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文檔簡介
第6章基于狀態(tài)空間模型的最優(yōu)設計方法1、最優(yōu)控制規(guī)律的設計問題(1)離散二次型函數(shù)的最優(yōu)調節(jié)器設計(2)連續(xù)二次型函數(shù)的最優(yōu)調節(jié)器設計2、Riccati方程的求解及加權陣的選擇3、狀態(tài)最優(yōu)估計器的設計(Kalman濾波器)(1)Kalman濾波方程(2)推廣Kalman濾波問題(3)預報Kalman濾波問題第四節(jié)控制器的設計一、分離性原理控制對象:(1)最優(yōu)反饋控制規(guī)律(控制器):(2)離散性能指標:連續(xù)性能指標:(3)(4)1、LQ系統(tǒng):確定性系統(tǒng)直接狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制系統(tǒng)??刂茖ο螅海?)LQG系統(tǒng)控制器:(6)2、LQG系統(tǒng):隨機性估計狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制系統(tǒng)。問題:(1)由上述對象和控制器組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)是否仍是最優(yōu)控制系統(tǒng)?(2)如果仍是最優(yōu)控制系統(tǒng),使何種性能指標最優(yōu)?由分離性原理,LQG控制器的設計可以分為兩個獨立的部分:(1)最優(yōu)控制規(guī)律的設計。在設計最優(yōu)控制規(guī)律時,可以將系統(tǒng)看作確定性系統(tǒng)而不考慮隨機的過程干擾何測量噪聲,同時認為全部狀態(tài)可用于反饋。(2)狀態(tài)最優(yōu)估計的計算??紤]隨機的過程干擾和測量噪聲,狀態(tài)最優(yōu)估計的計算與性能指標中加權矩陣的選擇無關。分離性原理的使用:LQ系統(tǒng)與LQG系統(tǒng)的區(qū)別:(1)在LQ系統(tǒng)中,考慮的是系統(tǒng)對非零初始條件的響應性能,性能指標Jd
由無窮多項相加,Jc
是在無窮大區(qū)間上積分,但Jd
和Jc皆為有限數(shù);在LQG系統(tǒng)中,考慮的是系統(tǒng)在平穩(wěn)狀態(tài)時抗隨機干擾和測量噪聲的性能,由于隨機干擾和測量噪聲的影響,因此在性能指標中只取時的一項,在中只取時一個采樣周期內積分的平均值。(2)LQ系統(tǒng)考慮的是確定性系統(tǒng),Jd
和Jc
表達式中的各量均為確定量;
LQG系統(tǒng)考慮的是隨機系統(tǒng),系統(tǒng)中各量均為隨機量,因此在性能指標和均取數(shù)學期望。LQG
系統(tǒng)閉環(huán)極點的分布情況:結合(5)(6)式并整理,得到整個系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:(12)(13)其中從而得到閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為:(第二列加到第一列)(第二行減去第一行)(14)其中為LQ系統(tǒng)的閉環(huán)極點。由上節(jié)公式(9)(12)得到(15)顯然為狀態(tài)估計器的極點。因此LQG系統(tǒng)的閉環(huán)極點由兩部分組成:(1)LQ系統(tǒng)的極點;(2)狀態(tài)估計器的極點。二、積分控制的引入(PI控制器的設計)問題的提出:前面所設計的調節(jié)系統(tǒng)的控制器(r(k)=0),其目的在于使系統(tǒng)從非零的初始條件回到零狀態(tài)時具有滿意的響應性能,即所設計的系統(tǒng)對脈沖型干擾具有很好的抑制作用,但對于階躍或常值干擾,將具有穩(wěn)態(tài)誤差。原因分析:控制規(guī)律為比例反饋(線性反饋),控制器中沒有積分作用。解決方法:控制規(guī)律中引入積分作用,設計成PI控制器。設控制對象的離散狀態(tài)方程為:(16)其中為階躍型干擾,即(17)(18)定義各量的差分為:顯然,當時,有。對式(16)兩邊取差分得到:(22)(19)(20)令,結合式(19)(21),得到關于z(k)的狀態(tài)方程:即:(21)其中:(23)設取二次型性能指標為:(24)其中Q1
