河北省唐山市樂亭一中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達標檢測試題含解析

河北省唐山市樂亭一中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達標檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)極值點的個數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.52．已知函數(shù)，則（）A. B.0C. D.13．已知雙曲線C的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．焦點為的拋物線標準方程是（）A. B.C. D.5．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（）A. B.C. D.6．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A.6 B.12C.56 D.787．已知，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.9．已知直線l與圓交于A，B兩點，點滿足，若AB的中點為M，則的最大值為（）A. B.C. D.10．命題“存在，”的否定是（）A.存在， B.存在，C.對任意， D.對任意，11．已知等比數(shù)列的前項和為，若公比，則＝（）A. B.C. D.12．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為A.2 B.3C.4 D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是__________14．直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，若，則直線l的斜率為______15．在等比數(shù)列中，，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為________16．命題“任意，”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程.18．（12分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，為坐標原點，若的面積為，求直線的方程.19．（12分）（１）求焦點在x軸上,虛軸長為12，離心率為的雙曲線的標準方程；（2）求經(jīng)過點的拋物線的標準方程；20．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別是，，離心率為，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C方程；（2）設(shè)點P在直線上，過點P的兩條直線分別交曲線C于A，B兩點和M，N兩點，且，求直線AB的斜率與直線MN的斜率之和21．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，為其前n項和，，（1）求的通項公式；（2）若，求證：為等比數(shù)列22．（10分）如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的極值的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸的交點分別為，根據(jù)函數(shù)的極值的定義可知在該點處的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號相反，可得為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點，所以函數(shù)極值點的個數(shù)為4個.故選：C.2、B【解析】先求導(dǎo)，再代入求值.詳解】，所以.故選：B3、B【解析】根據(jù)雙曲線的離心率，求出即可得到結(jié)論【詳解】∵雙曲線的離心率是，∴，即1+，即1，則，即雙曲線的漸近線方程為，故選：B4、D【解析】設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)拋物線的方程為，因為拋物線的焦點為，可得，解得，所以拋物線的方程為.故選：D.5、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)概念和幾何意義判斷【詳解】由題意得，圖象上某點處的切線斜率隨增大而減小，滿足要求的只有A故選：A6、D【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)直接求得.【詳解】在等比數(shù)列中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：由，解得：；由可得：，所以.故選：D7、C【解析】利用向量數(shù)量積的幾何意義即得【詳解】,故在方向上的投影為：故選：C8、B【解析】將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與的圖像只有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出圖像，利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】由函數(shù)只有一個零點，等價于函數(shù)的圖像與的圖像只有一個交點，，求導(dǎo)，令，得當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時，函數(shù)取得極小值；當(dāng)時，函數(shù)取得極大值；作出函數(shù)圖像，如圖所示，由圖可知，實數(shù)的取值范圍是故選：B【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.9、A【解析】設(shè)，，則、，由點在圓上可得，再由向量垂直的坐標表示可得，進而可得M的軌跡為圓，即可求的最大值.【詳解】設(shè)，中點，則，，又，，則，所以，又，則，而，，所以，即，綜上，，整理得，即為M的軌跡方程，所以在圓心為，半徑為的圓上，則.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由點圓位置、中點坐標公式及向量垂直的坐標表示得到關(guān)于的軌跡方程.10、D【解析】特稱命題的否定：將存在改任意并否定原結(jié)論，即可知正確答案.【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，知：原命題的否定為：對任意，.故選：D11、A【解析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項公式與前項和公式直接計算即可.【詳解】由已知可得.故選：A.12、D【解析】拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離，考查學(xué)生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到，可以簡化運算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用復(fù)數(shù)除法化簡，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出即可.【詳解】，∴.故答案為：14、【解析】如圖，設(shè)，兩點的拋物線的準線上的射影分別為，，過作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，利用在直角三角形中，求得，從而得出直線的斜率【詳解】解：如圖，當(dāng)在第一象限時，設(shè)，兩點的拋物線的準線上的射影分別為，，過作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，由拋物線的定義可知：設(shè)，則，，，在直角三角形中，，所以，則直線的斜率；當(dāng)在第四象限時，同理可得，直線的斜率，綜上可得直線l的斜率為；故答案為：15、【解析】求出等比數(shù)列的通項公式，可得出的通項公式，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，故數(shù)列的前項和為.故答案為：.16、【解析】分離常數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值問題.【詳解】任意，恒成立恒成立，故只需，記，，易知，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】設(shè)出，由直線的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點軸時，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長公式求得，由點到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進一步求出值，則直線方程可求.試題解析：（1）設(shè)，因為直線的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時.所以點到直線的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時取等號，滿足所以的面積最大時直線的方程為：或.【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.18、（1）；（2）或.【解析】（1）由離心率公式、將點代入橢圓方程得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立橢圓和直線的方程，由判別式得出的范圍，再由韋達定理結(jié)合三角形面積公式得出，求出的值得出直線的方程.【詳解】解：（1）因為橢圓的離心率為，所以.①又因為橢圓經(jīng)過點，所以有.②聯(lián)立①②可得，，，所以橢圓的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.由消去整理得，.因為直線與橢圓交于不同兩點，所以，即，所以設(shè)，，則，.由題意得，面積，即.因為的面積為，所以，即.化簡得，，即，解得或，均滿足，所以或.所以直線的方程為或.【點睛】關(guān)鍵點睛：在第二問中，關(guān)鍵是由韋達定理建立的關(guān)系，結(jié)合三角形面積公式求出斜率，得出直線的方程.19、（1）；（2）或.【解析】（1）由虛軸長是12求出半虛軸b，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)c2=a2+b2以及離心率，求出a2，寫出雙曲線的標準方程；（2）設(shè)出拋物線方程，利用經(jīng)過，求出拋物線中的參數(shù)，即可得到拋物線方程【詳解】焦點在x軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為=1（a>0,b>0）由題意，得解得b=6,解得，所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為（2）由于點P在第三象限，所以拋物線方程可設(shè)為：或（p>0）當(dāng)方程為，將點代入得16=4p，即p=4,拋物線方程為：；當(dāng)方程為，將點代入得4=8p，即p=,拋物線方程為：；20、（1）（2）0【解析】（1）由條件得和，再結(jié)合可求解；（2）設(shè)直線AB的方程為：，與橢圓聯(lián)立，得到，同理得，再根據(jù)題中的條件化簡整理可求解.【小問1詳解】因為橢圓的離心率為，所以，所以①又因為過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，所以②，由①②可知，所以，，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】因為點P在直線上，所以設(shè)點，由題可知，直線AB的斜率與直線MN的斜率都存在所以直線AB的方程為：，即，直線MN的方程為：，即，設(shè)，，，，所以，消去y可得，，整理可得，且所以，，又因為，，所以，同理可得，又因為，所以，又因為，，，都是長度，所以，所以，整理可得，又因為，所以，所以直線AB的斜率與直線MN的斜率之和為021、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由已知條件列出關(guān)于的方程組，解方程組求出，從而可求出的通項公式，（2）由（1）可得，然后利用等比數(shù)列的定義證明即可【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則由，，得，解得，所以【小問2詳解】證明：由（1）得，所以，（）所以數(shù)列是以9為公比，27為首項的等比數(shù)列22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設(shè)與交點為，延長交的延長線于點，進而根據(jù)證明，再結(jié)合底面得，進而證明平面即可證明結(jié)論；（2）由得點到平面的距離等于