與則得到，即且不等式的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)與成比例時(shí)成立.4.3Holder不等式的積分形式設(shè)，并且使得所論的積分有意義，為共軛實(shí)數(shù)（即：），則當(dāng)（時(shí)）當(dāng)（時(shí)）若連續(xù)，則其中的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)與成比例時(shí)成立.例4試證明：證明如下：令，，于是原式的左端總結(jié)在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，不等式證明是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，在數(shù)量關(guān)系上，雖然不等關(guān)系要比相等關(guān)系更加廣泛的存在與現(xiàn)實(shí)世界里，但人們對(duì)于不等式的認(rèn)識(shí)要比方程晚的多。直到17世紀(jì)以后不等式的理論才逐漸發(fā)展起來，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分。在研究不等式的過程中要注重不等式的性質(zhì)，不等式的證明方法。上述是幾種常見的重要不等式，從證明方法及其推廣形式來闡述幾種不等式，而且證明這些不等式的方法也是非常典型的。不等式是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，也能為其他數(shù)學(xué)分支的學(xué)習(xí)提供一個(gè)重要工具。不等式的證明是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。不等式作為一個(gè)系統(tǒng)，其內(nèi)容較為復(fù)雜，其證明方法也較多，以上只是簡(jiǎn)要介紹了不等式證明的幾種證明方法，并用例題作一一講解，意在拋磚引玉。參考文獻(xiàn)[1]朱時(shí).數(shù)學(xué)分析札記[M].貴州：貴州省教育出版社，1994：130-145[2]南京師范大學(xué)主編.數(shù)學(xué)分析選論[M].江蘇：江蘇教育出版社，1988：76-88[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001：79-82[4]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003：111-130[5]裴禮文，解際太.數(shù)學(xué)分析中典型問題的方法[M].北京：高等教育出版社，1991：180-207[6]赤勇，.考研精選.華中理工大學(xué)出版社[M].湖北：高等教育出版社，2005：89-95ProofsandapplicationsofsomeimportantinequalitiesChenWeili(Major:MathematicsandAppliedmathematics,2009012985)Supervisor:Prof.NiuYingxuanAbstract:Inhighermathematicsisoneoftheimportantcontent，Thispaperdiscussessomeimportantinequalities。Theseinequalitiesareimportantnotonlyinitself。Buttheseinequalitiesproofmethodisalsoverytypical。ThispaperdiscussesseveralimportantinequalityandCauchyinequality,Schwarzinequality,inequalityandthebasicformofHolderinequalityanditsproofandgeneralization。Wealsogivesomeapplicat