是非負定對稱陣,Q2
是正定對稱陣。假定是能穩(wěn)定的,且設D
為能使DTD=Q1
成立的任何矩陣,同時假定是能檢測的。式(22)和(24)是標準的最優(yōu)調節(jié)器問題,根據(jù)定理1可以求得:(25)(26)(27)由式(25)得到其中是相應的分塊矩陣。(28)由式(22)和(24)組成的標準最優(yōu)調節(jié)器問題,由于假設了是能穩(wěn)定的,是能檢測的,因此根據(jù)定理1,該最優(yōu)反饋控制系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的,即從而(29),即系統(tǒng)對常值干擾無穩(wěn)態(tài)誤差。對(28)式兩邊做求和運算,得到:(30)忽略初始條件x(0)與u(0),實際控制規(guī)律為:(31)可見,u(k)由兩部分組成,一部分是狀態(tài)的比例調節(jié),另一部分是輸出量的積分反饋,通常稱這樣的調節(jié)器為PI最優(yōu)調節(jié)器,其結構圖如下圖所示:Cu(k)+x(k)y(k)+-L2-L1PI調節(jié)器圖1采用最優(yōu)狀態(tài)估計器(Kalman濾波)來重構系統(tǒng)的全部狀態(tài)后,PI調節(jié)器變?yōu)椋簎(k)+y(k)+-L2-L1PI調節(jié)器圖2最優(yōu)估計器控制對象基于二次型性能指標函數(shù)設計調節(jié)系統(tǒng)PI控制器步驟如下:(1)按式(23)組成矩陣;(2)給定二次型性能指標函數(shù),并合適地給定加權矩陣Q1,Q2;(3)針對狀態(tài)方程式(22),按最優(yōu)控制設計出控制規(guī)律;(4)選擇最優(yōu)估計器的類型(預報估計器,現(xiàn)時估計器);(5)應用Kalman濾波公式計算出最優(yōu)估計器增益矩陣K;(6)按圖2的結構圖組成PI調節(jié)器。由第三章的內容可知,引入?yún)⒖驾斎牒罂刂破鞯臉藴薁顟B(tài)方程為:(32)當采用現(xiàn)時的Kalman濾波時(相當于現(xiàn)時預報觀測器)有:(33)(一)一般跟蹤系統(tǒng)第五節(jié)跟蹤系統(tǒng)設計當采用一步預報的Kalman濾波時有:(34)根據(jù)一般結構控制器標準狀態(tài)方程,按如下三種方式引入?yún)⒖驾斎耄鲆婢仃嘙和N的選擇方法如下:1、方式1,即參考輸入的引入不影響觀測器的狀態(tài)重構的情況。對于現(xiàn)時Kalman濾波器,有(35)對于一步預報的Kalman濾波器,有(36)(1)的選擇:(2)N的選擇:(37)若對象中包含積分環(huán)節(jié),上式簡化為:(38)2、方式2,即僅用誤差進行控制,此時有(39)3、方式3(只適合單輸入/輸出系統(tǒng)):任意選擇M和N,以滿足零點配置及靜態(tài)精度的要求。若給定D1(z)的零點多項式,則有由此得到:(40)(41)N值由(37)式或(38)式確定。(二)積分控制的引入問題的提出:系統(tǒng)對脈沖型干擾具有很好的抑制作用,但對于階躍或常值干擾,將具有穩(wěn)態(tài)誤差。原因分析:控制規(guī)律為比例反饋(線性反饋),控制器中沒有積分作用。解決方法:控制規(guī)律中引入積分作用。由前述積分控制的引入內容(參考圖1),不考慮狀態(tài)估計器,可以得到引入?yún)⒖驾斎霑r相應的跟蹤系統(tǒng)的結構圖如圖3。Cu(k)+x(k)y(k)_L2L1控制器圖3包含積分控制的跟蹤系統(tǒng)結構圖ue(k)+_e(k)r(k)根據(jù)圖3,得到控制器方程為:(49)其中L1和L2仍按第一節(jié)介紹的PI調節(jié)器的方法進行設計。對于這樣的控制器結構,對于常值參考輸入以及在常值干擾作用下,均不存在穩(wěn)態(tài)誤差。圖5中,仍然要求全部狀態(tài)
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