河北省石家莊市一中、唐山一中等“五個一”名校聯(lián)盟2023年高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

河北省石家莊市一中、唐山一中等“五個一”名校聯(lián)盟2023年高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓與圓在第二象限的交點是點，是橢圓的左焦點，為坐標原點，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.2．若數(shù)列的前n項和(n∈N*)，則=（）A.20 B.30C.40 D.503．定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.4．設為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8C.16 D.325．已知雙曲線C的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.至少有一個黑球與都是黑球B.至少有一個黑球與至少有一個紅球C.恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球D.至少有一個黑球與都是紅球7．如圖，奧運五環(huán)由5個奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是藍、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個造形為一個底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會召開，某機構定制一批奧運五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2.6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個相交的圓的圓心之間的距離為（）A. B.2.8C. D.2.98．在正方體中，，則（）A. B.C. D.9．在平面直角坐標系xOy中，點（0,4）關于直線x－y+1＝0的對稱點為（）A.(－1,2) B.(2,－1)C.(1,3) D.(3,1)10．若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是（）A. B.C. D.11．平行直線：與：之間的距離等于（）A. B.C. D.12．若，都為正實數(shù)，，則的最大值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于AB兩點，且，則p的值為______14．已知內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，已知，且，則c的最小值為__________.15．已知等差數(shù)列滿足，請寫出一個符合條件的通項公式______16．已知空間直角坐標系中，點，，若，與同向，則向量的坐標為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）過原點O的圓C，與x軸相交于點A(4,0)，與y軸相交于點B(0,2)(1)求圓C的標準方程；(2)直線l過B點與圓C相切，求直線l的方程，并化為一般式18．（12分）已知函數(shù).（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）當時，證明：.19．（12分）等比數(shù)列中，，（1）求的通項公式；（2）記為的前n項和．若，求m的值20．（12分）已知函數(shù)（a是常數(shù)）.（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，求a的取值范圍.21．（12分）已知橢圓C：經(jīng)過點，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切線l與橢圓交于A，B兩點，都有．若存在，求出r的值，并求此時△AOB的面積S的取值范圍；若不存在，請說明理由22．（10分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點（1）求證：D1F平面A1EC1；（2）求直線AC1與平面A1EC1所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因為圓，可得，過點作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側(cè)同除，可得，解得或，又因為，所以橢圓的離心率為.故選：B【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理，列出關于的方程是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.2、B【解析】由前項和公式直接作差可得.【詳解】數(shù)列的前n項和(n∈N*)，所以.故選：B.3、B【解析】，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得或，解之即可得解.【詳解】解：，由題意可得或即或，解得或故選：B.4、B【解析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當且僅當取等號的焦距的最小值：故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.5、B【解析】根據(jù)雙曲線的離心率，求出即可得到結(jié)論【詳解】∵雙曲線的離心率是，∴，即1+，即1，則，即雙曲線的漸近線方程為，故選：B6、C【解析】列舉每個事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，逐項判斷.【詳解】A：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：兩個都是黑球，這兩個事件不是互斥事件，故錯誤；B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，故錯誤；C：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，兩個事件是互斥事件但不是對立事件，故正確D：事件：“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，這兩個事件是對立事件，故錯誤；故選：C7、C【解析】根據(jù)題意作出輔助線直接求解即可.