0計算機控制系統(tǒng)第六章2控制器的設計教案資料

第6章基于狀態(tài)空間模型的最優(yōu)設計方法1、最優(yōu)控制規(guī)律的設計問題（1）離散二次型函數(shù)的最優(yōu)調節(jié)器設計（2）連續(xù)二次型函數(shù)的最優(yōu)調節(jié)器設計2、Riccati方程的求解及加權陣的選擇3、狀態(tài)最優(yōu)估計器的設計（Kalman濾波器）（1）Kalman濾波方程（2）推廣Kalman濾波問題（3）預報Kalman濾波問題第四節(jié)控制器的設計一、分離性原理控制對象：（1）最優(yōu)反饋控制規(guī)律（控制器）：（2）離散性能指標：連續(xù)性能指標：（3）（4）1、LQ系統(tǒng)：確定性系統(tǒng)直接狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制系統(tǒng)?？刂茖ο螅海?）LQG系統(tǒng)控制器：（6）2、LQG系統(tǒng)：隨機性估計狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制系統(tǒng)。問題：（1）由上述對象和控制器組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)是否仍是最優(yōu)控制系統(tǒng)？（2）如果仍是最優(yōu)控制系統(tǒng)，使何種性能指標最優(yōu)？由分離性原理，LQG控制器的設計可以分為兩個獨立的部分：（1）最優(yōu)控制規(guī)律的設計。在設計最優(yōu)控制規(guī)律時，可以將系統(tǒng)看作確定性系統(tǒng)而不考慮隨機的過程干擾何測量噪聲，同時認為全部狀態(tài)可用于反饋。（2）狀態(tài)最優(yōu)估計的計算?？紤]隨機的過程干擾和測量噪聲，狀態(tài)最優(yōu)估計的計算與性能指標中加權矩陣的選擇無關。分離性原理的使用：LQ系統(tǒng)與LQG系統(tǒng)的區(qū)別：（1）在LQ系統(tǒng)中，考慮的是系統(tǒng)對非零初始條件的響應性能，性能指標Jd

由無窮多項相加，Jc

是在無窮大區(qū)間上積分，但Jd

和Jc皆為有限數(shù)；在LQG系統(tǒng)中，考慮的是系統(tǒng)在平穩(wěn)狀態(tài)時抗隨機干擾和測量噪聲的性能，由于隨機干擾和測量噪聲的影響，因此在性能指標中只取時的一項，在中只取時一個采樣周期內積分的平均值。（2）LQ系統(tǒng)考慮的是確定性系統(tǒng)，Jd

和Jc

表達式中的各量均為確定量；

LQG系統(tǒng)考慮的是隨機系統(tǒng)，系統(tǒng)中各量均為隨機量，因此在性能指標和均取數(shù)學期望。LQG

系統(tǒng)閉環(huán)極點的分布情況：結合（5）（6）式并整理，得到整個系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（12）（13）其中從而得到閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：（第二列加到第一列）（第二行減去第一行）（14）其中為LQ系統(tǒng)的閉環(huán)極點。由上節(jié)公式（9）（12）得到（15）顯然為狀態(tài)估計器的極點。因此LQG系統(tǒng)的閉環(huán)極點由兩部分組成：（1）LQ系統(tǒng)的極點；（2）狀態(tài)估計器的極點。二、積分控制的引入（PI控制器的設計）問題的提出：前面所設計的調節(jié)系統(tǒng)的控制器（r(k)=0），其目的在于使系統(tǒng)從非零的初始條件回到零狀態(tài)時具有滿意的響應性能，即所設計的系統(tǒng)對脈沖型干擾具有很好的抑制作用，但對于階躍或常值干擾，將具有穩(wěn)態(tài)誤差。原因分析：控制規(guī)律為比例反饋（線性反饋），控制器中沒有積分作用。解決方法：控制規(guī)律中引入積分作用，設計成PI控制器。設控制對象的離散狀態(tài)方程為：（16）其中為階躍型干擾，即（17）（18）定義各量的差分為：顯然，當時，有。對式（16）兩邊取差分得到：（22）（19）（20）令，結合式（19）（21），得到關于z(k)的狀態(tài)方程：即：（21）其中：（23）設取二次型性能指標為：（24）其中Q1

