河北省衡水2023年高二數(shù)學第一學期期末檢測試題含解析

河北省衡水2023年高二數(shù)學第一學期期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點，，設，則向量用為基底表示為（）A. B.C. D.2．已知橢圓C：的一個焦點為（0，-2），則k的值為（）A.5 B.3C.9 D.253．點到直線的距離為A.1 B.2C.3 D.44．已知函數(shù)與，則它們的圖象交點個數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.不確定5．已知點，，直線：與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.6．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.7．雙曲線：的漸近線與圓：在第一、二象限分別交于點、，若點滿足(其中為坐標原點)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.2C. D.9．已知圓，若存在過點的直線與圓C相交于不同兩點A，B，且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.10．在中，已知點在線段上，點是的中點，，，，則的最小值為（）A. B.4C. D.11．已知點，和直線，若在坐標平面內(nèi)存在一點P，使，且點P到直線l的距離為2，則點P的坐標為（）A.或 B.或C.或 D.或12．圓錐曲線具有豐富的光學性質(zhì)，從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．直線l：與橢圓C：相切于點P，橢圓C的焦點為，，由光學性質(zhì)知直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線和平面，且；①若異面，則至少有一個與相交；②若垂直，則至少有一個與垂直；對于以上命題中，所有正確的序號是___________.14．拋物線的焦點坐標為_____.15．拋物線的準線方程為_____16．為增強廣大師生生態(tài)文明意識，大力推進國家森林城市建設創(chuàng)建進程，某班26名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵（各自挖坑種植），相鄰兩棵樹相距均為10米，在同學們挖坑期間，運到的樹苗集中放置在了某一樹坑旁邊，然后每位同學挖好自己的樹坑后，均從各自樹坑出發(fā)去領取樹苗．記26位同學領取樹苗往返所走的路程總和為，則的最小值為______米三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）銳角中滿足，其中分別為內(nèi)角的對邊（I）求角；（II）若，求的取值范圍18．（12分）已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若為的極值點，求的單調(diào)區(qū)間和最大值；（2）是否存在實數(shù)，使得的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．（12分）已知拋物線的準線方程為（1）求C的方程；（2）直線與C交于A，B兩點，在C上是否存在點Q，使得直線QA，QB分別與y軸交于M，N兩點，且？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由20．（12分）在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面積；（2）求的值.21．（12分）有三個條件：①數(shù)列的任意相鄰兩項均不相等，，且數(shù)列為常數(shù)列，②，③，，中，從中任選一個，補充在下面橫線上，并回答問題已知數(shù)列的前n項和為，______，求數(shù)列的通項公式和前n項和22．（10分）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，設數(shù)列的前項和為，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】通過尋找封閉的三角形，將相關向量一步步用基底表示即可.【詳解】.故選：D2、A【解析】由題意可得焦點在軸上，由，可得k的值.【詳解】∵橢圓的一個焦點是，∴，∴，故選：A3、B【解析】直接利用點到直線的距離公式得到答案.【詳解】，答案為B【點睛】本題考查了點到直線的距離公式，屬于簡單題.4、B【解析】令，判斷的單調(diào)性并計算的極值，根據(jù)極值與0的大小關系判斷的零點個數(shù)，得出答案.【詳解】令，則，由，得，∴當時，，當時，.∴當時，取得最小值，∴只有一個零點，即與的圖象只有1個交點.故選：B.5、A【解析】由可求出直線過定點，作出圖象，求出和，數(shù)形結合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或，故選：A.6、A【解析】求出向量，的坐標，利用向量數(shù)量積坐標表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.7、B【解析】由，得點為三角形的重心，可得，即可求解.【詳解】如圖：設雙曲線的焦距為，與軸交于點，由題可知，則，由，得點為三角形的重心，可得，即，，即，解得.故選：B【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，三角形的重心的向量表示，屬于中檔題.8、A【解析】根據(jù)點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線的標準方程可知：，該雙曲線的焦點坐標為：，雙曲線的漸近線方程為：，所以焦點到漸近線的距離為：，故選：A9、D【解析】根據(jù)圓的割線定理，結合圓的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因為，所以，于是有，因為，所以，而，或，所以，故選：D10、C【解析】利用三點共線可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由點是的中點，則，又因為點在線段上，則，所以，當且僅當，時取等號，故選：C【點睛】本題考查了基本不等式求最值、平面向量共線的推論，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.11、C【解析】設點的坐標為，根據(jù)，點到直線的距離為，聯(lián)立方程組即可求解.