【詳解】如圖所示，由題意可知，在中，取的中點，連接，所以，，又因為，所以，所以即相鄰兩個相交的圓的圓心之間的距離為.故選：C8、A【解析】根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的幾何意義進行求解即可.【詳解】因為，而，所以有，故選：A9、D【解析】設出點(0,4)關于直線的對稱點的坐標，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可【詳解】解：設點(0,4)關于直線x－y+1＝0的對稱點是(a,b),則，解得：，故選：D10、D【解析】將本題轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點問題，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍【詳解】將曲線的方程化簡為即表示以為圓心，以2為半徑的一個半圓，如圖所示：當直線經(jīng)過時最大，即，當直線與下半圓相切時最小，由圓心到直線距離等于半徑2，可得：解得（舍去），或結(jié)合圖象可得故選：D.11、B【解析】先由兩條直線平行解出，再按照平行線之間距離公式求解.【詳解】，則：，即，距離為.故選：B.12、B【解析】由基本不等式，結(jié)合題中條件，直接求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，都為正實數(shù)，，所以，當且僅當，即時，取最大值.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)拋物線焦點弦性質(zhì)求解，或聯(lián)立l與拋物線方程，表示出，求其最值即可.【詳解】已知，設，，，則，∵，所以，，∴，當且僅當m=0時，取..故答案為：3.14、【解析】先利用正弦定理邊化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根據(jù)與的關系，求得，即可求得c的最小值.【詳解】，即，又，當最大時，即，最小，且為由正弦定理得：，當時，c的最小值為故答案為：【點睛】方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.15、3（答案不唯一）【解析】由已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，從而可寫出數(shù)列的一個通項公式【詳解】因為是等差數(shù)列，且，所以，當公差為0時，；公差為1時，；…故答案為：3（答案為唯一）16、【解析】求出坐標，根據(jù)給條件表示出坐標，利用向量模的坐標表示計算作答.【詳解】因，，則，因與同向，則設，因此，，于是得，解得，則，所以向量的坐標為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）設圓的標準方程為：，則分別代入原點和，得到方程組，解出即可得到；（2）由（1）得到圓心為，半徑，由于直線過點與圓相切，則分別討論斜率存在與否，運用直線與圓相切的條件：，解方程即可得到所求直線方程.【詳解】(1)設圓C的標準方程為，則分別代入原點和，得到，解得則圓的標準方程為(2)由(1)得到圓心為，半徑，由于直線過點與圓相切，當時，到的距離為2，不合題意，舍去；當斜率存在時，設，由直線與圓相切，得到，即有，解得，故直線，即為點睛：本題考查直線與圓位置關系，考查圓的方程的求法和直線與圓相切的條件，考查運算能力，屬于中檔題；圓的方程有一般形式與標準形式，在該題中利用待定系數(shù)法將其設為標準形式，列、解出方程組即可；當直線與圓相切時等價于圓心到直線的距離等于半徑，已知直線上一點寫出直線的方程需注意斜率不存在的情形.18、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）證明見解析【解析】（1）當時，利用求得的單調(diào)區(qū)間.（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用導數(shù)求得的最小值大于零，從而證得不等式成立.【小問1詳解】當時，，且，又與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因為，所以，要證，只需證當時，即可.，易知在上單調(diào)遞增，又，所以，且，即，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，，所以.【點睛】在證明不等式的過程中，直接證明困難時，可考慮證明和兩個不等式成立，從而證得成立.19、（1）或；（2）5.【解析】（1）設的公比為q，解方程即得解；（2）分兩種情況解方程即得解.【小問1詳解】解：設的公比為q，由題設得由已知得，解得（舍去），或故或【小問2詳解】解：若，則由，得，解得若，則由，得，因為，所以此方程沒有正整數(shù)解綜上，20、（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極小值是，無極大值.（2）【解析】（1）由當，得到，求導，再由，求解；（2）將，轉(zhuǎn)化為成立，令，求其最大值即可.【小問1詳解】解：當時，，定義域為，所以，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，取得極小值是，無極大值.【小問2詳解】因為，即成立.設，則，當時，，當時,，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.21、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用離心率和橢圓所過點列出方程組，求出，求出橢圓方程；（2）假設存在，分切線斜率存在和不存在分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積為0求出r的值，表達出△AOB的面積，利用基本不等式求出的取值范圍，進而求出△AOB面積的取值范圍.【小問1詳解】因為橢圓C：的離心率，且過點所以解得所以橢圓C的方程為【小問2詳解】假設存在⊙O：滿足題意，①切線方程l的斜率存在時，設切線方程l：y＝kx＋m與橢圓方程聯(lián)立，消去y得，(*)設，，由題意知，(*)有兩解所以，即由根與系數(shù)的關系可得，所以因為，所以，即化簡得，且，O到直線l的距離所以，又，此時，所以滿足題意所以存在圓的方程為⊙O：△AOB的面積，又因為當k≠0時當且僅當即時取等號又因為，所以，所以當k＝0