是非負定對稱陣，Q2

是正定對稱陣。假定是能穩(wěn)定的，且設D

為能使DTD=Q1

成立的任何矩陣，同時假定是能檢測的。式（22）和（24）是標準的最優(yōu)調節(jié)器問題，根據(jù)定理1可以求得：（25）（26）（27）由式（25）得到其中是相應的分塊矩陣。（28）由式（22）和（24）組成的標準最優(yōu)調節(jié)器問題，由于假設了是能穩(wěn)定的，是能檢測的，因此根據(jù)定理1，該最優(yōu)反饋控制系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的，即從而（29），即系統(tǒng)對常值干擾無穩(wěn)態(tài)誤差。對（28）式兩邊做求和運算，得到：（30）忽略初始條件x(0)與u(0)，實際控制規(guī)律為：（31）可見，u(k)由兩部分組成，一部分是狀態(tài)的比例調節(jié)，另一部分是輸出量的積分反饋，通常稱這樣的調節(jié)器為PI最優(yōu)調節(jié)器，其結構圖如下圖所示：Cu(k)+x(k)y(k)+-L2-L1PI調節(jié)器圖1采用最優(yōu)狀態(tài)估計器（Kalman濾波）來重構系統(tǒng)的全部狀態(tài)后，PI調節(jié)器變?yōu)椋簎(k)+y(k)+-L2-L1PI調節(jié)器圖2最優(yōu)估計器控制對象基于二次型性能指標函數(shù)設計調節(jié)系統(tǒng)PI控制器步驟如下：（1）按式（23）組成矩陣；（2）給定二次型性能指標函數(shù)，并合適地給定加權矩陣Q1，Q2；（3）針對狀態(tài)方程式（22），按最優(yōu)控制設計出控制規(guī)律；（4）選擇最優(yōu)估計器的類型（預報估計器，現(xiàn)時估計器）；（5）應用Kalman濾波公式計算出最優(yōu)估計器增益矩陣K；（6）按圖2的結構圖組成PI調節(jié)器。由第三章的內容可知，引入?yún)⒖驾斎牒罂刂破鞯臉藴薁顟B(tài)方程為：（32）當采用現(xiàn)時的Kalman濾波時（相當于現(xiàn)時預報觀測器）有：（33）（一）一般跟蹤系統(tǒng)第五節(jié)跟蹤系統(tǒng)設計當采用一步預報的Kalman濾波時有：（34）根據(jù)一般結構控制器標準狀態(tài)方程，按如下三種方式引入?yún)⒖驾斎耄鲆婢仃嘙和N的選擇方法如下：1、方式1，即參考輸入的引入不影響觀測器的狀態(tài)重構的情況。對于現(xiàn)時Kalman濾波器，有（35）對于一步預報的Kalman濾波器，有（36）（1）的選擇：（2）N的選擇：（37）若對象中包含積分環(huán)節(jié)，上式簡化為：（38）2、方式2，即僅用誤差進行控制，此時有（39）3、方式3（只適合單輸入/輸出系統(tǒng)）：任意選擇M和N，以滿足零點配置及靜態(tài)精度的要求。若給定D1(z)的零點多項式，則有由此得到：（40）（41）N值由（37）式或（38）式確定。（二）積分控制的引入問題的提出：系統(tǒng)對脈沖型干擾具有很好的抑制作用，但對于階躍或常值干擾，將具有穩(wěn)態(tài)誤差。原因分析：控制規(guī)律為比例反饋（線性反饋），控制器中沒有積分作用。解決方法：控制規(guī)律中引入積分作用。由前述積分控制的引入內容（參考圖1），不考慮狀態(tài)估計器，可以得到引入?yún)⒖驾斎霑r相應的跟蹤系統(tǒng)的結構圖如圖3。Cu(k)+x(k)y(k)_L2L1控制器圖3包含積分控制的跟蹤系統(tǒng)結構圖ue(k)+_e(k)r(k)根據(jù)圖3，得到控制器方程為：（49）其中L1和L2仍按第一節(jié)介紹的PI調節(jié)器的方法進行設計。對于這樣的控制器結構，對于常值參考輸入以及在常值干擾作用下，均不存在穩(wěn)態(tài)誤差。圖5中，仍然要求全部狀態(tài)