【詳解】解：設點的坐標為，線段的中點的坐標為，，∴的垂直平分線方程為，即，∵點在直線上，∴，又點到直線：的距離為，∴，即，聯(lián)立可得、或、，∴所求點的坐標為或，故選：C12、A【解析】先求得點坐標，然后求得的角平分線所在的直線的方程.【詳解】，直線的斜率為，由于直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的斜率為，所以所求直線方程為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②【解析】假設與都不相交得到，得到①正確，若不垂直，上取一點，作交于，得到，得到②正確，得到答案.【詳解】若與都不相交，，，則，同理，故，與異面矛盾，①正確；若不垂直，上取一點，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，②正確.故答案為：①②.14、【解析】根據(jù)拋物線方程求得p，則根據(jù)拋物線性質(zhì)可求得拋物線的焦點坐標．解：拋物線方程中p=2，∴拋物線焦點坐標為（-1，0）故填寫考點：拋物線的簡單性質(zhì)點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．屬基礎題15、【解析】本題利用拋物線的標準方程得出拋物線的準線方程【詳解】由拋物線方程可知，拋物線的準線方程為：故答案為【點睛】本題考查拋物線的相關性質(zhì)，主要考查拋物線的簡單性質(zhì)的應用，考查拋物線的準線的確定，是基礎題16、【解析】根據(jù)對稱性易知：當樹苗放在第13或14個坑，26位同學領取樹苗往返所走的路程總和最小，再應用等差數(shù)列前n項和的求法求26位同學領取樹苗往返所走的路程總和.【詳解】將26個同學對應的26個坑分左右各13個坑，∴根據(jù)對稱性：樹苗放在左邊13個坑，與放在對稱右邊的13個坑，26個同學所走的總路程對應相等，∴當樹苗放在第13個坑，26位同學領取樹苗往返所走的路程總和最小，此時，左邊13位同學所走的路程分別為，右邊13位同學所走的路程分別為，∴最小值為米.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（II）【解析】（I）由正弦定理邊角互化并整理得，進而由余弦定理得；（II）正弦定理得，故，再根據(jù)三角恒等變換得，由于銳角中，，進而根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求得答案.【詳解】解：（I）由正弦定理得所以，即，所以，因為銳角中，，所以；（II）因為，，所以所以，因為，所以，所以，所以，所以18、（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；最大值為；（2）存在，.【解析】（1）利用為的極值點求得，進而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值；（2）對導函數(shù)，分與進行討論，得函數(shù)的單調(diào)性進而求得最值，再由最大值是求出的值.【詳解】解：.（1）∵，，∴，由，得.∴，∴，，，，∴的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；的極大值為；也即的最大值為.（2）解：∵，∴，①當時，單調(diào)遞增，得的最大值是，解得，舍去；②時，由，即，當，即時，∴時，；時，；∴的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，又在上的最大值為，∴，∴；當，即時，在單調(diào)遞增，∴的最大值是，解得，舍去；綜上：存在符合題意，此時.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)在求解函數(shù)的單調(diào)性及求解函數(shù)的最值中的應用，還考查了函數(shù)的最值求解與分類討論的應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的條件.19、（1）（2）見解析【解析】（1）根據(jù)準線方程得出拋物線方程；（2）聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達定理結合求解即可.【小問1詳解】【小問2詳解】設，聯(lián)立，得由，得，假設C上存在點Q，使得直，則又即存在點滿足條件.20、（1），△的面積為；（2）.【解析】（1）應用余弦定理求的大小，由三角形面積公式求△的面積；（2）由（1）及正弦定理的邊角關系可得，即可求目標式的值.【小問1詳解】在△中，由余弦定理得：，又，則.所以△的面積為.【小問2詳解】由（1）得：，由正弦定理得：，則，所以.21、；【解析】選①，由數(shù)列為常數(shù)列可得，由此可求，根據(jù)任意相鄰兩項均不相等可得，由此證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項和為，選②由取可求，再取與原式相減可得，由此證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項和為，選③由取與原式相減可得，取可求，由此可得，故，由此證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項和為，【詳解】解：選①：因為，數(shù)列為常數(shù)列，所以，解得或，又因為數(shù)列的任意相鄰兩項均不相等，且，所以數(shù)列為2，-1，2，-1，2，-1……，所以，即，所以，又，所以是以為首項，公比為-1的等比數(shù)列，所以，即；