導數(shù)與函數(shù)測試題

《導數(shù)與函數(shù)》測試題(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(共12個小題，每小題5分，滿分60分)1．函數(shù)的導數(shù)是（C）A.B.C.D.2．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（A） A.B.C.D.3．函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx－2x,x)的圖象在點(1，－2)處的切線方程為(D)A．2x－y－4＝0B．2x＋y＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y－3＝04．已知f（x）=x2+2x·f＇（1），則f＇（0）等于（B）.A.–2B.–4C.2D.05．若函數(shù)在內(nèi)有極小值，則（A）A.B.C.D.6.函數(shù)f(x)＝2x4－3x2＋1在區(qū)間[eq\f(1,2)，2]上的最大值和最小值分別是(A)A．21，－eq\f(1,8)B．1，－eq\f(1,8)C．21,0 D．0，－eq\f(1,8)7.對于R上可導的任意函數(shù)f（x），若滿足（x﹣1）f′（x）≥0，則必有（D）A．B．C．D．8.如圖所示，液體從一圓錐形漏斗漏入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘漏完．已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的高度，則H與下落時間t(分)的函數(shù)關(guān)系表示的圖象只可能是(B)9.設動直線與函數(shù)，的圖象分別交于點、，則的最小值為（A）A.B．C．D．10.已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1＋alnx有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，則實數(shù)a的取值范圍為(D)A．(－∞，eq\f(1,2))B．(0，eq\f(1,2)]C．(eq\f(1,2)，＋∞) D．(0，eq\f(1,2))11.已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.現(xiàn)給出如下結(jié)論：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.其中正確結(jié)論的序號是(C)A．①③B．①④C．②③D．②④12.設分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，當時，且則不等式的解集是(D)A．B．C．D．.二填空題(共4個小題，每小題5分，滿分20分)13．過點的直線與曲線相切，切線方程為y=0或27x-4y-27=0。14、直線y=a與函數(shù)f（x）=x3－3x的圖象有三個互不相同的公共點，則a的取值范圍是（-2，2）.15.若函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(2)＝2，f′(x)＞1，則不等式f(x)－x＞0的解集為_____(2，＋∞)___.16.函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)的取值范圍是三解答題(共6個小題，滿分70分)17．(本題滿分12分)已知函數(shù).(1)設,求函數(shù)的極值；(2)在(1)的條件下,若函數(shù).(其中為的導數(shù))在區(qū)間(1,3)上不是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍.解:(1)當時,,,∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為QUOTE0,12,單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE12,+∞.∴函數(shù)的極小值是,無極大值.(2),∴,∵g(x)在區(qū)間(1,3)上不是單調(diào)函數(shù),且,∴QUOTEg'(1)<0,g'(3)>0,，∴QUOTE4+2m∴m的取值范圍是QUOTE-103,-2.18.(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ex－kx2，x∈R.若f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，試求k的取值范圍.[解析]方法一(分離參數(shù)法)：f′(x)＝ex－2kx.當x＞0時，由ex－2kx≥0，得k≤eq\f(ex,2x)在(0，＋∞)上恒成立，令p(x)＝eq\f(ex,2x)，則有k≤p(x)min，則p′(x)＝eq\f(exx－1,2x2)，令p′(x)＝0，解得x＝1，列表如下：x(0,1)1(1，＋∞)p′(x)－0＋p(x)極小值故函數(shù)p(x)在x＝1處取得極小值，亦即最小值．因為p(x)min＝p(1)＝eq\f(e,2)，所以k≤eq\f(e,2)，故實數(shù)k的取值范圍是(－∞，eq\f(e,2)]．方法二(分類討論法)：f′(x)＝ex－2kx，若k≤0，顯然f′(x)＞0，則f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；記φ(x)＝ex－2kx，則φ′(x)＝ex－2k，當0＜k＜eq\f(1,2)時，因為ex＞e0＝1,2k＜1，所以φ′(x)＞0，則φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，于是f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．當k≥eq\f(1,2)時，φ(x)＝ex－2kx在(0，ln(2k))上單調(diào)遞減，在(ln(2k)，＋∞)上單調(diào)遞增，于是f′(x)＝φ(x)≥φ(ln(2k))＝eln(2k)－2kln(2k)，由eln(2k)－2kln(2k)≥0，得2k－2kln(2k)≥0，則eq\f(1,2)≤k≤eq\f(e,2).綜上所述，k的取值范圍是(－∞，eq\f(e,2)]．19.(本題滿分12分)某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．【解答】(1)因為x＝5時，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2.所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.從而f′(x)＝10eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－62＋2x－3x－6))＝30(x－4)(x－6)．于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點．所以，當x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．20．(本題滿分12分)已知函數(shù)，，（1）證明：當時，恒有（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍;解：（1）設，則=，當時，，所以函數(shù)在（0，單調(diào)遞增，又在處連續(xù)，所以，即，所以。（2）設，則在（0，恒大于0，，，的根為0和即在區(qū)間（0，上，的根為0和若，則在單調(diào)遞減，且，與在（0，恒大于0矛盾；若，在（0，單調(diào)遞增，且，滿足題設條件，所以，所以。21．(本題滿分12分)已知函數(shù).(1)若，求曲線在處切線的斜率；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.解：(1)由已知，.故曲線在處切線的斜率為.(2).①當時，由于，故，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+∞)②當時，由，得.在區(qū)間內(nèi)，；在區(qū)間內(nèi)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為QUOTE(-1a，+∞).(3)由已知，轉(zhuǎn)化為，.由(2)知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域為R，故不符合題意.(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值即為最大值，，所以，解得.22.(本題滿分12分)已知函數(shù)